博弈论习题参考答案

1、博弈论习题参考答案（第2次作业）、选择题1.B2.C3.A4.A5.B6.ABCD7.C8.B9.C二、判断正误并说明理由1. F 上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论2. T上策均衡是比纳什均衡更严格的均衡概论3. T博弈类型按局中人数多少分为单人博弈、双人博弈和多人博弈4. F 博弈双方偏好存在差异的条件下，一个博弈模型中可能存在 2 个纳什均衡, 如性别战5. T零和博弈指参与博弈各方在严格竞争下，一方收益等于另一方损失，博弈各方收益与损失之和恒为零，所以双方不存在合作可能性6. T上策均衡是通过严格下策消去法（重复剔除下策）所得到的占优策略，只能有一个纳什均衡7. F纳什均衡是上策的集

2、合，指在给定的别人策略情况下，博弈方总是选择利益相对较大的策略，并不保证结果是最好的。8. F局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变化为目标9. T纳什均衡是上策的集合，指在给定的别人策略情况下，没有人会改变自己的策略而减低自己的收益10. F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变 化为目标11. F 局中人总是以自己的利益最大化选择自己的策略，并不以对方收益的变 化为目标12. T虽然斯塔格伯格模型各方利润总和小于古诺模型，但是领导者的利润比古诺模型时高三、计算与分析题1、（1）画出 A、B 两企业的损益矩阵。B 企业做广告不做广告A 企业做

3、广告20, 825，2不做广告10, 1230, 6（2）求纯策略纳什均衡（做广告，做广告）2、画出两企业的损益矩阵求纳什均衡（1）画出 A、B 两企业的损益矩阵百事可乐原价涨价可口可乐原价10, 10100，-30涨价-20，30140, 35（2）求纳什均衡两个：（原价，原价），（涨价，涨价）3、假定某博弈的报酬矩阵如下:（1）如果（上，左）是上策均衡，那么， a?, b?, g?答: ae, bd, fh, ge, bd4、答：（1）将这一市场用囚徒困境的博弈加以表示。北方航空公司合作竞争新华航空公司合作500000, 5000000, 900000a,b_c,de,fg,h甲 上下竞争

4、900000, 060000, 60000（2）解释为什么均衡结果可能是两家公司都选择竞争性策略。答：若新华选择“竞争”，则北方也会选择“竞争” （600000）;若新华选择“合作”，北方仍会选择“竞争” （900000500000）。若北方选择“竞争”， 新华也将选择“竞争” （600000） ;若北方选择“合作”, 新华仍会选择“竞争” （9000000）。由于“竞争”为双方的占优策略，故均衡结果为两家公司都选择竞争性策略。5、博弈的收益矩阵如下表：乙左右甲上a，bc，d下e，fg，h（1） 如果（上，左）是占优策略均衡，则 a、b、c、d、e、f、g、h 之间必然满足哪些关系？答：从占优

5、策略均衡的定义出发：对甲而言，策略“上” （a,c）优于策略“下” （e,g）；对乙而言，策略“左”（b,f）优于策略“右”（d,h）。所以结论是：ae, bd, fh, cg（2）如果（上，左）是纳什均衡，则（1）中的关系式哪些必须满足？答：纳什均衡只需满足：ae, bd,（3）如果（上，左）是上策均衡，那么它是否必定是纳什均衡？为什么？ 答：占优策略均衡一定是纳什均衡，因为占优策略均衡的条件包含了纳什均 衡的条件。（4）在什么情况下，纯策略纳什均衡不存在？答：当对每一方来说，任意一种策略组合都不满足纳什均衡时，纯战略纳什 均衡就不存在。7、求纳什均衡。小猪按等大猪按5, 14, 4等9,-

6、10, 0纳什均衡为：大猪“按”，小猪“等”，即（按，等）6、乙低价高价甲低价100,80050，50高价-20,-30900， 600(1)有哪些结果是纳什均衡？答：(低价，低价)，(高价，高价)(2) 两厂商合作的结果是什么？答：(高价，高价)8、用反应函数法结合划线法，求出下列博弈的所有纯策略纳什均衡参与人 2参与人 1 的反应函数:R1(2)=B,若 2 选择甲=B,若 2 选择乙=A,若 2 选择丙=C 或 D,若 2 选择丁参与人 2 的反应函数:R2(1)=丙若 2 选择 A=甲，若 2 选择 B参与A2,33,230,3B4,45,201,1,2C3,14,111呂0,2D3,

7、14,1-11,2_0,1甲乙丙 丁=丙若 2 选择 C=丙若 2 选择 D求共集，得纯策略纳什均衡为（B，甲）与（A，丙）（2）混合策略 Nash 均衡设甲选择“ U”的概率为 P1，则选择“ D”的概率为 1-P1乙选择“ L”的概率为 P2，则选择“ R ”的概率为 1-P2对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“U”和“ D”，使乙选择“ L”和“ R”的期望值相等 即 P1*0+(1-P1)*6= P1*8+(1-P1)*5解得 P1=1/9即（1/9,8/9 ）按 1/9 概率选“ U”、8/9 概率选“ D”为甲的混合策略 Nash 均衡 对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“ L”和

