平面向量解三角形培优教案

1、第05讲 平面向量、解三角形 温故知新 知识要点一平面向量向量：分值在10分左右，一般有一道小题的纯向量题，另外在函数、三角、解析几何与立体几何中均可能结合出题。向量是新增的重点内容，它融代数特征和几何特征于一体，能与三角函数、函数、解析几何、立体几何自然交汇、亲密接触。在处理位置关系、长度、夹角计算上都有优势，向量作为代数与几何的纽带，理应发挥其坐标运算与动点轨迹、曲线方程等综合方面的工具性功能，因此加大对向量的考查力度，充分体现向量的工具价值和思维价值，应该是今后高考命题的发展趋势。向量和平面几何的结合是高考选择、填空题的命题亮点，向量不再停留在问题的直接表达水平上，而与解析几何、函数、三

2、角等知识有机结合将成为一种趋势，会逐渐增加其综合程度。【要点梳理】要点一：向量的有关概念1向量：既有大小又有方向的量叫做向量向量的大小叫向量的模(也就是用来表示向量的有向线段的长度)2向量的表示方法：(1)字母表示法 (2)几何表示法 (3)坐标表示法3相等向量：长度相等且方向相同的向量向量可以自由平移，平移前后的向量相等两向量与相等，记为4零向量：长度为零的向量叫零向量零向量只有一个，其方向是任意的5单位向量：长度等于1个单位的向量单位向量有无数个，每一个方向都有一个单位向量6共线向量：方向相同或相反的非零向量，叫共线向量任一组共线向量都可以移到同一直线上规定：与任一向量共线注：共线向量又称

3、为平行向量7相反向量： 长度相等且方向相反的向量要点二、向量的运算1运算定义运 算图形语言符号语言坐标语言加法与减法+=记=(x1，y1)，=(x2，y2)则=(x1+x2，y1+y2)=(x2-x1，y2-y1)+=实数与向量的乘积记=(x，y)则两个向量的数量积记则=x1x2+y1y22运算律(交换律)； (结合律)实数与向量的乘积：； ；两个向量的数量积：·=·； ()·=·()=(·)；(+)·=·+·3运算性质及重要结论(1)平面向量基本定理：如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，

4、有且只有一对实数，使，称为的线性组合)(2)两个向量平行的充要条件符号语言：坐标语言为：设非零向量，则(x1，y1)=(x2，y2)，或x1y2-x2y1=0(3)两个向量垂直的充要条件符号语言：坐标语言：设非零向量，则(4)两个向量数量积的重要性质： 即 (求线段的长度)； (垂直的判断)； (求角度) Ø 典例分析 例1|=1，|=2，= + ，且，则向量与的夹角为( )A30° B60° C120° D150°【解析】设所求两向量的夹角为，即：所以例2给定两个长度为1的平面向量和，它们的夹角为90°如图所示，点C在以O为圆心的圆

5、弧上运动若xy，其中x、yR，则xy的最大值是_【解析】设AOC，则COB90°，cos ·sin ·，即xycos sin sin例3在RtABC中，BCA90°，CACB1，P为AB边上的点，且，若··，则的取值范围是() A，1 B，1 C， D，【解析】直角ABC中，BCA=90°，CA=CB=1，以C为坐标原点CA所在直线为x轴，CB所在直线为y轴，如图：C（0，0），A（1，0），B（0，1），=，0，1，1+2+2224+10，解得：，0，1，1 故选：B例4对任意两个非零的平面向量和，定义若平面向量满足，与的

6、夹角，且和都在集合中，则=（ ）A B1 C D.【解析】 = , 即， = 选C例5设是已知的平面向量且，关于向量的分解，有如下四个命题：给定向量，总存在向量，使；给定向量和，总存在实数和，使； 给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；给定正数和，总存在单位向量和单位向量，使；上述命题中的向量，和在同一平面内且两两不共线，则真命题的个数是（ ）A1B2C3D4.【解析】选项，给定向量和，只需求得其向量差即为所求的向量，故总存在向量，使，故正确；选项，当向量，和在同一平面内且两两不共线时，向量，可作基底，由平面向量基本定理可知结论成立，故可知正确；选项，取=（4，4），=2，=（1，0）

