微分中值定理

1、第一讲 微分中值定理教学目的 使学生掌握罗尔定理、拉格朗日中值定理,了解柯西中值定理,并能应用罗尔定理, 拉格朗日中值定理及柯西中值定理证明和解决一些简单问题教学重点 使学生深刻理解微分中值定理的实质教学难点 拉格朗日中值定理的证明教学学时 2学时教学过程 上一章我们学习了导数的概念,并讨论了导数的计算方法学习的目的在于应用,这一章我们来学习导数的应用,首先学习微分中值定理,他们是导数应用的理论基础 微分中值定理包括: 罗尔定理, 拉格朗日中值定理和柯西中值定理,简称微分中值三定理一、罗尔定理我们首先来观察一个图形，见图1.设图1中曲线弧是函数的图形这是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直

2、于X轴的切线，即在内处处可导且两端点处的纵坐标相等，即可以发现在曲线弧的最高点或最低点处，曲线都有水平的切线如果记曲线弧的最高点的横坐标为，则若我们用分析的语言把这一几何现象描述出来，就得到了下面的罗尔（）定理罗尔定理 若函数满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 在区间端点处的函数值相等，即，则在内至少存在一点，使得为了给出罗尔定理的严格证明，我们首先需要学习下面的引理，它称为费马定理费马定理 设函数在点的某邻域内有定义，并且在处可导，如果对任意的，有，则分析 为了利用函数值的大小关系得出导数的结论，显然应该考虑使用导数的定义不妨设时，于是，对于，有，从而当时，；当时，由

3、于函数在处可导，上述两式的左端当时极限皆存在，因此由极限的保号性知 ，所以，类似地可证明时，的情形通常称导数等于零的点为函数的驻点(或稳定点、临界点)费马定理告诉我们，若函数在点可导，且函数在点处取得了局部的最大值或最小值，则函数在点处的导数一定为零，即由图1知，函数在处取得了局部的最大值因此，根据费马定理不难证明罗尔定理罗尔定理的证明 由于在上连续，所以在上必定取得它的最大值和最小值这样，只有两种可能的情形：(1) 此时对于任意的，必有故对任意的，有因此，内任一点皆可作为我们找的(2) 因为，所以和中至少有一个不等于不妨设，则在内必有一点，使得又因为对于任意的，有，且存在故由费马定理知，类似

4、可证的情形罗尔定理成立 例1 不求出函数的导数，说明方程有几个实根，并指出它们所在的区间 分析 讨论方程的根的问题，通常考虑用罗尔定理，因为由罗尔定量的结论知，实际上是方程的根而讨论这类问题的基本思路是，在函数可导的范围内，找出所有端点处函数值相等的区间而由罗尔定理知，在每个这样的区间内至少存在一点，使得即为方程的一个实根，同时也得到了这个实根所在的范围对于本问题来说，根据代数学基本定理，方程至多有两个实根而由函数的表达式知，因此，和就是我们所要找的区间，在这两个区间内各有方程的一个实根解 因为在和上连续，在和内可导，且，所以由罗尔定理知，在内至少存在一点，使得，在内至少存在一点，使得和都是方

5、程的实根又由代数学基本定理知，方程至多有两个实根，所以方程必有且只有两个实根，它们分别位于和内小结 利用函数的性质讨论的根(也称为的零点)，应用罗尔定理是一个常用方法二、拉格朗日中值定理罗尔定理中这个条件是相当特殊的，也是非常苛刻的由于一般的函数很难具备这个条件，因此它使罗尔定理的应用受到了很大限制我们可以设想一下，若把条件适当放宽，比如把这个条件去掉，仅保留罗尔定理中的第一个和第二个条件，那么相应的结论会发生什么变化呢？为了更好地讨论这个问题，我们先从几何直观入手，见图2设图2中曲线弧是函数的图形，它是一条连续的曲线弧，除端点外处处具有不垂直于轴的切线，并且两端点处的纵坐标不相等，即不难发现

6、在曲线弧上至少有一点，使曲线在点处的切线平行于弦若记点的横坐标为，则曲线在点处切线的斜率为而弦的斜率为因此若我们用分析的语言把这一观察结果描述出来，就得到了下面的拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理 若函数满足(1)在闭区间上连续；(2)在开区间内可导，则在内至少存在一点，使得 （）从图1可以看到，在罗尔定理中，由于，弦是平行于轴的，因此点处的切线不仅平行于轴，实质上也是平行于弦的由此可见，罗尔定理是拉格朗日中值定理的特殊情形下面我们来讨论拉格朗日中值定理的证明问题由罗尔定理与拉格朗日中值定理的关系，使我们自然想到利用罗尔定理来证明拉格朗日中值定理但在拉格朗日中值定理中，函数不一定具备这个条件，为

7、此我们设想构造一个与有密切联系的函数(称为辅助函数)，使满足条件及罗尔定理的另外两个条件，并对应用罗尔定理，然后再把对所得的结论转化到上，从而使拉格朗日中值定理得到证明这就是我们所设想的证明拉格朗日中值定理的思路，那么怎样去构造辅助函数呢？若记图2中弦的方程为，那么根据所构造的辅助函数需要满足的条件，通过对图2的观察，我们不难发现这个函数很可能就是我们所需要的那个辅助函数为什么呢？首先，若我们记，则函数与有着密切的联系；第二，由于曲线弧与弦在两点相交，因此，即；第三，由于函数和在上都连续,在内都可导，因此在上满足罗尔定理的条件至于对在上应用罗尔定理后，能否得到我们所需要的结论，请看下面的证明拉

