第四章不定积分

1、 应用数学精品课程电子教案 hanlianjun第四章 不定积分本章讨论的问题寻求一个可导函数,使它的导数等于已知函数.即求导数的逆运算-不定积分.第一节 不定积分的概念和性质要求:理解原函数的概念和不定积分的概念,了解原函数存在定理、积分曲线的概念.初步掌握基本积分表和不定积分的性质.重点:原函数、不定积分的概念，基本积分表和不定积分的性质.难点:不定积分的概念.积分曲线的概念,运用基本积分表和不定积分的性质求不定积分.4教学时一. 原函数与不定积分的概念定义1.如果区间I上,可导函数的导数为,即.都有或那么函数就称为(或)在区间I上的原函数.例如: 所以的原函数. ,所以是的原函数.当时,

2、.所以是在内的原函数.关于原函数的问题:1 原函数的存在问题：一个函数具备什么条件时它的原函数一定存在？2 原函数的结构问题:一个函数如果存在原函数,其原函数的个数有多少?这些原函数的关系如何表达? 原函数存在定理:如果函数在区间上连续.那么在区间上存在可导函数,使对任一都有 即连续函数一定存在原函数. 原函数和结构问题:设在区间上的一个原函数,那么对任意常数C有 即对任意常数C,函数也是的原函数.这说明.如果有一个原函数,那么就有无穷多个原函数.设的另一个原函数,则,有.于是所以 (为某个常数)这表明只差一个常数.因此当C为任意常数时,表达式 就可以表示的任意一个原函数,也就是说, 的全体原

3、函数所组成的集合,即函数族.定义2:在区间上,函数的带有任意常数项的原函数称为在区间上的不定积分,记作,其中记号称为积分号, 称为被积函数, 称为被积表达式, 称为积分变量.即如果是的一个原函数,那么就是的不定积分.即 =因此不定积分可以表示的任意一个原函数.例1. 求解:由于,所以是的一个原函数.因此 =+C例2.求.解:当时,由于,所以在内的原函数,因此在内,有 .当时,由于,所以当时,由于内的原函数,因此在内.把以上结果综合起来,得.例3.设曲线通过点,且其上任一点处的切线斜率等于这点横坐标的2倍,求此曲线的方程.解:设所求曲线方程为,由题设曲线上任一点处的切线斜率为.即的原函数,因为故

4、必存在某个常数C,使.因为所求曲线通过点,故 .于是所求曲线方程为.函数的原函数的图形称为的积分曲线.例3即是求函数的通过点的那条积分曲线.不定积分与微分(求导)互为逆运算:由于是的原函数 .所以或.又由于是的原函数,所以.由此可见微分运算(以记号表示)与求不定积分的运算(简称积分运算以记号表示)是互逆的,记号与一起时或者抵消,或者抵消后差一常数.二. 基本积分表1.为常数)2. .3.4. .5. .6. .7. 8. 9. .10. 11. 12. 13. 14. 15. 以上十五个基本积分公式是求不定积分的基础,必须熟记.例4.求.解: 例5. 三.不定积分的性质性质1.设函数的原函数存

5、在,则 性质2.设函数的原函数存在, 为非零常数,则 .例6.求.解: .例7.求解: 例8. 求.解: 小结:1.原函数的定义;2.原函数的存在定理和结构;3.不定积分的定义;4不定积分与微分(或求导)互为逆运算;5.不定积分的性质6.基本积分表(要求熟记).作业第二节 换元积分法利用基本积分积分表与积分性质，所能计算的不定积分是非常有限的，因此，有必要进一步来研究不定积分的求法。换元积分法是求不定积分的一种重要方法。要求：掌握换元积分法。重点：第一换元积分法、第二换元积分法。难点：第一换元积分法中中间变量的选取,灵活地地应用微分公式凑微分；第二换元积分法中适当连续单调函数，转化为关于的不定

