有理函数及三角函数有理式的积分

1、有理函数及三角函数有理式的积分3.6有理函数及三角函数有理式的积分教学目的：使学生理解有理函数及三角函数有理式积分法，掌握有理函数及三角函数有理式积分法的一般步骤及其应用。重点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用难点：有理函数及三角函数有理式积分法及其应用教学过程：一、问题的提出前面两节我们利用基本积分表、不定积分性质和两种基本积分发（换元积分法与分部积分法）已经求出了一些不定积分。从求解过程中可见，求不定积分不像求导数那样，只要按照求导法则并利用基本求导公式就一定能求出一个函数的导数，而求不定积分却没有那样容易。即使一个看起来并不复杂的函数，要求出结果，有时候都需要一定的技巧，有些甚至还

2、“积不出”。例如，sinxdxxdx-,edxxInxdx-33 )#1 x被积函数都是初等函数，看起来也并不复杂，但是在初等函数范围内却积不出来，这是因为被积函数的原函数不是初等函数。本节主要介绍几类常见的函数类型的积分方法与积分计算技巧。求不定积分的主要方法有“拆、变、凑、换、分、套”“拆”，即将被积函数拆项，把积分变为两个或几个较简单的积分。“变”，即代数恒等变形：加一项减一项、乘一项除一项、分子分母有理化、提取公因子；三角恒等变形：半角、倍角公式，平方和公式，积化和差、和差化积、和角公式；陪完全平方：根号下配完全平方、分母配完全平方等；“凑”，即凑微法（第一类换元法）。“换”，即第二类

3、换元法（三角代换、倒代换、指数代换法等）。“分”，即分部积分法。“套”，即套基本公式。求不定积分的主要技巧在一个“巧”字和一个“练”字，即巧用上述方法和综合运用上述方法。二、有理函数的积分有理函数盹）是指由两个多项式的商所表函数,r # 、 nP（ x） a0x a1xan1x anR（x）Q（x）boxmbixm1bmixbm其中m和n都是非负整数；九叭归，务及Qi*,%都是实数，通常总假定分子多项式P（x）与分母多项式Q（x）之间没有公因式，并且a0 0，当nm时，称R(x)为真分式；而当nm时，称R(x)为假分式一个假分式总可化为一个多项式和一个真分式之和的形式.例如x4X32x12XX

4、1X1X1.多项式的积分容易计算，因此，积有理函数的分主要是解决真分式的积分问题，积分而真分式的往往是转化为最简分式来计算.先来讨论鉴此，我们真分式分解为最简分式问题P(x)在实数范围内，真分式丽总可以分解成最简分式之和，且具有这样的对应关系：如果Q(x)中有因式(xa)k,那么分解后相应有下列k个最简分式之和A1A2Ak(xa)k(xa)k1(xa)其中A、A2、？?？、Ak都是常数.特别地，如果k1,A那么分解后只有一项门；如果q(x)中有因式(x2Pxq)k(P24q0),那么分解后相应有下列k个最简分式之和M1XN1M2XN2MkXNk(x2pxq)k(x2pxq)k1x2pxq其中N

5、i都是常数.特别地，如果k1,那MxN么分解后只有一项X2pxq.有理真分式总能分解为若干个部分分式之和的形式(部分分式是指这样一种简单分式，分母为一次因式或二次质因式)。从而得到，有理真分式的积分总可以归纳为以下四种形式的部分分式的积分：A ndX (x a)0)一”x;MxN “pX q dxx(p24qxandx(p24q0),其中系数A、M、N为常数PXq)综上所述，有理函数分解为多项式及部分分式之和以后，各个部分都能积出，且原函数都是初等函数，因此，有理函数的原函数都是初等函数。由上述定理，我们得到求有理真分式不定积分空Ldx的步骤书为：Qm(x)第一步将Q”)分解为(2)的形式；第

6、二步将阳分解为(3)的形式；Qm(x)第三步求各部分分式的原函数。下面通过具体的举例来说明分解的方法和步骤.例1把x(x1)2分解为最简分式之和.解：根据真分式的性质可设1ABC22X(x1)=x(x1)(x1)上式两端去分母后，得1A(x1)2BxCx(x1)(1)或1(AC)x2(2ABC)xA(2)因为这是恒等式，等式两端对应项的系数应相等，于是有AC02ABC0A1从而解得A1,B1,C1.1_L11于是得x(x1)2=X(x1)2(x1).注：此题定A、B、C还有另法：在恒等式中，代入适当的x值，即可求出待定的常数.在式中令x1得B1；令x0,得A1；再令x2,得C1.于是得11nx

