微分中值定理及其应用12114

1、目录摘要3ABSTACT41.引言52.微分中值定理及其推广形式介绍62.1微分中值定理及其经典证明62.1.1（罗尔定理）若函数满足下列条件：62.1.2（拉格朗日中值定理的）72.1.3（柯西中值定理）72.2微分中值定理的推广形式及其证明92.2.1：推广192.2.2：推广292.2.3 推广392.2.4 推广492.2.5（导数极限定理）102.2.6 ( 导函数的介值性 ):103微分中值定理的应用113.1一元函数微分中值定理113.1.1 一阶函数与单调性的关系：113.1.2 可微极值点的必要条件:113.1.3 极值点的充分条件:113.1.4 利用单调性证明不等式:12

2、3.1.5 凸性的定义及判定：133.1.6 利用二阶导数判断曲线的凸向:133.1.7 曲线的拐点:143.1.8 函数的最值:153.2微分中值定理在n个函数情形下的应用推广153.2.1：推广153.2.2我们试着把三个函数推广到四个函数163.2.3我们还可以把这个推论推广到个函数的情形：174.结论18参考文献19致 谢20摘要微分中值定理是高等数学微分学的核心内容，在给出三个微分中值定理的基础上，进一步探究每个中值定理的推广延伸形式。在给出微分中值定理的经典证明的基础上，讨论他们之间的联系。将其推广延伸形式的证明依次给出，并讨论这些证明中所运用的思想，从而进一步证明运用微分中值定理

3、得出的分段函数的导函数的性质、讨论导数零点的存在性、研究函数性态、证明不等式和求极限。最后给出微分中值定理在多元函数中的推广应用。关键词：微分中值定理，推广，应用，多元函数AbstactDifferential mean value theorem of higher mathematics is the core content of differential calculus, in the three differential mean value theorem are given on the basis of further study, each extending form t

4、he generalization of the mean value theorem.The differential mean value theorem proof based on the classic, discuss the connection between them.Its extension forms of evidence are presented, and discussed these proved in the use of thought, thereby further demonstrate that the application of the dif

5、ferential mean value theorem that piecewise function, discuss the properties of derivative function zero of derivative existence, of studying function, the proof of inequality and limit.Finally, the differential mean value theorem in multivariate function applicationKey words: differential mean valu

6、e theorem, promotion, application, multiple functions微分中值定理及其应用1.引言 人们对微分中值定理的研究，大约经历了200多年的时间，它从费吗定理开始，经历了从特殊到一般、从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展阶段。人们正是在这一发展阶段中，逐渐认识到它们额内在联系和本质。微分中值定理就是浓缩型的普遍化，而这种普遍化如同美国数学家克拉默所说在对数学史上任一时期中人们对数学做出贡献进行评价的，那些能把过去统一起来而同时又为未来拓广开辟了道路的概念，应当算作最为深刻的概念。从广义上讲，微分中值定理就是这样年过的概念。微分中值定理是微分学的基本定

7、理，在数学分析中占有重要地位，是研究函数在某个区间上的整体性性质的强有力的工具。它包括罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理。其中拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。要更深入的研究中值定理，还必须了解他们的推广形式以及通过中值定理来解决函数的一些问题。文献1讲了微分中值定理的表述及其经典证明，并拓展出它的推广形式；文献2利用微分中值定理得到了分段函数在分段点可导性的一个判别方法，进而得到分段函数的两个性质，并给出了分段函数的导数性质的应用举例；文献3表述了三个微分中值定理

8、性质之间的联系，利用几何意义进行解题应用、讨论函数零点的存在性及个数估计、给出了证明函数恒为常数的几种方法；文献4利用微分中值定理证明了反函数指数导数求导法则，在指数导数意义下建立了著名的罗尔定理，拉格朗日中指定理和柯西中值定理；文献5阐述了微分中值定理的证明是通过构造辅助函数，在罗尔中值定理的基础上证明的，受到启发，本文给出了构造另类辅助函数，应用罗尔中值定理证明微分中值定理的新方法，并介绍了微分中值定理在解决数学问题中的应用；文献6通过弱化微分中值定理的条件，得到一个减弱了的结果，即中值定理的不等式形式，它在许多方面有一般中值定理的功效，且使用起来还减弱了部分条件；文献7阐述了罗尔定理逆命

9、题的不成立性、拉格朗日定理结论中的点非任意性并给出完备性的补充，分析讨论了微分中值定理的应用；文献8结合实例分析了微分中值定理证明中的原函数法、积分法、K值法等多种方法；文献9同文献8类似讨论了副主函数的一系列方法并增添了利用函数增量构造辅助函数的方法；文献10利用了实函数的微分中值定理证明了向量函数对微分中值定理的不成立性，并给出了一种简单的对微分中值定理成立的向量函数的形式；文献11重点阐述了微分中值定理的应用，包括解方程的根、证明不等式、证明等式，还给出了函数在特定条件下问题思路分析；文献12利用微分中值定理归纳出一些正题的技巧。基于上述文献我们将要探究对于多元函数而言的微分中值定理。2

