微分中值定理及其应用2

1、第3章 微分中值定理及其应用 (第二讲泰勒公式、函数极值等)一应用麦克劳林公式，按乘幂展开函数。解：是6次多项式， 计算出：故 二.当 时，求函数 的阶泰勒公式。解： （在和之间） 三.求函数的阶麦克劳林公式。解: 可表示为 一当时，证明。证: 设则设 则 当 时, , 故单调减少, 即所以在上单调减少. 当时, ,因此 , 即 二、当时，证明。解: 设即 当时, , 所以为单调增加 ,即 为增函数, 三试证方程仅有一个实根。解: 显然为方程的一个根又 时, 单调增加,在仅有一个零点.即方程仅有一个实根五在上存在二阶导数且，证明：（1）在内。（2）内至少存在一点，使得。分析:(1)要证在上非零

2、,用反证法更方便,若不然,至少有一个零点,则由的三个零点,可推出有2个零点,从而有一个零点与已知矛盾. (2)要证,即证方程有解,则取 从而可以证明结论.证明:(1)反证法:若不然,则在内至少有一点,使得,于是由已知在,上均满足罗尔定理条件,因此,必存在,使得进一步知在区间上满足罗尔定理的条件，因此，必存在使得，与已知矛盾。因此在上。（2）设由已知，在上连续可导，满足罗尔定理的条件，因此，至少存在一点使得，即：,也即六，且，试证（1） 当时，；（2） 当时，。分析：对于这种题显然用反证法证明：（1）设当时 ，任意取一点 由导数的定义知：将得：因为当时 ，且与条件相矛盾 所以假设不成立原命题成立

3、即：当时，（2）设当时 ，任意取一点由导数的定义知：将得：因为当时 ，且所以与条件相矛盾 所以假设不成立原命题成立即：当时，一、求函数的极值。解：点导数不存在，而函数有意义（）1 （）+ 最大极值点极大值：二试证明：如果函数满足条件，那末这函数没有极值。证明：,由条件，推出,为二次三项式，当时， ，从而为单调增加当时， ，从而为单调减少故无论对怎样的，在总是单调的， 在无极值。二、 设 （1）讨论在处的连续性。（2）取何值时取得极值。解：（1）由连续的定义知： 所以.= 而 . 所以= 所以在处连续（2）设 要使取得极值 则必须使在处取得极值. 设, 则 , 要使取得极值则有 ,而 所以 ,

4、因此, 所以. 所以当等于时，取得极值,由于 即为单调增函数 所以只要取得极值即可。所以当等于时取得极值。三利用函数的凹凸性，证明不等式解：设,对，由 知是上凹的,所以对任意 有即：四求函数的拐点。解： ,当时，又当时，不存在但注意到时曲线上的对应点为边界点，因为曲线上的横坐标都大于等于0，所以点不能是拐点，故曲线上可能是拐点的点为时的点及时的点,经过验证二者都是拐点。五问及为何值时，点为曲线的拐点？解： 令得由于，在的领域内，在的两侧变号，所以，这时对应的要使为拐点，则 解得：六设二阶可导，若，证明：。证明：由导数的定义：,应用麦克劳林公式将展开得：因为， ,所以（2）设互为反函数，且均在上

5、存在二阶导数，于是（ ）。 A若则； B 若则； C 若则； D 若则； 分析： 依题意， 为奇函数，图形关于原点对称，对称点处曲线凸凹性相反，即二阶导数异号，因此A正确，故取A，而互为反函数的条件，函数曲线与的凸性关系与其单调性相关，在不明确单调性情况下，无法对C，D做判断。（5）在内具有二阶导数，严格单调减少，且则（ ）。 A.在和内均有； B.在和内均有； C.在内，在内， ；D. 在内，在内，。分析： 由几何直观考虑，如图，在处，切线为，且曲线上凸，从而知切线在曲线上方，即：，故取A（6）设在其定义域内具有二阶导数，则在定义域内（ ）。A.若 ，也必有单调增加；B.若，也必有曲线是凹的；C.若，也必有恒为常数；D.连续。分析： 由导数讨论函数性