7、(x1)2=x(x1)2(x1)x3例2把x25x6分解为最简分式之和.x3解：因为x25x6(x2)(x3)A_B所以，令x25X6nn,其中A、B为待定常数.上式两端去分母后，得x3A(x3)B(x2)(3)或x3(AB)x(3A2B)比较两端系数有AB1(3AB)3从而解得A5,B6所以x3562x5x6x2x3注：此题也可以米用上例第二种方法确定待定系数.x2例3把(x2)(x22X2)分解为最简分式之和.解：因为分母中x2解2x2为二次质因式，故应分为A(xBxC2)(x22x2)x二两端去分母得x2x2x2A(x22x2)(BxC)(x2)比较两A2B1端对应项的系数不难求得C2所

8、以2x(x2)(x22x2)门厂2x2分式之Ax a、0)等五类由上可知，有理函数总能分解为多项式及最简和，其积分最终归结为多项式、AMxNMxNk22kn(xa)、xpxq、(xpxq)(kN,k1,p4q函数的积分？显然，前面四类都比较容易积出，我们将在下面的例子中进行介绍，而对于最后一类积分较繁，其结果可通过查阅积分表求得，这里不作讨论.x3 4x2 2x 9 2 x 5x 6x3 4x2 2x 9解：因为 x 5x 6又由前面例2知x3 4x2 2x 9 -所以，-x 5x 6 d 2x 5ln x 2 6ln x212 dx 例 5 求 x(x i)2解：因为1x(x 1)2 = x

9、所以八77 dx,一1一x(x 1)2 (x 1)1Sx2dxx(x 1)dxx2 5x 6_5 65x 6 xc c12(x 1) (x 1)dxIn x一 In x 1 C x 12x.6求(x2)(x22x2)解：由例x3可得2x2dxx,2x2x22dxdx(x2)(x22x2)x2dx1(2x2)1x22a.2dx2dx乂x22x2x22x21 2x 22 N1 d(x21-In x2dx 1 dx2x 2 产 2x 22 2x 2) d(x 1)2x2 2x 2 (x 1)122x 2 arcta n(x 1) C从而dxInarctan(x1)C(x2)(x22x2)Jx22x2

10、二、三角函数有理式的积分由三角函数和常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角有理式。由于各种三角函数都可用sinx及cosx的四则运算来表示，故三角函数有理式也可以说是由sinx.cosx及常数经过有限次四则云素所构成的函数，记为R(sinx,cosx),其中R(u,v)表示两个变量的有理式，积分R(sinx,cosx)dx称为三角有理式的积分。下面通过举例来说明这类函数的积分方法1例7八求1sinxcosx解：因为x x 2sin cos22 sin x.2 x 2 x sin cos2 coscosx2x . 2 x sin -22x 2ta n.2 x1 tan 22 x 1 tan2

11、.2 x 2 x sin cos一2 22 x 1 ta?所以，令吨2usi nx 1 u2 cosx2arctanu )21 u1 u2 dx 1 u2于是:2du代入原积分得221u1u1uduIn1uC1uxIn1tanC2一般说来,对于三角函数有理式积分，总可u,其.x作变量代换tan2转化为u的有理函数的积1sinxcosxdx,12u221u分即有R(sinx,cosx)dx2u1cu12u2u2duu1例8求sinx(1.x解：令tan2sinxdxcosx)1sinx,，则x2arctanudxsinx(1cosx)111 1u2du2 u1|n21|n2于是12u4u2tan

12、-tan4最后需要指出的是：上面所谈两类函数的积分方法是常规方法，虽然有效但往往非常麻烦，因此，在具体解题时，应尽量采用其它简便方法，只有在用其它方法难以积分的情况下才采用上述方法.如下面的例题2例9求厂dx解：此题属于有理函数积分，可采用上述常规方法做，但用下列方法计算较简便23x,1d(x1)31lnxdxx313x31例10求(xD2x.解：此题也属于有理函数积分，用下列做法计算较简便(x 1)x Adx ? (x 1)八26dx1 dx 6 JdxTldx (x 1)1 1In x 1Cd(x j 6 e d(x 例11x 1 sin x 求 1 sin x % .解：此例属于三角函数

13、有理式积分，用下面做法计算较为简便sin x ,dx1 sin xsin x(1 sinx), 2cos x d (cos x)dx形如2 cos x _L tan cosx12-cos xsin x , 2 dxcos x21 cos x ,2 dx cos xdx dxcsinx .cosx .d dx bcosx（a2b2。）的积分,一般可将被a sinx积函数的分子凑成分母与分母的导数的线形组合，即令csinxdcosxA(asinxbcosx)B(asinxbcosx)B.通过比较等式两端sinx和cosx的系数，求出A和对形如sinmxcosnxdx,sinmxsinnxdx,cosmxcosnxdx的积,般是