第十章定积分的应用

1、数学分析教案第十章 定积分的应用(12学时)1 平面图形的面积教学目的要求: 能熟练的将各种形式表示的曲线所围成的图形抽象成为不定积分，并计算出它们的面积.教学重点难点: 重点是计算由各种形式表示的曲线所围成的图形的面积.难点是参数方程和极坐标方程表示的曲线所围成的图形的面积的计算.学时安排: 2学时教学过程:一、积分的几何意义我们讲过，若且，则定积分表示由连线曲线y=f(x)，以及直线x=a,b和x轴所围成的曲边梯形的面积。当0时，定积分表示的是负面积，即表示的是f在a,b上的正负面积代数和。例如。若计算sinx在0，上的面积，则变为。二、f(x)，g(x)在a,b上所围的面积由几何意义得，

2、该式当f(x)和g(x)可判断大小的情况下适合，但f(x)和g(x)无法判断大小时，要修改为。如果f(x)和g(x)有在积分区域a,b内交点，设为，且，则。所以此时求f(x)和g(x)在a,b上的面积，即为f(x)和g(x)所围成的面积，要先求出交点，作为它们的积分区域。 例1、求，所围的面积S。 例2、求、在上所围图形的面积。例3、已知通过点(1,2)与有个交点，又a0）一个拱与x轴所围的图形的面积。例2、求椭圆（a0，b0）的面积S。四、极坐标下的面积公式设曲线的极坐标方程是：，则由曲线，射线及所围的扇形面积S等于。例1、求双纽线所围图形面积S。例2、求由，所决定的外层曲线和内层曲线之间的

3、面积S。例3、求三叶形成曲线（a0）所围图形面积。2 由平行截面面积求体积教学目的要求: 能熟练计算平行截面面积为已知的立体的体积和旋转体的体积.教学重点难点: 重点是用定积分求体积. 难点把具体问题抽象成定积分.学时安排: 2学时教学过程: 一般体积公式：设一几何体夹在xa和xb（a0)3平面曲线的弧长与曲率教学目的要求: 能熟练计算平面曲线的弧长.教学重点难点: 重点是用定积分平面曲线的弧长. 难点弧长公式的证明.学时安排: 2学时教学过程:一、平面曲线的弧长1、先建立曲线的长度（弧长）的概念 一条线段的长度可直接度量，但一条曲线段的“长度”一般却不能直接度量，因此需用不同的方法来求。设平

4、面曲线C由参数方程 （）给出，设是的一个划分，即，它们在曲线C上所对应的点为，。从端点开始用线段一次连接这些分点，得到曲线的一条内接折线，用来表示的长度，则内接折线总长度为曲线C的弧长S定义为内接折线的总长在时的极限：如果S存在且为有限，则称C为可求长曲线。2、弧长公式设曲线C： （），且，在上可微且导数，在上可积，曲线C在无自交点，则曲线C的弧长S为：注：其它形式的弧长公式（1）设在a,b上可微且导数可积，则曲线（axb）的弧长S为：（2）若曲线极坐标方程，则当在上可微，且可积时，（3）空间曲线 （），弧长S为其中x(t)，y(t)，z(t)在上可微，导数，在上可积且曲线C在 上无自交点。例

5、1、求圆周，的弧长S。例2、求抛物线，的弧长S。例3、求椭圆（ba0）的弧长S。3、弧长的微分设C： （）是光滑曲线（，在连续且）；且无自交点。若把公式中的积分上限改为t，就得到曲线C，由端点到动点的一段弧长。由上限函数的可微性知存在，二、曲率1、平面曲线的曲率曲线的弯曲程度不仅与其切线方形的变化角度的大小有关，而且还与所考察的曲线的弧长有关，并且曲率与成正比，与成反比。即一般曲线的弯曲程度可用，其中：曲线段的平均变化率；：曲线段上切线方向的角度；：曲线段的弧长。例 半径为R的圆：。对于一般的曲线，如何刻画它在一点处的弯曲程度呢？，称为曲线在A点的曲率，即2、曲率的计算记二阶可微，则在点x处的曲率为：因为，所以，又因为所以例1、求在任一点的曲率。3、曲率圆和曲率半径过点（x，y(x)）且与yy（x）在该点有相同的一阶及二阶导数的圆称为曲率圆。曲率圆的中心和半径分别称为曲率中心和曲率半径。如何求曲线上一点（x，y(x)）处的曲率圆呢？因为，则（a,b）在过（x，y(x)）的法线上：。例 求在点（0,0）的曲率圆方程？4旋转曲面的面积教学目的要求: 能熟练掌握微元法,会用微元法计算曲面的面积.教学重点难点: 重点是微元法、用微元法