8、“ R”，使乙选择“ U”和“D” 的期望值相等即 P2*5+（1-P2）*0= P2*2+（1-P2）*4解得 P2=4/7即（4/7,3/7 ）按 4/7 概率选“ L”、3/7 概率选“ R”为乙的混合策略 Nash 均衡10、根据两人博弈的损益矩阵回答问题:5,00,82,64,5LRUD9、求出下面博弈的纳什均衡（含纯策略和混合策略）。解：（1）纯策略 Nash 均衡:由划线法可知，该矩阵博弈没有纯策略 Nash 均衡。（1）写出两人各自的全部策略答：全部策略：(上，左)，(上，右)，(下，左)，(下，右)(2) 找出该博弈的全部纯策略纳什均衡。答：由划线法可知，该矩阵博弈全部纯策略

9、Nash 均衡为(上，左)和(下，右)两个(3) 求出该博弈的混合策略纳什均衡。解：设甲选择“上”的概率为 P1，则选择“下”的概率为 1-P1乙选择“左”的概率为 P2，贝 U 选择“右”的概率为 1-P2对甲而言，最佳策略是按一定的概率选“上”和“下”，使乙选择“左”和“右” 的期望值相等即 P1*3+(1-P1)*0= P1*0+(1-P1)*2解得 P1=2/5即(2/5,3/5 )按 2/5 概率选“上”、3/5 概率选“下”为甲的混合策略 Nash 均衡 对乙而言，最佳策略是按一定的概率选“左”和“右”，使乙选择“上”和“下” 的期望值相等即 P2*2+(1-P2)*0= P2*0

10、+(1-P2)*4解得 P2=2/3即(2/3,1/3 )按 2/3 概率选“左”、1/3 概率选“右”为乙的混合策略 Nash 均衡11、某寡头垄断市场上有两个厂商，总成本均为自身产量的 20 倍，市场需求函数为 Q=200-P求：(1)若两个厂商同时决定产量，产量分别是多少？(2) 若两个厂商达成协议垄断市场，共同安排产量，则各自的利润情况如何？(3) 用该案例解释囚徒困境。答：(1)由已知条件 Q=200-P，P=200-Q2,30,00,04,2左右上下TC1=20q1，TC2=20q2 q1+q2=Q可得 1,2 厂商的利润函数分别为：K1= Pq1-TC1=(200-(q1+q2)

11、q1-20q 1=180q1-q12-q1q2K2=Pq2-TC2=(200-(q1+q2)q2-20q2=180q2-q22-q1q2令 dK/dq1=0 得厂商 1 的反应函数为 180-2Q1-Q2=0,令 dK/dq2=0 得厂商 2 的反应函数为 180-Q1-2Q2=0,联解可得 q 仁 q2=60K 仁 K2=3600(2)由已知条件 Q=200-P, P=200-QTC=TC1+TC2=20q1+20q2 =20Q可得 1,2 厂商的总利润函数为：K=PQ-TC=(200-Q)Q-20Q=180Q-Q2令 dK/dQ=0 得 Q=90,q1=q2=45K=PQ-TC=(200-

12、Q)Q-20Q=180Q-Q2=8100K 仁 K2=4050(3)将 q1=45,q2=60 和 q 仁 60,q2=45 分别代入 1,2 厂商的利润函数可得 1,2 厂商的利润为：K1 ( q1=45,q2=60)=Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375K1 ( q1=60,q2=45)=Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2=4500K2 (q 仁 45,q2=60)=Pq2-TC2=(200-(q1+q2)q2-20q2=180q2-q22-q1q2=4500K1 ( q1=60,q

13、2=45)=Pq1-TC1=(200-(q1+q2)q1-20q1=180q1-q12-q1q2=3375厂商 2合作（q2=45）不合作（q2=60）厂商 1合作（q 仁 45）4050, 40503375, 4500不合作（q1=60）4500, 33753600， 3600根据划线法，可得厂商 1.2 的上策是（不合作，不合作）即（3600,3600） 双方利润均低于（合作，合作）（4050,4050）显然它属于“囚徒困境”13、（市场威慑）考虑下面一个动态博弈：首先，在一个市场上潜在的进入者选 择是否进入，然后市场上的已有企业（在位者）选择是否与新企业展开竞争。在位者可能有两种类型，温