10、.微分中值定理及其推广形式介绍2.1微分中值定理及其经典证明2.1.1（罗尔定理）若函数满足下列条件： 在闭区间a,b内连续； 在开区间（a,b）内可导； ;则在（a,b）内至少存在一点c，使证明：因为在a,b上连续，所以有最大值与最小值，分别用M与m表示，现分两种情况讨论：(i)若M = m , 则 在a,b上必为常数，从而结论显然成立。(ii)若m M，则因 (a)=(b)，使得最大值M与最小值m至少有一个在(a,b)内某点c处取得，从而c是的极值点，由条件(ii) 在点c处可导，故由费马定理推知=0.2.1.2（拉格朗日中值定理的）若函数满足下列条件：在闭区间a,b内连续；在开区间（a,

11、b）内可导；则至少存在一点c，使；证法一 根据“发现”法可证：设，则，即.造函数满足条件，于是满足罗尔定理的全部条件.而有：，即，故证法二 设因在上连续,在内可导，所以在上连续,在内可导，且，故由罗尔定理知，至少存在一点，使得所以2.1.3（柯西中值定理）若函数、满足下列条件：在闭区间a,b内连续；在开区间（a,b）内可导；且，有；则在（a,b）内定存在一点c，使;证法一 由推论1和推论2 直接可得到柯西中值定理.证法二 (2)1预备定理:设函数在点处可导,若这导数则当取右方充分接近于的数值时,就有.而当取左方接近于的数值时,就有2达布定理:若函数在闭区间上可导,且，为介于及之间的任一实数，则

12、至少存在一点，使得证明柯西中值定理: 设由于在闭区间上连续,在开区间内可导，可知在上连续,在内可导，且容易得出. 下证：一定有，使得，因若不然，假定在内，则依达布定理,在内不能异号，因此或，而由预备定理，在两种情况下都有这与相矛盾，因此必有，使得，即 （1）如果，则由，推出，这与假设不同时为零相矛盾，因此.（1）式两端同除以，则得：2.2微分中值定理的推广形式及其证明2.2.1：推广1且证：假设，根据罗尔定理，这与条件在内，矛盾，故2.2.2：推广2若函数在闭区间上连续，在开区间内可导，且，其中为常数，则在内存在一点，使证 由于，故 构造函数满足条件，于是满足罗尔定理的全部条件，因而.又因推论

13、(1)中内的条件,知:.所以 即 2.2.3 推广3 函数在区间I上可导且为I上的常值函数. 证明： 任取两点 （设），在区间 上应用拉格朗日中值定理，存在 （）I，使得 推广4 函数和在区间I上可导且2.2.5（导数极限定理）设函数在点的某邻域U（）内连续，在U°（）内可导，且极限存在，则在点可导，且证明：分别按左右导数来证明上式成立（1） 任取，在上满足拉格朗日中值定理条件，则存在，使得由于，因此当时随之有，对上式两边取极限，使得 （2）同理可得因为=存在，所以=，从而即注1°由推论3可知：在区间I上的导函数在I上的每一点，要么是连续点，要么是第二类间断点，不可能出现第

14、一类间断点。注2°导数极限定理适合于用来求分段函数的导数。2.2.6 ( 导函数的介值性 ):若函数在闭区间上可导, 且 ( 证 ) .3微分中值定理的应用3.1一元函数微分中值定理3.1.1 一阶函数与单调性的关系：(1) 设函数在区间内可导. 则在内(或) 在内 ( 或 ).证 ) ) 证.(2) 设函数在区间内可导. 则在内( 或) > 对 有 ( 或; > 在内任子区间上3.1.2 可微极值点的必要条件: Fermat定理：函数的驻点和(连续但)不可导点统称为可疑点, 可疑点的求法.3.1.3 极值点的充分条件: 对每个可疑点, 用以下充分条件进一步鉴别是否为极值

15、点.(充分条件) 设函数在点连续, 在邻域和内可导. 则 > 在内 在内时, 为的一个极小值点; > 在内 在内时, 为的一个极大值点;> 若在上述两个区间内同号, 则不是极值点. (充分条件) 设点为函数的驻点且存在.则 > 当时, 为的一个极大值点; > 当时, 为的一个极小值点.证法一 当时, 在点的某空心邻域内与异号,证法二 用Taylor公式展开到二阶, 带Peano型余项.(充分条件 ) 设,而.则 > 为奇数时, 不是极值点; > 为偶数时, 是极值点. 且对应极小; 对应极大.3.1.4 利用单调性证明不等式: 原理1: 若, 则对,