7、，无论取何值，向量都平行于x轴，而向量的模恒等于2，要使成立，根据平行四边形法则，向量的纵坐标一定为4，故找不到这样的单位向量使等式成立，故错误；选项，因为和为正数，所以和代表与原向量同向的且有固定长度的向量，这就使得向量不一定能用两个单位向量的组合表示出来，故不一定能使成立，故错误故选B例6已知向量a，b(cos x，1)(1)当ab时，求cos2xsin 2x的值；(2)设函数f(x)2(ab)·b，已知在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b2，sin B，求f(x)4cos(2A)(x0，)的取值范围【解析】(1)ab，cos xsin x0，tan xco

8、s2xsin 2x(2)f(x)2(ab)·bsin，由正弦定理，可得sin A，Af(x)4cossin，x0，2x，1f(x)4cos(2A)故所求范围为1，例7已知 ，若 点是 所在平面内一点，且 ，则 的最大值等于（ ）A13 B15 C19 D21【解析】以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，即，所以，因此，因为，所以 的最大值等于，当，即时取等号学霸说向量在整个高中数学里面是一个工具性的知识，首先要弄懂向量的基本知识，然后对于向量与解析几何等综合知识要依据向量的基本，根据高中知识体系交叉综合进行灵活变形Ø 举一反三1设为单位向量，(1)若为平面内的某个

9、向量，则；(2)若与平行，则；(3)若与平行且，则上述命题中，假命题个数是( )A0 B1 C2 D3【解析】D2如图所示，D是ABC的边AB上的中点，则向量( )A BC D【解析】，故选A3. 在ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C的对边，若SABC=（其中SABC表示ABC的面积），且（+）=0，则ABC的形状是（）A有一个角是30°的等腰三角形 B等边三角形C直角三角形 D等腰直角三角形【解析】如图，在边AB，AC上分别取点D，E，使，以AD，AE为邻边作平行四边形ADFE，则：四边形ADFE为菱形，连接AF，DE，AFDE，且；AFBC；又DEAF；DEBC，且AD=A

10、E；AB=AC，即b=c；延长AF交BC的中点于O，则：，b=c；4c2a2=a2；a2=2c2=b2+c2；BAC=90°，且b=c；ABC的形状为等腰直角三角形故选：D4与向量的夹角相等，且模为1的向量是 ( )A B 或C D或【解析】设所求平面向量为，由或时，当时，；当时，故平面向量与向量的夹角相等故选B5如图，已知圆M：（x3）2+（y3）2=4，四边形ABCD为圆M的内接正方形，E，F分别为边AB，AD的中点，当正方形ABCD绕圆心M转动时，的取值范围是（）A B6，6 C D4，4【解析】解：因为圆M：（x3）2+（y3）2=4，圆心的坐标（3，3）半径为2，所以|ME

11、|=，|OM|=3，=，=6cos（OME）6，6，的取值范围是6，6故选B6 如图，在ABC中，AFAB，D为BC的中点，AD与CF交于点E若a，b，且xayb，则xy_【解析】如图，设FB的中点为M，连接MD因为D为BC的中点，M为FB的中点，所以MDCF因为AFAB，所以F为AM的中点，E为AD的中点方法一因为a，b，D为BC的中点，所以(ab)所以(ab)所以b(ab)ab所以x，y，所以xy方法二易得EFMD，MDCF，所以EFCF，所以CECF因为ba，所以(ba)ab所以x，y，则xy 知识要点二解三角形1 三角形常用公式：ABC；Sab sin Cbc sin Aca sin

