函数的单调性

1、精选优质文档-倾情为你奉上都江堰校区 （数学） 辅导讲义任课教师: 岳老师 Tel:课题函数的单调性基础盘查一函数的单调性1判断正误(1)所有的函数在其定义域上都具有单调性()(2)函数f(x)为R上的减函数，则f(3)>f(3)()(3)在增函数与减函数的定义中，可以把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”()(4)函数y的单调递减区间是(，0)(0，)()(5)函数yf(x)在1，)上是增函数，则函数的单调递增区间是1，)()2(人教A版教材习题改编)函数yx22x(x2,4)的增区间为_3若函数y(2k1)xb在(，)上是减函数，则k的取值范围是_基础盘查二函数的最值4判断正误(

2、1)所有的单调函数都有最值()(2)函数y在1,3上的最小值为()5(人教A版教材例题改编)已知函数f(x)(x2,6)，则函数的最大值为_【答案】1(1)× (2) (3)× (4)× (5)×；22,4；3；4(1)× (2)；52必备知识1：单调性的定义设函数f(x)的定义域为I，区间DI，如果对于任意x1，x2D，且x1<x2，则有：(1)f(x)在区间D上是增函数f(x1)<f(x2)；(2)f(x)在区间D上是减函数f(x1)>f(x2)设x1，x2a，b，如果>0，则f(x)在a，b上是单调递增函数，如果&

3、lt;0，则f(x)在a，b上是单调递减函数必备知识2：确定单调性的方法(1)利用已知函数的单调性，即转化为已知函数的和、差或复合函数，求单调区间(2)定义法：先求定义域，再取值作差变形确定符号下结论(3)图象法：如果f(x)是以图象形式给出的，或者f(x)的图象易作出，可由图象的直观性写出它的单调区间典题例析【例1】下列四个函数中，在(0，)上为增函数的是()Af(x)3xBf(x)x23xCf(x) Df(x)|x|【解析】选C当x>0时，f(x)3x为减函数；当x时，f(x)x23x为减函数，当x时，f(x)x23x为增函数；当x(0，)时，f(x)为增函数；当x(0，)时，f(x

4、)|x|为减函数故选C.【例2】判断函数g(x)在(1，)上的单调性【解】任取x1，x2(1，)，且x1<x2，则g(x1)g(x2)，因为1<x1<x2，所以x1x2<0，(x11)(x21)>0，因此g(x1)g(x2)<0，即g(x1)<g(x2)故g(x)在(1，)上是增函数必备知识2：求函数的单调区间与确定单调性的方法一致典题例析【例3】 求下列函数的单调区间(1)f(x)3|x|；(2)f(x)|x22x3|； (3)yx22|x|1.【解】(1)f(x)3|x|图象如图所示f(x)在(，0上是减函数，在0，)上是增函数(2)令g(x)x2

5、2x3(x1)24.先作出g(x)的图象，保留其在x轴及x轴上方部分，把它在x轴下方的图象翻到x轴上方就得到f(x)|x22x3|的图象，如图所示由图象易得：函数的递增区间是3，1，1，)；函数的递减区间是(，3，1,1(3)由于y即y画出函数图象如图所示，单调递增区间为(，1和0,1，单调递减区间为1,0和1，)【例4】求函数y的单调区间【解】令ux2x6，y可以看作有y与ux2x6的复合函数由ux2x60，得x3或x2.ux2x6在(，3上是减函数，在2，)上是增函数，而y在(0，)上是增函数y的单调减区间为(，3，单调增区间为2，)必备知识3复合函数单调性的判断 利用函数单调性求最值的常

6、用结论：如果函数yf(x)在区间a，b上单调递增，在区间b，c上单调递减，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最大值f(b)；如果函数yf(x)在区间a，b上单调递减，在区间b，c上单调递增，则函数yf(x)，xa，c在xb处有最小值f(b)【多角探明】函数单调性的应用，归纳起来常见的命题角度有：(1)求函数的值域或最值；(2)比较两个函数值或两个自变量的大小；(3)解函数不等式；(4)利用单调性求参数的取值范围或值.角度一：求函数的值域或最值【例5】函数f(x)的最大值为_【解析】当x1时，函数f(x)为减函数，所以f(x)在x1处取得最大值，为f(1)1；当x1时，易知函数f(x)x22在

7、x0处取得最大值，为f(0)2. 故函数f(x)的最大值为2.角度二：比较函数值或自变量的大小【例6】设函数f(x)是(，)上的减函数，则()Af(a)>f(2a) Bf(a2)<f(a)Cf(a2a)<f(a) Df(a21)<f(a)【解析】选D 由a21a2，得a21>a，又f(x)是R上的减函数，f(a21)<f(a)【例7】(2014·广州模拟)已知函数yf(x)的图象关于x1对称，且在(1，)上单调递增，设af，bf(2)，cf(3)，则a，b，c的大小关系为 ()AcbaBbacCbcaDabc【解析】选B函数图象关于x1对称，aff

8、，又yf(x)在(1，)上单调递增，f(2)ff(3)，即bac.角度三：解函数不等式【例8】f(x)是定义在(0，)上的单调增函数，满足f(xy)f(x)f(y)，f(3)1，当f(x)f(x8)2时，x的取值范围是()A(8，) B(8,9C8,9 D(0,8)【解析】选B211f(3)f(3)f(9)，由f(x)f(x8)2，可得fx(x8)f(9)，因为f(x)是定义在(0，)上的增函数，所以有解得8x9.角度四：利用单调性求参数的取值范围或值【例9】已知函数f(x)满足对任意的实数x1x2，都有<0成立，则实数a的取值范围为()A(，2)BC(，2 D【解析】选B由题意可知，函

