巧用点的坐标妙解图形面积

1、巧用点的坐标，妙解图形面积为了提高学生的素质，考察学生的基础知识及综合能力的应用水平，近年中考出现了较多的函数与几何相结合型试题。这类试题，要沟通几何与函数的内在联系，除了坐标平面、函数图像本身的性质及几何图形的基本定理的应用外，还有一个重要的解题手段，这就是点的坐标与线段长度的互化。表现在两个方面：一是将线段长转化为点的坐标，迅速求出了解析式，实现“以形表数”的转化；二是将点的坐标转化为线段长，进而利用线段间的关系使问题得以解决，实现“以数表形”的转化。掌握好这个互化方法，很多综合题型就能得以突破现就第二方面的转化（坐标转化为线段长），撷取一些有代表性的题目，以飨读者。1、一次函数中用好点的

2、坐标例1、（2009年绍兴）如图1，在轴上有五个点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，5分别过这些点作轴的垂线与三条直线，相交，其中则图中阴影部分的面积是（）图3图10 图4A12.5 B25 C12.5 D25 【解析】： 此题利用直线构造一系列不规则图形，解答时需要学生深刻认识一次函数图像上点的坐标特征，我们先来看这么一个事实（如图2），直线y=ax ，y=(a+1)x ， y=(a+2)x与直线x=m 相交于A，B ，C三点，容易求得=am ，=(a+1)m ，=(a+2)m 注：表示A点纵坐标，下同据此可求得 BC =，AB = ，进一步可得BC=AB。根据上面这个事实，我们发现线段的

3、长和a的值无关，就等于m的值，这样会自然想到两种方法：（1）逐个求解：不难求出从左到右各阴影的面积分别为，故.故选A。（2）转化求解： 同一列上的阴影部分与空白部分形状虽不相同，但它们的面积是相同的，这样通过转化思想把阴影面积变成如图3所示，只需计算这一三角形面积即可，.故选A。例2、（2009年宁波）如图4，点A、B、C、D在一次函数 的图象上，它们的横坐标依次为-1、1、2，分别过这些点作x轴与y轴的垂线，则图中阴影部分的面积之和是 （ ）A B C D 【解析】 阴影部分的三个三角形底边长为1，而这三个三角形高的和就是点A和点C的垂直距离，故可采用以下方法求解 当x =1时 y=2+ m

4、 A (1, 2+ m) 当x = 2时 y=4+ m C ( 2, 4+ m) =(-2+ m)(-4+ m) = 2 =1（）=12 = 12、反比例函数中用好点的坐标 例3、（2009年长春）如图5，点的坐标为（2，），过点作轴的平行线交轴于点，交双曲线（）于点，作交双曲线（）于点，连结已知（1）求的值yxOPAMN（2）求的面积【解析】：（1）点的坐标为（2，）AP=2, OA=.PN=4, AN=6. 图5点的坐标为（6，）把N（6，）代入中，得（2）k=9，y=.当时，M（2，） 例4（2009年吉林）如图6，反比例函数的图像与直线在第一象限交于点，为直线上的两点，点的横坐标为2，

5、点的横坐标为3为反比例函数图像上的两点，且平行于轴（1）直接写出的值；yOBABCDPxB图6（2）求梯形的面积【解析】：（1）=12，=.（2）把=2代入=，得=6.D（2，6）把=2代入，得 A(2，).把=3代入得=， B (3，).BC= =4-(-1)=5S=3、二次函数中用好点的坐标 BC铅垂高水平宽h a 图7A2例5、（2009年益阳）阅读材料：如图7， 过 ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在ABC内部线段的长度叫ABC的“铅垂高(h)”.我们可得出一种计算三角形面积的新方法：，即三角形面积等于水平

6、宽与铅垂高乘积的一半.解答下列问题： 如图8，抛物线顶点坐标为点C(1,4),交x轴于点A(3,0)，交y轴于点B.(1)求抛物线和直线AB的解析式；(2)点P是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结PA，PB，当P点运动到顶点C时，求CAB的铅垂高CD及；图8xCOyABD11(3)是否存在一点P，使SPAB=SCAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】:(1) (2) 因为C点坐标为(,4)当x时， (平方单位) 注：表示A点横坐标，下同 (3)假设存在符合条件的点P，设P点的横坐标为x，PAB的铅垂高为h，则 由SPAB=SCAB 得：即 ，化简得：解得：，将代入，

7、得P点坐标为例6、（2009年江西省）如图9，抛物线与轴相交于、两点（点在点的左侧），与轴相交于点，顶点为.（1）直接写出、三点的坐标和抛物线的对称轴； （2）连接，与抛物线的对称轴交于点，点为线段上的一个动点，过点作交抛物线于点，设点的横坐标为；图9用含的代数式表示线段的长，并求出当为何值时，四边形为平行四边形？设的面积为，求与的函数关系式. 【解析】:（1）A（-1，0），B（3，0），C（0，3）抛物线的对称轴是：x=1 （2）直线BC的函数关系式为：E（1，2）P（m，m+3）当时，线段，当时，四边形为平行四边形由解得：（不合题意，舍去）因此，当时，四边形为平行四边形 （03）综上所述，用好点的坐标，解决好线段长问题，很多函数综合题就能得以突破，点的坐标与线段长度的关系，