12、B；2三角形中的边角不等关系: A>Ba>b,a+b>c,a-b<c；3正弦定理：2R（外接圆直径）；正弦定理的变式：；abcsin Asin Bsin C4正弦定理应用范围：已知两角和任一边，求其他两边及一角已知两边和其中一边对角，求另一边的对角几何作图时，存在多种情况如已知a、b及A，求作三角形时，要分类讨论，确定解的个数已知两边和其中一边的对角解三角形，有如下的情况：(1)A为锐角 一解 两解 一解(2)A为锐角或钝角当时有一解5余弦定理：6余弦定理应用范围：（1）已知三角形的三条边长，可求出三个内角；（2）已知三角形的两边及夹角，可求出第三边7三角形的面积公式：

13、（1）ahabhbchc（ha、hb、hc分别表示a、b、c上的高）（2）absinCbcsinAacsinB；Ø 典例分析例1已知a、b、c分别是ABC中角A、B、C的对边，且a2c2b2ac(1)求角B的大小；(2)若c3a，求tan A的值【解析】(1)a2c2b2ac，cos B0<B<，B(2)方法一将c3a代入a2c2b2ac，得ba由余弦定理，得cos A0<A<，sin A，tan A方法二将c3a代入a2c2b2ac，得ba由正弦定理，得sin Bsin A由(1)知，B，sin A又ba>a，B>A，cos Atan A方法三c

14、3a，由正弦定理，得sin C3sin AB，C(AB)A，sin(A)3sin A，sincos Acossin A3sin A，cos Asin A3sin A，5sin Acos A， tan A例2在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足cos ，·3(1)求ABC的面积；(2)若bc6，求a的值【解析】 (1)cos ，cos A2cos21，sin A又·3，bccos A3，bc5SABCbcsin A×5×2(2)由(1)知，bc5，又bc6，根据余弦定理得a2b2c22bccos A(bc)22bc2bccos A361

15、010×20，a2例3在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c已知sin Asin Cpsin B (pR)，且acb2(1)当p，b1时，求a，c的值；(2)若角B为锐角，求p的取值范围【解析】(1)由题设并由正弦定理，得解得或(2)由余弦定理，b2a2c22accos B(ac)22ac2accos Bp2b2b2b2cos B，即p2cos B因为0<cos B<1，所以p2，由题设知p>0，所以<p<例4在ABC中，sin2Asin2Bsin2CsinBsinC，则A的取值范围是()A(0， B，) C(0， D，)【解析】根据正弦定理，

16、由sin2Asin2Bsin2CsinBsinC得a2b2c2bc，根据余弦定理cosA，又0<A<，0<A，故选C.例5在ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c.已知.(1)求的值；(2)若cosB，ABC的周长为5，求b的长【解析】（1）由正弦定理2R知，即cosAsinB2cosCsinB2cosBsinCcosBsinA，即sin(AB)2sin(BC)，又由ABC知，sinC2sinA，所以2.(2)由(1)知2，c2a，则由余弦定理得b2a2(2a)22·a·2acosB4a2b2a，a2a2a5，a1，b2.Ø 举一反三1在

17、ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2b2bc，sinC2sinB，则A()A30° B60° C120° D150°【解析】由sinC2sinB可得c2b，由余弦定理得cosA，于是A30°，故选A.2如图，在ABC中，D是边AC上的点，且ABAD,2ABBD，BC2BD，则sin C的值为()A B C D【解析】设AB=a，则在ABD中，在BDC中，=故答案为：3 在ABC中，(1)证明：BC；(2)若cos A，求sin的值【解析】(1)证明在ABC中，由正弦定理及已知得于是sin Bcos Ccos Bsin C0，即

18、sin(BC)0因为<BC<，从而BC0所以BC(2)解由ABC和(1)得A2B，故cos 2Bcos(2B)cos A又0<2B<，于是sin 2B从而sin 4B2sin 2Bcos 2B，cos 4Bcos22Bsin22B所以sinsin 4Bcos cos 4Bsin 4 在ABC中，内角A，B，C所对的边长分别是a，b，c(1)若c2，C，且ABC的面积为，求a，b的值；(2)若sin Csin(BA)sin 2A，试判断ABC的形状【解析】(1)c2，C，由余弦定理c2a2b22abcos C得a2b2ab4又ABC的面积为，absin C，ab4联立方程