9、数f(x)是R上的减函数，于是有由此解得a，即实数a的取值范围是 .类题通法函数单调性应用问题的常见类型及解题策略(1)比较大小比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决(2)解不等式在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“f”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解此时应特别注意函数的定义域(3)利用单调性求参数视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数单调区间，与已知单调区间比较求参数；需注意若函数在区间a，b上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的(4)利用单调性求最值应先确定函数的单调性，然后再由单调性求出最值.一、选

10、择题1下列说法中正确的有()若x1，x2I，当x1<x2时，f(x1)<f(x2)，则yf(x)在I上是增函数；函数yx2在R上是增函数；函数y在定义域上是增函数；y的单调区间是(，0)(0，)A0个 B1个C2个 D3个【解析】选A 函数的单调性的定义是指定义在区间I上任意两个值x1，x2，强调的是任意，从而不对；yx2在x0时是增函数，x<0时是减函数，从而yx2在整个定义域上不具有单调性；y在整个定义域内不是单调递增函数，如3<5而f(3)>f(5)；y的单调递减区间不是(，0)(0，)，而是(，0)和(0，)，注意写法2函数f(x)|x2|x的单调减区间是

11、()A1,2 B1,0C0,2 D2，)【解析】选A由于f(x)|x2|x结合图象可知函数的单调减区间是1,23(2015·黑龙江牡丹江月考)设函数f(x)定义在实数集上，它的图象关于直线x1对称，且当x1时，f(x)3x1，则()Af<f<fBf<f<fCf<f<fDf<f<f【解析】选B由题设知，当x<1时，f(x)单调递减，当x1时，f(x)单调递增，而x1为对称轴，ffff，又<<<1，ff>f，即f>f>f.4定义新运算：当ab时，aba；当a<b时，abb2，则函数f(x)(1

12、x)x(2x)，x2,2的最大值等于()A1 B1C6 D12【解析】选C由已知得当2x1时，f(x)x2，当1<x2时，f(x)x32.f(x)x2，f(x)x32在定义域内都为增函数f(x)的最大值为f(2)2326.5函数y|x3|x1|的()A最小值是0，最大值是4 B最小值是4，最大值是0C最小值是4，最大值是4 D没有最大值也没有最小值【解析】选C y|x3|x1|作出图象可求6(2015·长春调研)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)f(x)0，且在(，0)上单调递增，如果x1x2<0且x1x2<0，则f(x1)f(x2)的值()A可能为0 B恒大

13、于0C恒小于0 D可正可负【解析】选C由x1x2<0不妨设x1<0，x2>0. x1x2<0，x1<x2<0. 由f(x)f(x)0知f(x)为奇函数又由f(x)在(，0)上单调递增得，f(x1)<f(x2)f(x2)，所以f(x1)f(x2)<0.故选C.二、填空题7已知函数f(x)为R上的减函数，若f<f(1)，则实数x的取值范围是_【解析】由题意知f(x)为R上的减函数且f<f(1)；则>1，即|x|<1，且x0.故1<x<1且x0.8已知函数f(x)x22ax3在区间1,2上具有单调性，则实数a的取值范

14、围为_【解析】函数f(x)x22ax3的图象开口向上，对称轴为直线xa，画出草图如图所示由图象可知，函数在(，a和a，)上都具有单调性，因此要使函数f(x)在区间1,2上具有单调性，只需a1或a2，从而a(，12，)答案：(，12，)9设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的递减区间是_【解析】由题意知g(x)函数图象如图所示，其递减区间是0,1)10设函数f(x)在区间(2，)上是增函数，那么a的取值范围是_【解析】f(x)a，函数f(x)在区间(2，)上是增函数a1.答案1，)三、解答题11已知定义在区间(0，)上的函数f(x)满足ff(x1)f(x2)，且当x>1时，

15、f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)证明：f(x)为单调递减函数；(3)若f(3)1，求f(x)在2,9上的最小值【解】(1)令x1x2>0，代入得f(1)f(x1)f(x1)0，故f(1)0.(2)证明：任取x1，x2(0，)，且x1>x2，则>1，由于当x>1时，f(x)<0，所以f<0，即f(x1)f(x2)<0，因此f(x1)<f(x2)，所以函数f(x)在区间(0，)上是单调递减函数(3)f(x)在(0，)上是单调递减函数f(x)在2,9上的最小值为f(9)由ff(x1)f(x2)得，ff(9)f(3)，而f(3)1，所以f

16、(9)2.f(x)在2,9上的最小值为2.12已知函数f(x)对于任意x，yR，总有f(x)f(y)f(xy)，且当x>0时，f(x)<0，f(1).(1)求证：f(x)在R上是减函数；(2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值【证明】(1)设x1>x2，则f(x1)f(x2)f(x1x2x2)f(x2)f(x1x2)f(x2)f(x2)f(x1x2)又当x>0时，f(x)<0，而x1x2>0，f(x1x2)<0，即f(x1)<f(x2)，f(x)在R上为减函数(2)f(x)在R上是减函数，f(x)在3,3上也是减函数，f(x)在3,3上的最大值和最小值分别为f(3)与f(3)而f(3)3f(1)2，f(3)f(3)2. f(x)在3,3上的最大值为2，最小值为2.13函数f(x)对任意的m、nR，都有f(mn)f(m)f(n)1，并且x>0时，恒有f(x)>1.(1)求证：f(x)在R上是增函数；(2)若f(3)4，解不等式f(a2a5)<2.【解】(1)设x1<x2