微分方程和差分方程

1、第一章 线性微分方程在讲这部分之前，我们先来看一个非常熟悉的物理问题。一个一维粒子，初始时刻处于点，初始速度为，受到阻尼作用，求该粒子的运动轨迹。解：用表示粒子在任意时刻的位置，根据牛顿第二定律，有对于阻尼作用，于是，粒子的运动方程这是关于时间t的常微分方程，非常简单。求解得结合初始条件，则，代入得粒子的运动轨迹这就是这门课程的第二部分数学物理方程所要讨论的内容：将物理问题表述成数学方程，然后用各种方法来求解方程。1.1 常系数齐次线性微分方程方程的阶：微分方程中未知函数导数的最高阶数。线性方程：微分方程中对于未知函数及其所有导数都是一次的，就称为线性方程，高于一次以上就称为非线性方程。齐次方

2、程：微分方程不含有不包含未知函数的项。例如 u = 4 uxx; 二阶线性，x2u = uxx; 二阶线性，(ux)2 + u2 = 1; 一阶非线性。一、二阶常系数齐次线性微分方程求解 二阶线性微分方程若为齐次，为非齐次。方程y¢¢+py¢+qy=0称为二阶常系数齐次线性微分方程, 其中p、q均为常数。 能否适当选取r, 使y=erx 满足二阶常系数齐次线性微分方程, 为此将y=erx代入方程y¢¢+py¢+qy=0得(r 2+pr+q)erx =0由此可见, 只要r满足代数方程r2+pr+q=0, 函数y=erx就是微分方程的解。

3、 特征方程：方程r2+pr+q=0叫做微分方程y¢¢+py¢+qy=0的特征方程。特征方程的两个根r1、r2为特征方程的根与通解：(1)特征方程的实根r1、r2不相等时, 函数、是方程的两个线性无关的解，方程的通解为. (2) 特征方程的实根r1=r2时, 函数、是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关的解，方程的通解为(3) 特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时, 函数y=e(a+ib)x、y=e(a-ib)x是微分方程的两个线性无关的复数形式的解。函数y=eaxcosbx、y=eaxsinbx是微分方程的两个线性无关的实数形式的解，方程的通

4、解为y=eax(c1cosbx+c2sinbx ). 例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=0的通解。例2 求方程y¢¢+2y¢+y=0满足初始条件y|x=0=4、y¢| x=0=-2的特解。 例 3 求微分方程y¢¢-2y¢+5y= 0的通解。二、线性微分方程的解的叠加(1)定理1 如果函数y1(x)和y2(x)是方程(1)的两个解，那么它们的线性叠加也是方程的解，其中和是任意常数。定理2 如果函数y1(x)和y2(x)是方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加是方程的通解。推论 如

5、果函数y1(x), y2(x), , yn(x) 是阶线性齐次方程的n个线性无关的解，则是方程的通解，其中c1, c2, , cn为n个任意常数。(2)定理3 如果二阶非齐次线性方程（2）的一个特解，y1(x)和y2(x)是对应齐次方程(1)的两个线性无关的特解，那么它们的线性叠加是方程(2)的通解。定理4 如果和分别是二阶非齐次线性方程，的特解，那么是方程的特解。1.2 常系数非齐次线性微分方程二阶非齐次方程一、待定系数法对于特殊类型的f(x)，可写出特解y*(x)的待定表达式：f(x)类型特解y*(x)的待定表达式aemxAemxacosbx + bsinbxAcosbx + Bsinbx

6、a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1emx (acosbx + bsinbx)emx (Acosbx + Bsinbx)emx (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1)emx(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果m, ±b i, 0, m ±b i, m是特征方程的r重根，则在表达式上再乘以xr。例1 求微分方程y¢¢-2y¢-3y=3x+1的一个特解。 例2 求微分方程y¢¢-5

7、y¢+6y=xe2x的通解。二、常数变易法一阶非齐次线性微分方程相应齐次方程的通解是设非齐次方程有一个特解由于，代入非齐次方程，可得，解得因此，常数变易法得非齐次方程的通解为类似的方法考察二阶非齐次方程相应齐次方程的通解为设非齐次方程有一个特解由于，若附加条件，则代入非齐次方程，可得所以，系数c1(x), c2(x)满足方程组：例 二阶线性微分方程齐次方程的通解常数变易法设特解为其中C1(t)和C2(t)满足解得则1.3 变系数线性微分方程一、欧拉型常微分方程形如的方程叫欧拉方程。下面是一个后面课程会遇到的一个欧拉型方程的求解。作变量代换，则，即，即则例1. 求欧拉型方程的通解。答案

8、：通解为。二、常点邻域上的级数解法（证明见李政道物理学中的数学方法P280-284）不失一般性，讨论复变函数w(z)的线性二阶常微分方程显然，方程的性质由函数p(z)和q(z)所确定。定义：如果在点z = z0处，函数p(z)和q(z)解析，则z = z0称为方程的常点，否则，z = z0称为奇点。定理：若z0为方程的常点，则在z0的邻域内存在满足初始条件的唯一解析解w(z)。级数解法：基于以上定理，方程的解w(z)在点z0的邻域内解析，则可表示成泰勒级数形式：其中，a0, a1, a2, . , ak , .是待定系数。只要能够确定这些系数，也就得到了方程的解。由于函数p(z)和q(z)都是