6、积分，求出不定积分后用回代。共8学时。一、 第一换元积分法定理1（第一换元积分法）设函数在所讨论的区间上可微，又设，则有 证明：因为，由定义则有：由复合函数的求导法则，得所以 的一个原函数，故 第一类换元积分法的解题步骤：设要求如果被积函数可化为的形式，那么= =注：第一换元积分法的关键是如何选取，并将凑成微分的形式，因此，第一换元积分法又称为“凑微分”法。例1、 求例2、 求（1）（2）例3、 求； 例4、 求不定积分：（1）（2）例5、 求不定积分例6、 求例7、 求下列不定积分：（1）；（2）；（3）例8、 求下列不定积分（其中）：（1）；（2）；（3）作业：二、第二换元积分法定理2、（

7、第二换元积分法）设是可微函数，并有可微反函数，若则 证明 由复合函数及反函数求导法则，得所以 的一个原函数。故 第二换元积分法的解题步骤：1、第二换元积分法的常见形式之一：被积函数中含有的不定积分，令，即作变换。例1 求不定积分。解：令，即，这样就就去掉被积函数中的根号，此时，于是例2 求不定积分：（1）；（2）解：（1）令（2）令2、第二换元积分法的常见形式之二：被积函数中含有二次根式，的不定积分。这三种根式通常采用三角换元的方法可去掉根号：含时，设；含时，设；含时，设。例3 求下列不定积分（其中）：（1）C；（2）；（3）。解：（1）令 再由（2）设（3）设第二换元积分法主要解决含根式的积

8、分电路问题，但也要具体问题具体分析，如积分等，使用第一换元积分电路法更为简便。不定积分公式（续）（14）；（15）；（16）；（17）；（18）；（19）；（20）；（21）；（22）。作业：P140 T3（3）（6） T4（1）（3）（5）。第三节 分部积分法重点：分部积分法公式的使用，正确地选取函数求出不定积分。难点：用分部积分法时，掌握选择的原则，使不定积分的计算容易求出。教学时间：4教学时教学过程：一、 分部积分公式设有连续的导数，由，得两边积分，有即 式称为分部积分公式，使用分部积分公式求不定积分的方法称为分部积分法。分部积分法的核心是将不易求出的积分转化为较易求出的积分，而关键是把

9、积分写成的形式，这个形式就是要正确地选取，使积分比积分容易求出。以下通过例子说明分部积分公式适用的题型及如何选择。例1 求；解：令 此题若令 这样新得到的积分反而比原积分更难求了。所以然在分部积分法中，的选择不是任意的，如果选取不当，就得不出结果。在通常情况下，按以下两个原则选择：（1）要容易求，这是使用分部积分公式的前提；（2）要比容易求出，这是使用分部积分公式的目的。例2求；解：设注：在分部积分法中，的选择有一定规律的。当被函数为幂函数与正（余）弦或指数函数的乘积时，往往选取幂函数为例3、求；解：为使容易求得，选取 例4求；解：设例5求。解： 注：如果被积函数含有对数函数或反三角函数，可以

10、用考虑用分部积分当，并设对数函数或反三角函数为。注：在分部积分法应用熟练后，可把认定的，记在心里在而不写出来，直接在分部积分公式中应用。例6求；解：由于上式第三项就是所求的积分，把它移到等式左边，得故 注：如果被积函数为指数函数与正（余）弦函数的乘积，可任选项其一为，但一经选定，在后面的解题过程中要始终选项其为。注：有时求一个不定积分，需要将换元积分法和分部积分法结合起来使用。（如下例）例7求解：先去根号，设特别注意：尽管所有初等函数在其定义区间上的原函数都存在，但其原函数不一定都是初等函数。例如：及例8求下列不定积分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；例9已知F(x)在-1，1上连续，在（-1，1）内，且，求F(x)；例10已知f(x)的一个原函数是(1+sinx)lnx，求（1）；（2）；解：由已知得注：同理可解题（2）。例11，故原式=。例12；例13；例14已知一个原函数是，求；解：由题设，于是有，故；例15已知，求；课堂小结：1、分部积分公式：即 2、选择函数、的原则：（1）要容易求，这是使用分部积分公式的前提；