19、组解得a2，b2(2)由sin Csin(BA)sin 2A，得sin(AB)sin(BA)2sin Acos A，即2sin Bcos A2sin Acos A，cos A·(sin Asin B)0，cos A0或sin Asin B0，当cos A0时，0<A<，A，ABC为直角三角形；当sin Asin B0时，得sin Bsin A，由正弦定理得ab，即ABC为等腰三角形ABC为等腰三角形或直角三角形5 在ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2cos 2A(1)求A的度数；(2)若a，bc3，求b、c的值【解析】(1)BCA，即，由4sin2c

20、os 2A，得4cos2cos 2A，即2(1cos A)(2cos2A1)，整理得4cos2A4cos A10，即(2cos A1)20cos A，又0°<A<180°，A60°(2)由A60°，根据余弦定理cos A，即，b2c2bc3，又bc3，b2c22bc9整理得：bc2解联立方程组得或课堂闯关Ø 初出茅庐 l 建议用时：10分钟1 已知向量(2,2)，(4,1)，点P在x轴上，·取最小值时P点坐标是()A(3,0) B(1,0) C(2,0) D(3,0)2 等腰直角三角形ABC中，A，ABAC2，M是BC的中

21、点，P点在ABC内部其边界上运动，则·的取值范围是( )A1,0 B1,2 C2，1 D2,03若点M是ABC所在平面内的一点，且满足53，则ABM与ABC的面积比为()A B C D4在ABC中，M为边BC上任意一点，N为AM中点，则的值为()A B C D15 ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于()A2 B2 C D6在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c若6cos C，则的值是_7在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若其面积S(b2c2a2)，则A_参考答案：1-5：DDCAD 64；7；&

22、#216; 优学学霸 l 建议用时：15分钟1如图，O为ABC的外心，AB=4，AC=2，BAC为钝角，M是边BC的中点，则的值为（）A4 B5 C7 D62设，是两个非零向量则下列命题为真命题的是（）A若|+|=|，则 B若，则|+|=|C若|+|=|，则存在实数，使得=D若存在实数，使得=，则|+|=|3设、为非零向量，下列等恒成立的个数有（）（）=（）；（）（）=0；22=（+）（）；+=（+）（+）A1个 B2个 C3个 D4个4ABC的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，asin Asin Bbcos2Aa，则等于()A2 B2 C D5在ABC中，若A60°，b1

23、，SABC，则的值为()A B C D6 定义平面向量之间的一种运算“”如下，对任意的=（m，n），=（p，q），令=mqnp，给出下面五个判断：若与共线，则=0；若与垂直，则=0；=；对任意的R，有；（）2+（）2=|2|2其中正确的有 （请把正确的序号都写出）7. ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，向量m(2sinB,2cos2B)，n(2sin2()，1)，且mn.(1)求角B的大小；(2)若a，b1，求c的值参考答案：1-5：BCC D B 6；7. B或，c2或c1.考场直播 1【2015·湖南】已知点A，B，C在圆x2y21上运动，且ABBC若点P的坐标为(2

24、，0)，则|的最大值为()A6 B7 C8 D9【解析】由A，B，C在圆x2y21上，且ABBC，AC为圆直径，故2(4，0)，设B(x，y)，则x2y21且x1，1，(x2，y)，所以(x6，y)故|，x1时有最大值7，故选B2【2011·广东高考】已知向量a(1,2)，b(1,0)，c(3,4)若为实数，(ab)c，则()A B C1 D2【解析】B 可得ab(1，2)，由(ab)c得(1)×43×20，所以3【2015高考陕西】对任意向量，下列关系式中不恒成立的是（ ）A BC D【解析】因为，所以选项A正确；当与方向相反时，不成立，所以选项B错误；向量的平方等于向量的模的平方，所以选项C正确；，所以选项D正确故选B4