14、柔型（左图）和残酷型（右图），回答下面问题（1）找出给定在位者的两种类型所分别对应的纳什均衡，以及子博弈精炼纳什均衡（1）温柔型在位者的纳什均衡为（进入，默认）残酷型在位者的纳什均衡为（不进入,（进入，斗争）（2）已有企业为温柔型的概率至少多少时，新企业才愿意进入？20 p -10（1 -p）十=0得到 p 七=1/3四、论述题1、解释“囚犯困境”，并举商业案例说明。（1）假设条件举例：两囚徒被指控是一宗罪案的同案犯。他们被分别关在不同的牢房无法互通信息。各囚徒都被要求坦白罪行。如果两囚徒都坦白，各将被判 入狱 5年；如果两人都不坦白，两囚徒可以期望被从轻发落入狱 2 年；如果一个 囚徒坦白而

15、另一个囚徒不坦白，坦白的这个囚徒就只需入狱 1 年，而不坦白的囚 徒将被判入狱 10年。（2）囚徒困境的策略矩阵表。每个囚徒都有两种策略：坦白或不坦白。表中的 数字分别代表囚徒甲和乙的得益。囚徒乙坦白不坦白囚徒甲坦白-5， -5-1， -10左图：温柔型进入者进入者不坦白-10， -1-2，-2（3）分析：通过划线法可知：在囚徒困境这个模型中，纳什均衡就是双方都“坦 白”给定甲坦白的情况下，乙的最优策略是坦白；给定乙坦白的情况下，甲的 最优策略也是坦白。而且这里双方都坦白不仅是纳什均衡，而且是一个上策均衡， 即不论对方如何选择，个人的最优选择是坦白。其结果是双方都坦白。（4）商业案例：寡头垄断

16、厂商经常发现它们自己处于一种囚徒的困境。当寡头 厂商选择产量时，如果寡头厂商们联合起来形成卡特尔， 选择垄断利润最大化产 量，每个厂商都可以得到更多的利润。 但卡特尔协定不是一个纳什均衡， 因为给 定双方遵守协议的情况下，每个厂商都想增加生产，结果是每个厂商都只得到纳 什均衡产量的利润，它远小于卡特尔产量下的利润。2、解释并讨论古诺的双寡头模型的纳什均衡。为什么其均衡是一种囚徒困境？见上课笔记或计算题第 11 题3、用“小偷与守卫的博弈”说明“激励（监管）悖论”。（1）假设条件举例：偷窃和防止偷窃是小偷和门卫之间进行博弈的一场游戏。门卫可以不睡觉，或者睡觉。小偷可以采取偷、不偷两种策略。如果小

17、偷知道门 卫睡觉，他的最佳选择就是偷；如果门卫不睡觉，他最好还是不偷。对于门卫， 如果他知道小偷想偷，他的最佳选择是不睡觉，如果小偷采取不偷，自己最好去 睡觉。（2）小偷与门卫的支付矩阵表（假定小偷在门卫睡觉时一定偷成功，在门卫不 睡觉时偷一定会被抓住）：门卫睡觉不睡觉小偷偷1,-1-2, 0不偷0, 20, 0（3）分析：通过划线法可知：这个博弈是没有纳什均衡的。门卫不睡觉，小偷 不偷，双方都没有收益也没有损失；门卫不睡觉，小偷偷，门卫因为是本职工作 得不到奖励，小偷被判刑丧失效用 2 单位；门卫睡觉，小偷不偷，门卫睡觉的很 愉快得到效用 2 单位，小偷没有收益也没有损失；门卫睡觉，小偷偷，

18、门卫因失 职被处分而丧失效用 1单位，小偷偷窃成功获得效用 1 单位。（4）“激励（监管）悖论”说明：现实中，我们看到，当门卫不睡觉时，偷窃分 子便收敛一阵；严打的时期一过，偷窃分子又开始兴风作浪，在不能容忍小偷过 分猖狂的时候，门卫不得不再次开始认真。即偷的小偷越多，那么不睡觉的门卫 将会越多，偷的小偷越少，不睡觉的门卫将越少；反过来，不睡觉的门卫越多， 偷的小偷就越少，不睡觉的门卫越少，偷的小偷就越多。如果偷窃集团倾巢出动， 那么门卫的选择也是全部不睡觉， 但门卫一旦全部不睡觉，小偷最好选择全部不 偷，小偷一旦选择全部不偷，门卫最好全部选择睡觉。（5）结论：加重对小偷的处罚在长期中并不能抑制偷窃（而只能使门卫偷懒） 加重处罚失职门卫恰恰是会降低偷窃发生的概率。这种门卫和小偷的博弈所揭示 的，政策目标和政策结果之间的这种意外关系，常被称为“激励的悖论”。爱情的美妙，就在于人的多情和心甘情愿，在甜蜜的热恋阶段，全身心的投入和付出都无怨无悔。男人深情缱绻地对女人说：我负责赚钱养家，你负责貌美如花。”那时那刻的话语，相信他是真心的，出