常微分方程第四章

1、3.4 阶常系数线性齐次微分方程的解法 对于齐次方程（3.4）而言，只要能得到该方程的一个基本解组，即，个线性无关的解我们就能得到方程（3.4）的通解.但是，对于一般的阶线性齐次微分方程，它的基本解组很难找到.可是，当齐次方程（3.4）的系数都是实常数时，求它的基本解组的问题却可以转化为求一个一元次多项式方程根的问题.如果能够求得这个一元次多项式方程的所有根，就能得到方程（3.4）的基本解组，从而也就得到了方程（3.4）的通解了. 形如的方程（其中均为实常数），称为阶常系数线性微分方程.如果，即称为阶常系数线性齐次微分方程.如果，称为阶常系数线性非齐次微分方程.本节主要介绍阶常系数线性齐次微分

2、方程的解法，先研究一阶常系数线性齐次微分方程这是一个变量可分离的方程，采用初等积分法，可求得该方程的一个非零解.因为方程是一阶的，所以基本解组中只含有一个解，即. 对于阶常系数线性齐次微分方程而言，我们猜想该方程也有形如的解，其中是待定常数.为了确定，可以将代入方程.这时，需要计算的各阶导数代入方程得：因为，所以有该一元次方程称为常系数线性微分方程的特征方程.该方程的根，称为线性微分方程的特征根. 是阶常系数线性齐次微分方程的解，当且仅当是线性微分方程的特征根.这样，求阶常系数线性齐次微分方程的解，就转化为求特征方程的特征根的问题了. 下面根据特征根的情况来讨论常系数线性齐次微分方程的解. 1

3、、特征根互异 首先，假设特征方程有个互异的实根.这时，就可以得到相对应的个解 因为两两互异，所以是个线性无关的解，即，它们就是齐次微分方程的基本解组，所以齐次微分方程的通解为.其中是任意常数. 例1 求方程的通解. 解 特征方程为即从而，特征根为基本解组为因此方程的通解为其中是任意常数. 例2 求方程的通解及满足初始条件：的特解. 解 特征方程为即从而，特征根为基本解组为因此方程的通解为其中是任意常数. 下面来求满足初始条件的特解，将初始条件代入得所以，因此所求的特解为. 其次，互异的特征根中含有复根，即中有复数，不妨设（为实数）.这时，所对应的解为.由于为复数，应该如何定义呢？定义之后的求导

4、与为实数时的求导计算是否相同呢？下面我们来解决这些问题. 给出复数的代数形式后，我们可以转化为三角形式，例如其中.同时，复数也可以写成指数形式，即所以有于是有. 有了定义之后，我们来研究为复数与为实数时的求导计算是否相同. 性质1.无论是实数还是复数，总有. 证明 当为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明为复数的情形，设，为实数.因为所以. 由性质1，可得：无论是实数还是复数，总有. 性质2.无论是实数还是复数，对任意实数，总有. 证明 当为实数时，上述结论是已知的.那么我们证明为复数的情形，设，为实数.这时所以. 有了上述定义和性质，所对应的解为是满足常系数线性齐次微分方程的.但是，这个解

5、是复数形式的解，下面给出复解的概念，并把复解实数化. 定义3.4 函数都是实数函数，设复值函数是常系数线性齐次微分方程的解，则称复值函数为方程的复解. 定理3.11设复值函数是常系数线性齐次微分方程的解，则复值函数的实部和虚部都是方程的解. 证明 因为复值函数是常系数线性齐次微分方程的解，所以有即即所以即，实部和虚部都是方程的解. 我们继续讨论互异特征根中含有复数的情形，如果互异特征根中含有一个复数，则该复数根对应一个复解而该复解的实部函数和虚部函数都是齐次方程的解，即，该复根对应齐次方程的两个解.下面有两个问题需要解决：（1）一个复特征根对应两个解，则解的个数会多于个，怎么处理？（2）将复解

