平面向量中常见的结论与专项训练

1、平面向量中常见的结论与专项训练第一部分:知识点梳理1.线段定比分点公式：如图，设. （注：）1）则定比分点向量式：2）定比分点坐标式：设P（x,y）（分点），P1（x1,y1）（起点），P2（x2,y2）（终点）。则特例：当=1时，就得到中点公式： ，实际上，对于起点相同，终点共线三个向量，（O与P1P2不共线），总有=u+v，u+v=1，即总可以用其中两个向量的线性组合表示第三个向量，且系数和为1。 2.设、不共线，点P在AB上，则=+且+=1，、R.，不共线，若=+，且+=1，R，R，求证：A、B、P三点共线.提示：证明与共线.当=时，=（+），此时P为AB的中点，这是向量的中点公式.3若

2、A（x1,y1）、B（x2,y2），则=(x2-x1,y2-y1)4.向量模的坐标形式：=;5.求向量的夹角：cos=注：为锐角,不同向；为直角；为钝角,不反向.6.平面两点间的距离公式：已知A（x1,y1）、B（x2,y2）=8.三角形的四个“心”：重心：三角形三条中线交点.外心：三角形三边垂直平分线相交于一点.内心：三角形三内角的平分线相交于一点.垂心：三角形三边上的高相交于一点.9.三角形中向量性质： 1）过边的中点.2）； 为的重心； 为的垂心； 所在直线过内心.10.（1）；（2）.但可以推出：。11.三角形重心坐标公式：ABC的顶点，重心坐标：注意：在ABC中，若0为重心，则，这是

3、充要条件.12.三角形五“心”向量形式的充要条件设为所在平面上一点，角所对边长分别为，则（1）为的外心.（2）为的重心.（3）为的垂心.（4）为的内心.13.设、是平面内不共线的两向量，若，则。14.设、是平面内不共线的两向量，15.不共线向量无除法运算。16.首尾相接的向量之和：17.在ABC中，18.直线的方向向量有无数个。其中，（1，k）与是较特殊的两个。为直线的倾斜角、k为直线的斜率。19.重要结论：1），则三点、P、Q共线。 2）若点P为AB的中点。20.四边形中的向量问题：1）平行四边形两对角线的平方之和等于四边平方之和。即2）在四边形ABCD中，若四边形ABCD为平行四边形。注：

4、若在平面中，若，则推不出ABCD为平行四边形，有可能四点共线。3）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为菱形。4）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为菱形。5）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为梯形。6）在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD为矩形。7）在四边形ABCD中，若，则四边形ABCD为矩形。三范例剖析例1 已知A（-1，2），B（2，8），= ，= -，求点C、D和向量的坐标变式训练1 已知点，点在线段的中垂线上，则点的横坐标的值是 例2 已知一个平行四边形的顶点，对角线的交点为，则它的另外两个顶点的坐标为 变式训练2 已知P1(3,2)，P2（8，3），

5、若点P在直线P1P2上，且满足|P1P|=2|PP2|，求点P的坐标。例3 已知三角形的三个顶点为，（1）求三边的长；（2）求边上的中线的长；（3）求重心的坐标；（4） 求的平分线的长；例4平面内给定三个向量，回答下列问题：（1）求满足的实数m,n；（2）若，求实数k；（3）若满足，且，求四巩固训练1.在平面直角坐标系中作矩形,已知,则的值为 .2.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，则 .3.（2010辽宁文8）平面上三点不共线，设,则的面积= .4.(2010北京市海淀区高三统一练习)若向量a，b满足：(a-b)(2a+b)=-4,且 |a|=2,|b|=4，则a与b的夹角等于_.5

6、.已知非零向量且， 则ABC为 6.已知，且关于的方程有实根，则与的夹角的取值范围是 _. 7.等边的边长为1,设,则_.8.函数的图象按向量平移后与的图象重合,则函数_.9.把函数的图象按向量平移，所得的图象关于轴对称，则的最小正值是_.10.已知中,点在边上,且,则的值_.11.在中，为中线上的一个动点，若，则的最小值是_.12.记向量（1）求两向量的数量积（2）令函数，求函数的最小值及相应的值。13.过的重心任作一直线分别交于点，若，求证： 14.已知向量向量与向量的夹角为，且（1）求向量（2）若向量与向量的夹角为向量，其中为依次成等差数列，求的取值范围。附录：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍（1）重心中线的交点：重心将中线长度分成2：1；（2）垂心高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；（4）外心中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。二、四心与向量的结合（1）是的重心.证法1：设 是的重心.证法2：如图三点共线，且分为2：1是的重心（2）为的垂心.证明：如图所示O是