8、格朗日中值的证明 弦的直线方程为因此，函数, 且对函数在上应用罗尔定理知，在内至少存在一点，使得，即 ，定理得证由上述证明可知，函数正是我们所需要的那个辅助函数现在回过头来看一看辅助函数的几何意义是什么？在图2的闭区间上任取一点，并过作与纵轴平行的直线，交弧于，交弦于，则有向线段的值恰好是我们所构造的辅助函数其中为点的纵坐标，为点的纵坐标几点说明：(1) 显然，公式对于也成立，(1)式称做拉格朗日中值公式(2) 设为区间上一点，为该区间内的另一点，则公式（）可写成 (3) 若记为，则，于是式又可写成 我们知道，若函数在处可微，则这时可以用函数的微分来近似地代替函数增量，并且所产生的误差是比高阶

9、的无穷小但我们却没有实现用微分精确表示函数的增量，而式给出了自变量取得有限增量时，函数增量的微分精确表达式因此，拉格朗日中值定理也叫做有限增量定理，式也称为有限增量公式拉格朗日中值定理在微分学中占有重要地位，有时也称其为微分中值定理利用它可实现用导数来研究函数的变化作为拉格朗日中值定理的一个应用，我们看下面的问题我们知道，如果函数在某一区间上是一个常数，则在该区间上的导数恒为零那么它的逆命题是否成立呢？这就是下面的定理所要回答的问题定理 若函数在区间上的导数恒为零，则在区间上是一个常数证 在区间上任取两点 ，应用式即得 由题设知，所以，即 因为是上任意两点，所以在区间上是一个常数这个定理在以后

10、我们要学习的积分学中将起到至关重要的作用下面我们应用拉格朗日中值定理来证明不等式例2 证明当时， 分析 拉格朗日中值公式的形式并不是不等式的形式，那么怎么能用拉格朗日中值定理去证明不等式呢？我们知道，在拉格朗日中值公式中，而不知道具体等于多少？但根据在之间的取值却可以估计出的取值范围，或者说可以估计出取值的上下界分别用取值的上下界去代换拉格朗日中值公式中的，就可以得到不等式了，这就是用拉格朗日中值定理去证明不等式的思路用拉格朗日中值定理去证明不等式，最重要的是去找函数和相应的区间那么怎样去找函数和相应的区间呢？注意，拉格朗日中值公式的左端是很有特点的，它恰好是函数在区间上的增量与区间的长度之比

11、因此，只要我们通过不等式的变形，把其核心部分变形为的形式，就不难确定函数和相应的区间了对于本例来讲，首先我们可以做如下的变形：，由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数为，相应的区间为如果我们对原不等式再做另外一种变形，即 ，则由此变形结果，我们不难确定出所需要的函数为，相应的区间为确定了所需要的函数及相应的区间后，接下来就是对函数在上应用拉格朗日中值定理，并估计拉格朗日中值公式中取值的上下界了证 方法一设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件拉格朗日中值定理得由于，所以，即，方法二设，显然在区间上满足拉格朗日中值定理的条件对函数在区间上应用拉格朗日中值定理，并对拉格朗日中值公式中取值的上下

12、界进行估计，即可证得本例中的不等式具体证明过程请同学们课后完成总结(1) 例2中的分析是用拉格朗日中值定理证明不等式的一般思路，同学们务必要掌握其要领(2) 由例2的证明过程可见，用拉格朗日中值定理证明不等式时所选择的函数并不是唯一的，重要的是函数应与相应区间相匹配三、柯西中值定理拉格朗日中值定理的几何意义是：如果在连续曲线的弧上，处端点外处处具有不垂直于轴的切线，则在该弧上至少存在一点，使曲线在点处的切线平行于弦若我们不用来表示连续的曲线弧，而用参数方程来表示连续的曲线弧，那么上述结论的表达形式会发生什么变化呢？设连续的曲线弧由参数方程表示，见图3 ，其中为参数那么利用参数方程求导公式，曲线

13、上点处切线的斜率为 ， 弦的斜率为假定点对应于参数，那么曲线上点处的切线平行于弦可表示为 与这一结论的表达式相对应的就是下面的柯西中值定理柯西中值定理 若函数及满足(1) 在闭区间上连续；(2) 在开区间内可导；(3) 对任一，则在内至少存在一点，使得 证 首先我们来证明在已给条件下显然函数在上满足拉格朗日中值定理的条件，根据定理应有由于，由假定知，又，所以 类似于拉格朗日中值定理的证明，我们仍然用表示有向线段的值的函数作为辅助函数，见图3 这里点的纵坐标为 ，点的纵坐标为，于是 由假定知，函数在上连续，在内可导，且，因此，在上满足罗尔定理的条件，故在内至少存在一点，使得，即由此得 ，定理证毕很明显，如果取，那么，因而公式就可以写成，这样就变成了拉格朗日中值定理由此可见拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊情形，柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广显然公式对于也成立，式称做柯西中值公式最后我们需要指出，不论是罗尔定理、