定积分的简单应用

1、1.7定积分的简单应用课标考纲解读 夺冠学习方略1 会通过求定积分的方法求由已知曲线围成的平面图形的面积.2. 理解定积分概念和性质的基础上熟练掌握定积分的计算方法;3. 掌握在平面直角坐标系下用定积分计算简单的平面曲线围成图形的面积。4会用定积分解决简单的物理问题.1.在定积分几何意义的基础上，会应用定积分解决曲线围成的平面图形的面积；2. 了解定积分的几何意义及微积分的基本定理；3. 会用定积分解决简单实际问题，在解决问题的过程中体会定积分的价值；4. 求变速直线运动的路程、变力做功等物理问题基础知识·基本技能名师解题基础知识1 求平面图形的面积由定积分的概念知：求曲边梯形的面积

2、由三条直线，轴及一条曲线围成的曲边梯的面积s=。(1)若在a,b上>0则(2) 若在a,b上<0则利用定积分求平面图形的面积的步骤如下：第一步：画出图形，确定图形范围第二步：解方程组求出图形交点坐标，确定积分上、下限第三步：确定被积函数，注意分清函数图形的上、下位置第四步：计算定积分，求出平面图形面积基础知识2变力作功一物体在恒力F（单位：N）的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移（单位：m)，则力F所作的功为W=Fs。如果物体在变力 F(x）的作用下做直线运动，并且物体沿着与 F (x) 相同的方向从x =a 移动到x=b (a<b) ，与求曲边梯形的面积和求变速

3、直线运动的路程一样，可以用“四步曲”解决变力作功问题可以得到 基础知识3 求变速直线运动的路程我们知道一物体以速度v在时间t内做匀速直线运动，物体所经过的路程s=vt；作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即 基本技能4由两条曲线围成的图形的面积由两条曲线与直线所围成的曲边梯形的面积：。则则。即有两条曲线围成的图形的面积等于在x的区间上，上方的曲线函数减去下方的函数，若两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积分的区间可加性性质分段求解。两条或两条以上曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点

4、的坐标，确定积分上、下限。基础知识1 求由抛物线与直线及所围成图形的面积.解析：作出及的图形如右：解方程组 得解方程组 得所求图形的面积 =基础知识2 例2.一弹簧在弹性限度内，拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度成正比，如果的力能使弹簧伸长，求把弹簧从平衡位置拉长（在弹性限度内）时所做的功。解析：由正比例关系，再结合“如果的力能使弹簧伸长”可以求出具体地函数式，即得到了拉伸弹簧所用的力与弹簧伸长的长度之间的关系。因此：解：设拉伸弹簧所用的力为，弹簧伸长的长度为，则，由时，即，得，那么由变力作功公式，得；故把弹簧从平衡位置拉长时所做的功为；点拨：本题的求解有两个步骤，其一是求函数的解析式；其二是求

5、变力所作的功；两个步骤缺一不可，而前一个步骤又是容易忽略的。基础知识3例3.物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）解析：属于变速直线运动，应该用定积分的物理意义来解。解：设A追上B时,所用的时间为依题意有 即 =5 (s) 所以 =130 (m) 基本技能4例4. 求由曲线与，所围成的平面图形的面积。解析：画准函数图象，明确函数图像的相对位置关系。两曲线的相对位置关系在不同的区间上不一样，需要利用定积分的区间可加性性质分段求解。综合方法&

6、#183;解题能力名师解题综合方法3 定积分法求物体变速运动的路程由定积分的物理意义知作变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v (t) ( v(t) 0) 在时间区间a,b上的定积分，即，注意正确求解积分的上下限。路程的微分是速度，速度的积分是路程；速度的微分是加速度，加速度的积分是速度；并能进一步体会微分与积分互逆运算关系。综合方法4 方程的思想 定积分的运算公式：微积分基本定理知定积分的结果是一个关于的原函数的代数式。若积分上限或下限不确定则定积分的结果便可以看成一个关于以积分上限或下限的未知量为变量的一个函数。解题能力5巧选积分变量由定积分的几何意义表示直线x=a,x=b

7、(ab)，y=0和曲线所围成的曲边梯形的面积.同样定积分表示直线y=a,y=b(ab)，x=0和曲线所围成的曲边梯形的面积. 曲线所围成的曲边梯形的面积可以看成对x求积分，也可以看作曲线所围成的曲边梯形的面积可以看成对y求积分.利用这种思路在求平面图形面积时，可以灵活选择积分变量，以使计算简便.对面积而言，不管选用哪种积分变量去积分，面积是不会变的，即定积分的值不会改变.综合方法3 例5.列车以72km/h的速度行驶，当制动时列车获得加速度，问列车应在进站前多长时间，以及离车站多远处开始制动？解析：因列车停在车站时，速度为，故应先求速度的表达式，之后令，求出，再据和应用定积分计算出路程. 解：

