届北京先知文化中心高三数学模拟测试(一)

1、2009届北京先知文化中心高三模拟测试(一)数学试题（试卷总分150分 考试时间120分钟第卷（选择题 共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的）.1、设集合，则 ( ). . . .2、（理）已知复数，则（ ）A. 2 B. 2 C. D. （文）若为锐角，且，则（）A B C D3、若等差数列满足，则的值是（ ）A20 B36 C24 D724、已知是的高的交点， 则有（ ）A BC D5、三鹿奶粉添加三聚氰胺的问题引起了全社会的关注。某市质量监督局为了保证人民的饮食安全要对超市中奶粉的质量进行专项抽查，已知该地区超市中卖

2、的各种类型的奶粉的分布情况如下：老年人专用奶粉300种，普通奶粉240种，婴幼儿奶粉360种，现采用分层抽样的方法抽取150种进行检验，则这三种型号的奶粉依次应抽取（ ） A. 18种，12种，24种 B. 7种，30种，10种C. 50种，40种，60种 D. 8种，21种，18种6、设正数，则“”是“”的（ ）A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件7、奇函数在上的解析式为，则不等式的解集为（ ）A B CD8、（理）已知的展开式中的系数与的展开式中的系数的和为（）ABCD（文）若的展开式中存在常数项，则满足要求的最小偶数是（ ）A2 B6 C8 D10

3、9、（理）为得到函数的图像，可将函数的图像向左平移个单位长度或向右平移个单位长度（均为正数），则的最小值是（ ）A B C. D（文）为得到函数的图象，只需将函数的图象按照向量平移，则可以为（）ABCD10、（理）抛物线的焦点为，其上的动点在准线上的射影为若，则的横坐标是（ ） （文）一动圆的圆心在抛物线上，且动圆恒与直线相切，则此动圆必过定点（）A B C D11、（理）在三棱锥中，则下面一定成立的是（ ）A. B. C. D. （文）用与球心距离为的平面去截球，所得截面的面积为，则截面直径的两个端点的球面距离为 ( ) A. B. C. D. 12、（理）下表为第29届奥运会奖牌榜前10名

4、，设表示从“金牌、银牌、铜牌、总数”4项的奖牌数中任取不同两个构成的一个排列，按下面的方式对10个国家进行排名首先按由大至小排序（表格中从上至下），若值相同，则按值由大至小排序，若值也相同，则顺序任意，那么在所有的排序中，中国的排名之和是（ ）A15 B20 C24 D27（文）一次演讲比赛中，需要安排10名选手的出场顺序，方法是按照姓氏笔画顺序（由少至多），如姓氏笔画相同则顺序任意，统计发现10名选手中姓氏4画的有2人，5画的有3人，6画的4人，7画有1人，则不同的出场顺序共有（ ）A24种 B48种 C144种 D288种第卷（非选择题 共90分）二、填空题：(本大题共4小题，每小题5分，

5、共20分.把答案填在题中横线上.)13、已知函数的反函数为，若，则a = .14、一个球与正四面体的六条棱都相切，若正四面体的棱长为a，则这个球的体积为 .15、将一个长、宽分别是8，7的铁皮的四角均切去边长为的正方形，然后折成一个无盖的长方体的盒子，则当这个长方体的对角线最短时，的值为 .16、（理）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点,，若其欧拉线方程为，则顶点C的坐标是 （文）已知的两顶点A、B是双曲线的左右两个焦点，顶点C在双曲线右支上，则三、解答题（本大题共6

6、小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤17、（本小题满分10分）设的内角所对的边长分别为，且（1）求证：（2）当时，求18、（本小题满分12分）第29届奥运会期间，来自美国和英国的共计6名志愿者被随机地平均分配到跳水、篮球、体操这三个岗位服务，且跳水岗位至少有一名美国志愿者的概率是（1）求6名志愿者中来自美国、英国的各几人（2）求篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率（3）（只理科作）设随机变量为在体操岗位服务的美国志愿者的个数，求的分布列及期望19、（本小题满分12分）如图，已知平面，平面，三角形为等边三角形，为的中点（1）求证：平面（2）求证：平面平面（3）求二面角的

7、大小20、（本小题满分12分）（理）设函数（1）若存在使不等式能成立，求实数的最小值（2）若关于的方程在上恰有两个不等实根，求实数的取值范围.（文）已知数列的前n项和为且满足：，数列满足：（1）求（2）设，求的通项公式；21、（本小题满分12分）已知椭圆的右准线方程为，右焦点到上顶点的距离为，点是线段上的一个动点(1)求椭圆的方程(2)是否存在过点且与轴不垂直的直线与椭圆交于、两点,使得,并说明理由.22、（本小题满分12分）（理）在数列中，a1=2，b1=4，且成等差数列，成等比数列（）（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜测的通项公式，并证明你的结论；（2）证明：数学答案解析及

