数列极限的几种求法

1、数列极限的几种求法摘要本文通过实例，归纳总结了数列极限的若干种求法学习并掌握这些方法，对于学好数学分析颇有益处 关键词数列极限；级数；定积分；重要极限；单调有界数列中图分类号171 Several Methods of Sequence limit Abstract：Through examples，summarized several series method for finding the limitLearn and master these methods，mathematical analysis is quite good for studyingKeywords：Sequenc

2、e limit；Series；Definite integral；Important limit；Monotone bounded sequence引言极限是分析数学中最基本的概念之一，用以描述变量在一定的变化过程中的终极状态极限的概念，可追溯到古希腊时代，德谟克里特（Democritus）是古希腊的哲学家，他博学多才，著作多到五六十种，涉及哲学、数学、天文、生物、医学、逻辑、教育与文学艺术等方面年轻时他花尽了父亲给他的全部财产到埃及、巴比伦、印度等国家游历，获得了大量的科学知识马克思、恩格斯称他为“经验的自然科学家和希腊人第一百个百科全书式的学者”谟克里特以探求真理为最大快乐，他有句名言：“

3、宁可找到一个因果的解释，不愿获得一个波斯王位”在他的著作中有一种原子法，把物体看作是由大量微小部分叠和而成，利用这一理论，求得锥体体积是等于等高柱体体积的三分之一，这是极限思想的萌芽公元前五世纪，希腊数学家安提丰（Antiphon）在研究化圆为方问题时创立了割圆术，即从一个简单的圆内接正多边形出发，把每边所对的圆弧二等分，连结分点，得到一个边数加倍的圆内接正多边形，当重复这一步骤多次时，所得圆内接正多边形面积之差将小于任何给定的限度实际上，安提丰认为圆内接正多边形与圆最终将会重合稍后，另一位希腊数学家布里松(Bryson)考虑了用圆的外切正多边形逼近圆的类似步骤这种以直线形逼近曲边形的过程表明

4、，当时的希腊数学家已经产生了初步的极限思想公元前世纪，欧多克索斯(Eudoxus)将上述过程发展为处理面积、体积等问题的一般方法，称为穷竭法，并发展为较为严格的理论，提出现在分析中通称的“阿基米德公理”穷竭法成功地运用于面积的计算这些都可以看作是近代极限理论的雏形朴素的、直观的极限思想在我国古代的文献中也有记载如，中国古代的墨经中载有“穷，或有前，不容尺也”，庄子天下中载有“一尺之棰啊，日取其半，万世不竭”公元世纪的中国数学家刘徽所创的割圆术，从圆内接正六边形出发割圆，得到圆内接边形序列，并指出割得越细，正多边形的面积与圆面积之差就越小，“之又割，以至于不可割则与圆和体，面无所失矣”，其中包括

5、了深刻的极限思想基本概念定义若函数的定义域为全体正正数集合，则称或为数列因正整数集的元素可由小到大的顺序排列，故数列也可写作或简单地记为，其中称为该数列的通项定义设为一数列，如果存在常数，对于任意给定的正数（无论它多么小），总存在正整数，使得当时，不等式都成立，那么就称常数是数列的极限，或者称数列收敛于，记为或若数列没有极限，则称不收敛，或称为发散数列数列极限的几种求法极限论包括数列极限和函数极限两类，其中计算数列极限有着多种多样的方法，除了要熟练运用极限的四则运算法则，极限和无穷小量之间的关系和初等函数的连续性以外，还要掌握和应用更多的方法和技巧在这里，主要总结了以下几种方法：（）四则运算法

6、；（）变量替换法；（）初等变形法；（）利用重要极限求数列极限；（）单调有界数列法；（）利用定积分求数列极限；（）利用两边夹定理法；（）级数法下面通过实例讲述数列极限的若干种求法（）用四则运算法则求极限定理若与为收敛数列，则， 也都是收敛数列，且有，例求解，由得（）用变量替换求极限有时候，为了将已知的极限化简，转化成为已知的极限，可根据极限式的特点，适当引入新变量，以替换原有的变量，使原来较复杂的极限过程转化为更简化的极限过程例设，求(i) ；(ii) 解可令，则于是（i） （ii） （）运用初等变形求极限对于某些较繁的数列，可用初等数学的方法将其变形，转化为一个简单的数列，然后再对之求极限例求

7、极限解因为（）利用重要极限求数列极限两个重要极限分别为（i）；（ii）例求解（）利用单调有界数列法求极限这一方法是利用极限理论基本定理：单调有界数列必有极限，其方法为：判定数列是单调有界的，从而可设其极限为；建立数列相邻两项之间的关系式；在关系式两端取极限，得到一个关于的方程，若能解出，问题得解例求数列，其中的极限解设则是单调有界数列，它要有极限，设其极限为在两边取极限得，即所以因为，所以，即（）利用定积分求数列极限若一个数列是一个和式的形式，且每一项可提出一个或其他形式的代数式，提出这些代数式后，剩下的可表示为一个通式，则可方便的用定积分法求解例求解原式（）利用两边夹定理求数列极限当一数列极

8、限不易直接求出时，可考虑将求极限的数列作适当的放大和缩小，使放大、缩小所得的新数列易于求极限，且两端的极限值相等，则原数列的极限值存在，且等于它们的公共值例求解因为，又因为所以（）用级数展开式求数列极限级数是一个无穷序列和的形式，其部分和就是一个序列有时为了方便可将数列极限看作是某个级数的部分和，这样能更方便、更简捷的求出数列的极限例计算解由泰勒公式知：令得，则为所求总之，极限的求法很多，但如果在解题过程中能根据算式的特点注意使用适当的解题方法，则可以化难为易，使问题得到圆满解决，并可提高解题效率参考文献1华东师范大学数学系数学分析（上册，第三版）北京：高等教育出版社，20062黄丹妹试论极限的计算方法数列篇福建：福建省侨兴轻工学2005(07)：18-203魏立明一类数列极限求法的研究广西贺洲梧州师