8、已知列车的速度，列车制动时获得的加速度设列车由开始制动到经过秒后的速度为，则令得（s）设列车由开始制动到停止时所走过的路程为，则有（m）列车应在到站前50s，离车站500m处开始制动方法点拨：利用定积分由加速度求出物体运动的速度是关键。在本题中两次使用定积分物理意义不同，应细心体会.综合方法4 例6.在曲线（x0）上某一点A处作一切线使之与曲线以及x轴所围的面积为。试求：（1）切点A的坐标；（2）过切点A的切线方程。解析：设出切点A的坐标，利用导数的几何意义，写出切线方程，然后利用定积分求出所围成平面图形的面积，从而确定切点A的坐标，使问题解决。解：如图，设切点A（），由2x，过A点的切线方程

9、为yy2x（xx）,即y2xxx。令y0,得x=。即C（，0）。设由曲线和过A点的切线及x轴所围成图形的面积为S，SSS。S，SBC·AB（x）·xx，即：Sxxx。所以x=1，从而切点A（1,1）,切线方程为y=2x1。方法点拨：本题将导数与定积分联系起来，设出切点坐标将定积分运算后运用方程的思想求解。解题的关键是求出曲线三角形AOC的面积。解题能力5例7求由与直线所围成图形的面积分析：本题初看象是课本中的例题，但仔细分析才发现与课本中的例题有区别，这个阴影部分在轴的下方还有一部分，该如何是好？解法一：由或先看在上的阴影部分，此时我们可以仅计算轴上方的面积，然后再两倍即可

10、；再看另一部分是两函数的差。于是阴影部分的面积解法二：图中的阴影部分，如果从的角度看，它正好是两个图形之差构成的，于是阴影部分的面积能力点拨：两种思路比较可以发现，第二种思路的求解过程要简单的多。它告诉我们在使用“被积函数”时有灵活性，它不是不变的。合理的选择积分变量，可以使计算简便，对求解过程的优化作用很大。例8. 例5.已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0围成的平面图形的面积为，求a的值分析：根据a的取值的不同分类讨论，通过解方程求解解析：由已知可得或或解得或或 ,得a=-1或a=2， a=-1或a=2为所求 点评：(1)使用定积分考虑面积问题要注意面积S=. (2)方程和

11、不等式以及函数的思想在求参数问题时经常用到能力点拨： 本题不易直接判断，可通过判断它的逆否命题来间接判断。同时“或”“且”的变化。是这个问题的关键点。能力拓展·知识迁移名师解题能力拓展5 利用对称性简化做题在求平面图形面积时，注意利用函数的奇偶性等所对应曲线的对称性解题，也是简化计算过程的常用手段. 能力拓展6 生活当中逻辑学课本同源7 命题的真假问题题目：能力拓展5 例9 求由三条曲线所围图形的面积. 解析：如图2，因为是偶函数，根据对称性，只算出轴右边的图形的面积再两倍即可解方程组和得交点坐标方法二：可以选择y为积分变量，求解过程请同学们自己完成.拓展点拨：对称性的应用和积分变量

12、的选取都影响着计算过程的繁简程度.能力拓展6 例10. 三、分割计算例3求由抛物线及其在点和点处两条切线所围成的图形的面积 解析：由，得，过点的切线方程为；，过点的切线方程为又可求得两切线交点的横坐标为，故所求面积点评：本题求图形的面积，适当的分割是关键，故求出两切线交点，过交点作x轴垂线，将图形分割成两部分，分别用定积分求解.同学们应注意掌握这种分割的处理方法. 拓展点拨：生活中，我们处处都有逻辑，处处都有数学，所以我们要用心去体会，例题11. 汽车每小时54公里的速度行驶，到某处需要减速停车，设汽车以等减速度3米/秒刹车，问从开始刹车到停车，汽车走了多少公里？【解题思路】汽车刹车过程是一个

13、减速运动过程，我们可以利用定积分算出汽车在这个过程中所走过的路程，计算之前应先算出这一过程所耗费的时间和减速运动变化式.解析：由题意，千米/时米/秒，令得153t=0，t=5，即5秒时，汽车停车.所以汽车由刹车到停车所行驶的路程为公里答：汽车走了0.0373公里.【名师指引】tvaboV=v(t)若作变速直线运动的物体的速度关于时间的函数为，由定积分的物理意义可知，作变速运动物体在时间内的路程s是曲边梯形（阴影部分）的面积，即路程；如果时，则路程.拓展点拨：这实质是利用原命题与逆否命题具有相同的真假性做出判断的。课本同源7 例7同源点拨：以命题的真假判断为载体考查向量。高考真题·探究