8、评分标准1、B ，故2.（理） B （文）可得，故3. C 因，得，得，则， ，则4 点是的高的交点，则 因此同理可得: ,5、C 根据分层抽样的知识可知，抽样比为，则老年人专用奶粉应该抽取30050种，普通奶粉24040种，婴幼儿奶粉36060种.从而可知答案选C6. A ，平方得， 但反之无法推出，故是充分而不必要条件7、B 根据奇函数图像关于原点对称，观察图像即可8（理） 所求和为（文）B ，,，则满足要求的最小偶数是69、（理）B 由周期性可知，则，易知当时，（文），比较可得10、（理）A ，故，由抛物线定义可知，故是等边三角形，必有，说明F在的垂直平分线上，故，得M的横坐标是（文）D

9、依题意得为抛物线的准线，由抛物线定义知圆心到准线的距离与到焦点的距离相等，故圆必过抛物线的焦点11、（理）B 易知， ,由，故，故11.（文）A 截面半径为1，设球半径为，则，得，当两个点是截面直径端点时易得球心角为60°，则球面距离为12、（理）D 提示：分类讨论：若为金牌，3种排序中，中国均第1；若为银牌，在银牌-金牌，银牌-总数两种排序中，中国均第2，在银牌-铜牌的排序中，中国排第2或第3；若为铜牌，在铜牌-金牌，铜牌-总数的排序中，中国均第2，在铜牌-银牌的排序中，中国排第2或第3；若为总数，则3种排列中国均第2；故在所有的排序中，中国的排名之和为，选D（文）D 提示：安排4

10、画的方法有种，5画的方法有种，6画的方法有种，7画的方法有1种，由分步计数原理得=288种136 ， ，.14a的正方体，而一个球与正四面体的六条棱都相切，即这个球与正方体的六个面都相切，因此，球的半径即为正方体棱长的，即R=a)3Feq f(,24)pa3.15 设对角线为，则，根据二次函数单调性可知当时有最小值，且，是符合实际情况的16、（理） AB中点为（1，2），直线AB的垂直平分线方程为，将其与欧拉线方程联立，解得外心（，1），设C(a，b)，则重心，有与，联立得或（舍）（文）17、(10分)解：（1）在中，由正弦定理及，可得即，故； 5分（2），故，得，因，故，于是，所以当时， 1

11、0分18.(12分)解：（1）记至少一名美国志愿者被分到跳水岗位为事件，则的对立事件为“没有美国志愿者被分到跳水岗位”，设有美国人个，那么，解得，即来自美国的2人，来自英国的4人4分（2）记篮球岗位恰好美国人、英国人各有一人为事件，那么，所以篮球岗位恰好美国人、英国人各一人的概率是理8分文12分（3）（只理科作）的所有可能值为0，1，2， ， 故有分布列012P从而（人）理12分19(12分)（1）证明：取的中点，连，为的中点 ，而平面，平面，故，又，四边形为平行四边形,又所以平面 3分（2）为等边三角形，而故平面 5分，平面所以平面平面 7分（3）在平面内作交于，在平面内作交于，连 平面平面

12、 平面，由三垂线定理得为二面角的平面角 9分设，则， 10分又，其中 所以二面角的大小为（或） .12分方法二：设，则；由已知得建立如图所示的坐标系， 则：为的中点， 2分（1）证明： 3分，A不在平面内，平面 4分（2） 5分， 6分平面，又平面平面平面 7（3）设平面的法向量为由可得： 设平面的法向量为由可得： 9分 二面角的大小为 12分20.(12分)（理） 解：（1）设在的最小值为，依题意有， 当时，故在为增函数， ，于是，即实数的最小值为1 6分 （2）依题意得，在上恰有两个相异实根，令，当时，当时，故在上是减函数，在上是增函数，8分算得，即，故应有，故12分（文）解：（1）由得： 则 当时， 故为等比数列，且 6分 （2）由得： 因，故 8分 为等比数列，首项；公比 12分21.(12分)解.：(1)由题意可知，又，解得，椭圆的方程为；4分（2）由（1）得，所以.假设存在满足题意的直线，设的方程为，代入，得，设，则 ，6分，而的方向向量为，;于是当时,，也即存在这样的直线;当时,不存在，即不存在这样的直线 .12分22.（理）解：（1）由条件得，由此可得猜测用数学归纳法证明：当时，由上可得结论成立假设当时，结论成立，即，那么当时，所以当时，结论也成立由，可知对一切正整数都成立6分（2）时，由（1）知故综上，原不