微分方程习题10和12

1、习题1.101.曲线在点处的切线的斜率等于该点横坐标的立方，写出微分方程. 解 设曲线为，过其上点切线斜率为由题知即所求曲线满足的微分方程为.2.下列所列函数是否是所给微分方程的解. (1) 解 因，故，即， 因此是的解.（2） 解 因， 故 因此 是的解。（3） . 解 因， ， 故， 不是的解.（4）. 解 因，故 .从而 是的解。 (5) . 解 的两边同时对求导，得 . 整理得 . 从而 是的解. 3.求下列微分方程的通解或特解（1）. 解 分离变量得 ，两边积分，得，因此就是微分方程的一个通解.（2） 解 令， 则 ， 因此变量分离，得 ，两边积分，得，（这里是任意常数）整理得令，有

2、 ，于是 ， 将代入上式，得 .因也是一个解， 故原方程得通解为 ，其中为任意常数.（3） 解 令，通解为，即 .（4） . 解 令， 则 .因此， ，即.于是 ，两边积分,得 ，其中和是任意常数.从而原方程得通解为 .(5) . 解 由 知， 两边积分，得 其中和为任意常数 故原方程得通解为.(6) 解 特征方程为 ，解得 ，.依次原方程的通解为 ，其中和是任意常数.(7) 解 特征方程为，解得，. 原方程的通解为 ，其中和是任意常数.(8) 解 特征方程为 ，解得，. 相应齐次方程的通解为 ，其中和是任意常数. 由于不是特征根，故特解为. 将它代入原方程得，从而 ，于是特解为 . 从而原方

3、程的通解为 .(9) 解 令，则 ，于是 . 变量分离，得. 两边积分，得 ，这里为任意常数. 两边同时取指数，得 ，令，则 ，即 . 两边积分，得 其中和是任意常数，故原方程得通解为 .(10) 解 令，则因此原方程为即因此于是，即，也即，两边积分，得.（以下可以略），即其中.4.求下列微分方程满足初始条件的特解.(1) ， 解 移项，得 ，因此即 ， 由知，得 . 因此，原方程满足初始条件的特解为.(2) 解 移项，得 ， 两边积分，得 ， 由知，因此 ， 两边积分，得 ， 由知， 因此，原方程满足初始条件的特解为 .(3) 解 特征方程为，解得，故通解为 ，且 ，由，联立方程组，得 ，

4、解得 ，. 因此，原方程满足初始条件的特解为 . 习题1.121. 求下列函数的单调区间.（1) 解 的定义域，. 令，则 ，则因在和内，在和内，. 因此函数在区间和内都单调减少，在区间和内都单调增加.（2) 解 的定义域，因 故由知， ，. 因在内，在和内，. 因此函数在区间上单调增加，在区间和内都单调减少.（3) . 解 的定义域，因，故由，和知，在内，在内，. 因此函数在区间内单调增加，在区间内单调减少.2. 证明题（1) 当时， 证 原题不对，题目可以改为 当时，.令，则因，而，故. 因此当时，.（2) . 证 先证 ，为此令， 则，因此在内单调增加. 于是当时，有.再证 ，为此令，则

5、 ，因此，当时，即，原不等式成立 综上所述，当时，.（3) 当时， . 证 令，则，当时，有. 于是，当时， ，从而，当时，即，原不等式成立. (4) 证明有且只有一个实根. 证 设，则，因此单调增，于是至多只有一个根. 另一方面，因，在上连续，故由介值性定理知，在内至少有一个，使得.3. 求下列函数的最大值和最小值.(1) ， 解 ，令，得驻点 ，因，故函数在有最大值，最小值.(2) ， 解 ，若，则 矛盾，因此无驻点，只有不可导点，. 因，而故函数在得最大值为，最小值为.4. 求曲线的凹凸区间和拐点. 解 ， 令，得，因在区间内，而在区间内，所以是凹区间，是凸区间，因，故是曲线的拐点.5. 求图形的面积和图形绕轴旋转一周的旋转体的体积.（） 由曲线与所围. 解 因和的交点坐标为和，故的面积为 .绕轴旋转一周的体积为 .（） 由曲线与轴所围 解 的面积为 绕轴旋转一周的体积为.6. 某企业的利润和销售价格之间的关系为，问销售价格在什么范围变化时，企业的利润是增加的？又售价为多少时企业利润最大? 解 利润 ，因 故由知，在内，而在内，故当时，企业的利润是增加的，而，故，当时，企业的利润为最大，最大利润为元。7.某单位准备举行一次音乐会若票价为每人