14、借鉴考题.从如图所示的长方形区域内任取一个点M(x，y)，则点M取自阴影部分部分的概率为解析：长方形区域的面积为3，阴影部分部分的面积为，所以点M取自阴影部分部分的概率为考题2 7（2011年湖南高考）由直线x，x，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为()A. B1 C. D.答案：D 解析：根据定积分的简单应用相关的知识可得到：由直线x，x，y0与曲线ycosx所围成的封闭图形的面积为：S，故选D.考题3即学即练· 巩固提升 151求曲线yx2与yx所围成的图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dx CS(y2y)dy DS(y)dy答案：B 解析：

15、将曲线yx2与yx联立方程组，得x0或x1.结合图象可知，选项B成立2已知函数yx2与ykx(k0)的图象所围成的阴影部分的面积为，则k等于()A2 B1 C3 D4答案：C 解析：由消去y得x2kx0，所以x0或xk，则阴影部分的面积为 (kxx2)dx.即k3k3，解得k3.故选C.6一物体在力F(x)(单位：N)的作用下沿与力F相同的方向，从x0处运动到x4(单位：m)处，则力F(x)作的功为()A44 B46 C48 D50答案：B 解析：WF(x)dx10dx(3x4)dx 10x3求曲线yx2与yx所围成图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dx CS(y2

16、y)dy DS(y)dy答案：B 解析：将曲线yx2与yx联立方程组，得x0或x1.结合图象可知，选项B成立7一物体以初速度v9.8t6.5米/秒的速度自由落下，则下落后第二个4 s内经过的路程是_答案：261.2米 解析：48(9.8t6.5)4.9t26.5t|48 4.9×646.5×84.9×166.5×4313.65278.426261.2.4(2010·广州模拟)设f(x)则f(x)dx等于()A. B. C. D不存在答案：C 解析：本题应画图求解，更为清晰，如图，f(x)dxx2dx(2x)dxx3|01(2xx2)|12(42

17、2).1求曲线yx2与yx所围成的图形的面积，其中正确的是()AS(x2x)dx BS(xx2)dx CS(y2y)dy DS(y)dy答案：B 解析：将曲线yx2与yx联立方程组，得x0或x1.结合图象可知，选项B成立2.如果1N能拉长弹簧1cm，为了将弹簧拉长6cm，需做功（ A ） A 0.18J B 0.26J C 0.12J D 0.28J答案：A 解析：设，则由题可得，所以做功就是求定积分。4函数f(x)2x27x6与函数g(x)x的图象所围成的封闭图形的面积为()A. B2 C. D3答案：C 解析：y2x27x6与yx联立方程组，得交点的横坐标为1,3，结合图象可知(x32x2

18、3x)x24x3，S(2x27x6x)dx2(x24x3)dx2(9189)(23).求在上，由轴及正弦曲线围成的图形的面积.解析：因为在上，其图象在轴上方；在上，其图象在轴下方，此时定积分为图形面积的相反数，应加绝对值才表示面积.解：作出在上的图象如右 与轴交于0、，所求积曲线和在它们交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积。解：曲线和在它们的交点坐标是(1，1)，两条切线方程分别是y=x+2和y=2x1，它们与轴所围成的三角形的面积是。18、物体A以速度在一直线上运动，在此直线上与物体A出发的同时，物体B在物体A的正前方5m处以的速度与A同向运动，问两物体何时相遇？相遇时物体A的走过的路程是

19、多少？（时间单位为：s，速度单位为：m/s）解：设A追上B时,所用的时间为依题意有 即 =5 (s) 所以 =130 (m)13两地相距50m，质点从以速度朝做直线运动，同时质点从以速度朝做直线运动，问两质点将在何时何地相遇？解：设两质点在时相遇，且距地，则有，即，即，解得答：两质点将在时相遇，此时距地为（1）弄清定积分与导数之间的关系问题1.一物体按规律做直线运动，式中为时间t内通过的距离，媒质的阻力与速度的平方成正比（比例常数为），试求物体由运动到时，阻力所做的功.解析：要求变力所做的功，必须先求出变力对位称的变化函数，这里的变力即媒质阻力，然后根据定积分可求阻力所做之功.解因为物体的速度