16、有不等式. 证明: 对任意实数和, 成立不等式 证 取在内.于是, 由 , 就有 , 即 .不等式原理: 设函数在区间上连续,在区间内可导,且; 又 则 时, (不等式原理的其他形式.)3.1.5 凸性的定义及判定：（1）凸性的定义：由直观引入. 强调曲线弯曲方向与上升方向的区别.定义 设函数在区间上连续. 若对, 恒有 , 或. 则称曲线在区间上是凹(或凸)的. 若在上式中, 当时, 有严格不等号成立, 则称曲线在区间上是严格凹(或严格凸)的. 凹和凸也分别称为上凸和下凸.(2) 凸性的几何意义: 倘有切线, 与切线的位置关系; 与弦的位置关系; 曲线的弯曲方向.3.1.6 利用二阶导数判断

17、曲线的凸向: 设函数在区间内存在二阶导数, 则在内 在内严格上凸; 在内严格下凸.该判别法也俗称为“雨水法则”.证法一 ( 用Taylor公式 ) 对 设, 把在点展开成具Lagrange型余项的Taylor公式, 有 .其中和在与之间. 注意到 , 就有 , 于是 若有 上式中, 即严格上凸. 若有 上式中, 即严格下凸.证法二 ( 利用Lagrange中值定理. ) 若 则有, 不妨设,并设 ,分别在区间和上应用Lagrange中值定理, 有,.有 又由 ， <, ， 即 ， 严格下凸。可类证的情况.凸区间的分离: 的正、负值区间分别对应函数的下凸和上凸区间3.1.7 曲线的拐点:

18、拐点的定义、确定函数的上凸、下凸区间和拐点。 解 的定义域为 . 令, 解得 .在区间内的符号依次为，. 拐点为: 倘若注意到本题中的是奇函数, 可使解答更为简捷.3.1.8 函数的最值: 设函数在闭区间上连续且仅有有限个可疑点. 则=; . 函数最值的几个特例:> 单调函数的最值:> 如果函数在区间上可导且仅有一个驻点, 则当为极大值点时, 亦为最大值点; 当为极小值点时, 亦为最小值点.> 若函数在内可导且仅有一个极大(或小)值点, 则该点亦为最大(或小)值点.> 对具有实际意义的函数, 常用实际判断原则确定最大(或小)值点.3.2微分中值定理在n个函数情形下的应用

19、推广：推广设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,则在内至少存在一点,使得： 证 作辅助函数 则在上连续,在内可导，且，故由罗尔定理知，至少存在一点，使得，即当时，就可得到柯西中值定理；当，又可得到拉格朗日中值定理.故定理4可以看作是中值定理的一般形式.假如我们把罗尔中值定理也作为一般定理的特殊情形，定理4又可以这样证明另证：因为在上连续，则在上必有最大最小值.因为，所以最大最小值至少有一个在内的某一点处取得，因为在内每一点可导，所以在处可导.因为是最大值（最小值也一样），所以也是极大值.由于在处可导，由极限存在的必要条件知，即3.2.2我们试着把三个函数推广到四个函数则有：设函数均在上连续,在

20、内二阶可导,则 ，至少存在一点,使得：证:,设显然，在上连续,在内二阶可导，且由罗尔定理知，,使，再由罗尔定理知：，使即3.2.3我们还可以把这个推论推广到个函数的情形：设函数均在上连续,在内阶可导,则对 ，至少存在一点,使得证：对，设显然，在上连续,在内阶可导,且，由罗尔定理知, ,使得,再次运用罗尔定理, ,使得,即:4.结论本文系统的阐述了三大微分中值定理，在给出经典证明的基础上，总结其构造辅助函数的思想，将其运用于其他定理证明当中，特别是函数的性态证明。本文还给出了微分中值定理的推广延伸形式，并给出证明，然后加以运用，系统的阐述了微分中值定理之间的联系与区别。另外本文着重讲述了微分中值

21、定理的应用，包括函数多的极值点，零点问题、函数凸凹点拐点问题、等式与不等式的证明问题，以及微分中值定理在n个函数背景下的扩展应用。微分中值定理是微分学的核心，是沟通函数及其导数之间的桥梁，我们应该加深对微分中值定理的理解，这样才能更好的应用微分中值定理。参考文献1 李国成， 利用微分中值定理解题中辅助函数的构造J，江西教育学院学报， 2009. 12， 22-25. 2张国林，张丽颖， 利用微分中值定理证明的方法分析 J，贵州大学学报（自然科学版）， 2010.03， 51-52.3党艳霞，浅谈微中值定理及其应用 J，廊坊师范学院学报， 2010.02， 28-30.4 项明寅，方辉平，微分中值定理的不定是形式及其应用J，新乡学院学报， 2009.02， 15-17.5 王秀玲，微分中值定理的另类证明与应用J， 安庆师范学院学报， 2010.