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1、级数运算中的几个小技巧 Pb07210229 詹金春级数含有无穷多项，它的运算要讲究方法，否则运算量将会令我们望而却步。下面我举几个例子讲述一些小技巧。例1 将函数f(x)=exsinx展开成x的幂级数。解：方法一 因为ex=n=0xnn！，-<x<+, Sinx=n=0（-1）nx2n+12n+1！=n=0sinn2n！xn，-<x<+应用幂级数的乘法运算得exsinx=n=0sinn2n！+1*sin（n-1）2（n-1）！+12！sin（n-2）2（n-2）！+1（n-1）！*sin21xn=(计算过程相当复杂，数学公式输入有难度，这里从略)=n=0（2n /2s

2、inn2）xnn！方法二 由欧拉公式 eix=cosx+isinx，有sinx=（eix -e-ix）/2i 所以 exsinx=ex（eix -e-ix）/2i =（e(i+1)x -e（1-i）x）/2i =1/2in=01n！（）-（-）n=0（2n /2sinn2）xnn！，-<x<+比较两种方法，注意到sinx=（eix -e-ix）/2i就可以明显减少计算量。例设（）arctan-.求fn（0）解 由函数幂级数展开的唯一性，我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。f(x)=2x/(1+x4)=2xn=0(-1)nx4n=n=0-1n2x4n+1,-1<

3、;x<1两边从0到x积分得0xfxdx=fx-f0 =n=0ox-1n2x4n+1dx =n=0-1n24n+2x4n+2所以f(x)=f(0)+ n=0-1n24n+2x4n+2 =4+n=0-1n24n+2x4n+2因此f(4n+2)(0)=(4n+2)!(-1)n/(2n+1),n=0,1,2, 其他的 f(n)(0)=0本题若直接求，明显会比上述方法难算。例3 设f(x)=x4/(1+x3),求f(10)(0).解：因为 1/(1+x)=n=0(-1)nxn,-1<x<1所以 1/(1+x3)= n=0(-1)nx3n, -1<x<1所以 x4/(1+x3)= n=0(-1)nx3n+4,-1<x<1 f(3n+4)(0)= -1n3n+4!,n=0,1,2, n=2时，f(10)(0)=10！总结上面三题用到的小技巧如下：1 注意到sinx=（eix -e-ix）/2i，可将sinx用ex形式展开。2 由函数幂级数展开的唯一性，且级数为多项式时，各阶导数容易求，我们可以利用函数的幂级数展开求导数在指定的各阶导数值。3 将x4单独提出来，不参与级数展开，利用基本函数的

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