9、解析函数，因此也可以表示成泰勒级数：，再将w(z)、p(z)和q(z)的泰勒级数形式代入方程和初始条件，并要求等式两边同幂次项的系数相等，就可以确定待定系数a0, a1, a2, . , ak , .。对于实变函数y(x)的线性二阶常微分方程y(x0) = C0, y(x0) = C1,该定理完全成立，从而可以应用级数解法。这是因为只要将实变函数p(x)和q(x)在复平面上进行解析延拓，得到p(z)和q(z)，相应的解w(z)在实轴上的值w(x)就是原方程的解。例 在的邻域上求解常微分方程(是常数)。解：显然，x0 = 0是方程的常点，应用常点邻域级数解法求解。设则代入方程，并合并同幂项，得等

10、式右边为零，因此幂级数各项系数为零，即从而有如下递推公式：递推得，。，于是，方程的解为上述解的收敛区域为。一般的收敛区域判断补充：对于正项级数，通常用如下两个方法比值判别法 设正项级数，若极限，则当时，级数收敛；当时，级数发散。根值判别法 设正项级数，若极限，则当时，级数收敛；当时，级数发散。应用正项级数收敛判别法，可得到如下幂级数收敛范围： 比值判别法 根据正项级数收敛的比值判别法，若极限，则当时，级数收敛；当时，级数发散。引入记号，若存在，则当 根式判别法 若极限，则收敛。若存在，则当例1 在的邻域上求解常微分方程(是常数)。方程的解为记，对于应用比值判别法，得收敛区域为。对于应用比值判别

11、法，得收敛区域为。例2 在的邻域上求解。答案：，。收敛无限大。作业：1. 求欧拉方程的通解。答案：。2. 用常数变易法求方程的通解。答案：。3. 用幂级数法求方程的通解。答案：。1.4 二阶常系数线性差分方程一、齐次差分方程方程： (p ,q是常数).若为齐次，为非齐次。对于齐次方程的通解，与微分方程类似地有：定理 方程的解为，其中r满足特征方程。(1)特征方程的实根r1、r2不相等时，方程的通解为 (2) 特征方程的实根r1=r2时，方程的通解为(3) 特征方程有一对共轭复根r1, 2=a±ib时, 记，即方程的解为，则方程的通解为。例1 求的通解.解 其特征方程, 有根 -1,

12、-3 . 原方程有通解 (是任意常数) 例2 求的通解.解 其特征方程, 有根 -2i, 2i . ，则原方程有通解, (是任意常数).例3 求差分方程的通解.解 其通解为 (C为任意常数).二、非齐次差分方程对于非齐次方程的通解，与微分方程类似地，可以用待定系数法求解。f(x)类型特解y*(x)的待定表达式amxAmxa1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1mx (a1xk + a2xk 1 + . + akx + ak +1)mx(A1xk + A2xk 1 + . + Akx + Ak +1)如果m, 1

13、是特征方程的r重根，则在表达式上再乘以xr。例4 求的通解.解 前例已知其齐次的通解,故只需求一个特解.令,代入的,所以它的通解为, (是任意常数).例5 求的通解.解 令, , 所以, 所以其通解, (是任意常数).例6 求 的通解.解 显然其齐次方程的通解为(C为任意常数). 设其特解为, 所以有, 从而得.因此,原方程的通解为.例7 求 的通解.解 其齐次方程的通解为(C为任意常数). 设其特解为, 所以有, 从而得，因此,原方程的通解为.三、差分方程的应用例8 某家庭从现在着手从每月工资中拿出一部分资金存入银行，用于投资子女的教育。并计划20 年后开始从投资帐户中每月支取1000 元，

14、直到10 年后子女大学毕业用完全部资金。要实现这个投资目标，20 年内共要筹措多少资金？每月要向银行存入多少钱？假设投资的月利率为0.5%。解：设第n个月投资帐户资金为Sn元，每月存入资金为a元。于是，20 年后关于Sn的差分方程模型为Sn+1 = 1.005Sn 1 000并且S120 = 0, S0 = x。解得x = 90 073.45。从现在到20年内，Sn满足的差分方程为Sn+1 = 1.005Sn + a且S0 = 0, S240 = 90 073.45。解得a = 194.95。例9 动态供需均衡模型(蛛网定理) 设Dt表示t期的需求量,St表示t期的供给量,Pt表示商品t期价格

15、,则传统的动态供需均衡模型为： 其中a,b,a1,b1均为已知常数。(1)式表示t期(现期)需求依赖于同期价格；(2)式表示t期(现期)供给依赖于(t-1)期(前期)价格；(3)式为供需均衡条件。解：若在供需平衡的条件下，而且价格保持不变，即。静态均衡价格。动态供需均衡模型的等价差分方程 齐次方程通解，非齐次方程特解，方程的通解为。若初始价格已知时，将其代入通解可求得任意常数，则通解为 如果初始价格，那么。这表明没有外部干扰发生，价格将固定为常数值，即静态均衡。如果初始价格，那么价格将随t的变化而变化。如果，则表明动态价格随着t的无限增大逐渐地振荡趋近于静态均衡价格。例10 凯恩斯(Keynes.J.M)乘数动力学模型 设Yt表示t期国民收入，Ct为t期消费，It为t期投资，I0为自发(固定)投资，DI为周期固定投资增量.凯恩斯国民经济收支动态均衡模型为：(1)式为均衡条件，即国民收入等于同期消费与同期投资之和；(2)式为消费函数,即现期消费水平依赖于前期国民收入(消费滞后于收入一个周期)，a(0)为基本消费水平，b为边际消费倾向(0b1)；(3)式为投资函数,这里仅考虑为固定投资。在(1)(2)(3)式中消去Ct和It,得到一阶常系数非齐次线性差分方程：方程的一个特解，则方程的通解为 其中A为任意常数。称系数为凯恩斯乘数。例11 在种群生态学中，考虑像蚕、蝉这种