6、实数化后得到的解，与实特征根所对应的解组成的函数组是不是基本解组呢？ 因为方程的系数全为实数，所以特征方程就是实系数的，因此，特征根出现复根时，必是共轭出现的.即，是特征根，则也是特征根.这样，复解是成对出现的，所对应的复解为这时，它的实部函数和虚部函数同的所对应的复解的实部函数和虚部函数等价，因此，这一对共轭的特征根对应两个解.故解的个数不会增加，仍然是个.而且，实部函数和虚部函数可以由所对应的两个复解和来表示，即 下面来解决第二个问题，将复解实数化后与实特征根所对应的解组成的函数组仍然是线性无关，从而仍然为齐次方程的基本解组. 定理3.12 如果是在区间上的个线性无关的函数，是两个非零常数

7、，则函数组在区间上仍是线性无关的. 证明 设函数组的线性组合等于零.即即因为函数组是线性无关的，所以因为不为零，由可得：所以因此，函数组在区间上仍是线性无关的. 解决了上述问题后，互异特征根出现一个复根时，则与它共轭的复数也是特征根，这一对特征根对应一对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组.如果出现两对共轭的特征根，则会对应两对实数解，而且得到的新函数组仍然为基本解组，依次类推，遇到复数特征根都可以将它所对应的复解实数化. 例3 求方程的通解. 解 特征方程为即从而，特征根为基本解组为因此方程的通解为其中是任意常数. 例4求方程的通解. 解 特征方程为即从而，特征根为基本解组为因此方程的通

8、解为其中是任意常数. 2、特征根有重根 设是重特征根（为实数或复数），则对应着齐次方程的一个解.但是，是重特征根，相当于个特征根，只得到了一个解.这时得到的线性无关解的个数会少于个，构不成基本解组.所以重特征根应该对应个线性无关的解，那除了外还应补上个解，应该补上哪些解呢？我们先研究二阶常系数线性齐次微分方程有重根的情形. 设二阶齐次方程为其中. 特征方程为特征根为则得到二阶齐次方程的一个非零解. 利用刘维尔公式可求得与线性无关的另一个解，即，当是二重特征根时，除了对应解之外，还对应另外一个与线性无关的解. 与二阶方程类似，我们猜想，当是重特征根时，对应的个线性无关的解为下面来证明这个猜想，即

9、证明是阶常系数线性齐次方程的解. 首先，特征方程为记，因为是重特征根，所以且下面求的各阶导数，由牛顿莱布尼兹公式得：代入得因为，所以因此故是阶常系数线性齐次方程的解. 以上只讨论了是重根的情形，对于一般的情形，我们有如下的定理. 定理3.13 如果方程有两两互异的特征根，它们的重数分别为，且，则齐次方程的基本解组为. 证明 由上述论证，函数组中的每一个函数都是齐次方程的解.现在只需要证明它们是线性无关的函数组. 设函数组的线性组合等于零，即.整理可得：.即.假设至少有一个不为零，则中至少有一个不是零多项式，不妨假定不恒为零.而至多为次多项式，在.两边同时乘以得.对上式关于求次导数，这时有（其中

10、是与同次数的多项式）所以，上式化为再在两边同时乘以得对上式关于求次导数，这时有所以上式化为序行此法，最后可得而，所以，故，这与不恒为零矛盾.因此假设不成立，即全为零.所以，函数组是线性无关的，从而是基本解组. 由定理3.13，我们得到了方程的基本解组，从而可以写出齐次方程的通解为. 如果在上述基本解组中，出现了复解，那么同单根的情形一样，可以取其实部函数和虚部函数，将复解实数化.例如是重的特征根，则与其共轭的复数也是重的特征根，这一对共轭的特征根会对应个复解将这个复解实数化，得到个实解由定理3.12知，替换后的函数组仍是基本解组.对于其它复数根，也可以采用同样的处理方法，最后就可以得到方程的个线性无关的实解. 例5 求方程的通解. 解 特征方程为即从而，特征根为基本解组为因此方程的通解为其中是任意常数. 例6 求方程的通解. 解 特征方程为即从而，特征根为基本解