20、所以媒质阻力当时，当时，阻力所做功例3A、B两站相距7.2km，一辆电车从A站B开往站，电车开出ts后到达途中C点，这一段的速度为1.2t(m/s)，到C点的速度为24m/s，从C点到B点前的D点以等速行驶，从D点开始刹车，经ts后，速度为（24-1.2t）m/s，在B点恰好停车，试求（1）A、C间的距离；（2）B、D间的距离；（3）电车从A站到B站所需的时间。分析：作变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数v=v(t)(v(t)0)在时间区间a,b上的定积分,即略解：（1）设A到C的时间为t1则1.2t=24, t1=20(s),则AC（2）设D到B的时间为t21则24-1.2t2=

21、0, t21=20(s),则DB（3）CD=7200-2240=6720(m),则从C到D的时间为280(s),则所求时间为20+280+20=320（s）二、求由两条曲线和直线所围成图形的面积例2.求曲线y=ex ,y=e-x及x=1所围成的图形面积分析 根据条件作出图形，由曲线方程解出积分上、下限，利用图形确定被积函数，利用定积分求出面积解析 作图,并由,解得交点(0,1) 所求面积为点评：两条或两条以上曲线围成的图形，一定要确定图形范围，通过解方程组求出交点的坐标，确定积分上、下限12求由抛物线与直线及所围成图形的面积解：设所求图形面积为，则即所求图形面积为16（12分）求曲线与轴所围成

22、的图形的面积16解：首先求出函数的零点：，.又易判断出在内，图形在轴下方，在内，图形在轴上方，所以所求面积为11(12分)求由曲线y，y2x，yx围成图形的面积解析：解方程组：及及得交点(1,1)，(0,0)，(3，1)S(x)dx(2x)(x)dx(x)dx(2xx)dx(xx2)|01(2xx2x2)|13(2xx2)|136×92×1×12.18（12分）一物体按规律xbt3作直线运动，式中x为时间t内通过的距离，媒质的阻力正比于速度的平方试求物体由x0运动到xa时，阻力所作的功18解：物体的速度媒质阻力，其中k为比例常数，k>0当x=0时，t=0；当

23、x=a时，又ds=vdt，故阻力所作的功为19（14分）设y=f（x）是二次函数,方程f（x）=0有两个相等的实根，且f（x）=2x+2.（1）求y=f（x）的表达式；（2）求y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积.（2）若直线x=t（0t1把y=f（x）的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值.19解：（1）设f（x）=ax2+bx+c，则f（x）=2ax+b，又已知f（x）=2x+2a=1，b=2.f（x）=x2+2x+c又方程f（x）=0有两个相等实根，判别式=44c=0，即c=1.故f（x）=x2+2x+1.（2）依题意，有所求面积=.（3）依题意，有，t3+t2t+=t

24、3t2+t，2t36t2+6t1=0，2（t1）3=1，于是t=1.评述：本题考查导数和积分的基本概念.20如图所示，求抛物线和过它上面的点的切线的垂线所围成的平面图形的面积解：由题意令，所以过点且垂直于过点的抛物线的切线的直线的斜率为其方程为即与抛物线方程联立消去，得，解得或又，所以所求平面图形的面积为3.求曲线与直线所围成的图形的面积解：如图，先求出直线与曲线的交点，由方程组解得故交点坐标为因此，积分区间应分为两部分，且由图象的对称性知，图形在两个积分区间上面积相等故评注：本解法充分利用图形的对称性，减少了运算量.20（14分）抛物线y=ax2bx在第一象限内与直线xy=4相切此抛物线与x

25、轴所围成的图形的面积记为S求使S达到最大值的a、b值，并求Smax20解 依题设可知抛物线为凸形，它与x轴的交点的横坐标分别为x1=0，x2=b/a，所以(1)又直线xy=4与抛物线y=ax2bx相切，即它们有唯一的公共点，由方程组得ax2(b1)x4=0，其判别式必须为0，即(b1)216a=0于是代入（1）式得：，；令S'(b)=0；在b0时得唯一驻点b=3，且当0b3时，S'(b)0；当b3时，S'(b)0故在b=3时，S(b)取得极大值，也是最大值，即a=1，b=3时，S取得最大值，且例5设点P在曲线上，从原点向A(2，4)移动，如果直线OP、曲线及直线x=2所

26、围成的面积分别记为、(1)当时，求点P的坐标；(2)当有最小值时，求点P的坐标和此时的最小值剖析(1)问题的关键在于P点的位置，因而设P点的坐标，建立直线OP的方程，求出与，由条件即可解出点P的坐标对(2)只要建立起的目标函数，利用导数来求最小值即可。解(1)设点P的横坐标为t(O<t<2)，则，直线OP的方程为：y=tx，。，所以，得，点P的坐标为。（2）设，令S=0 得 ，0<t<2，时，S<0，时，S>0，所以，当时，因此，当点P坐标为(，2)时，有最小值警示本题主要小结利用定积分求曲边梯形面积的方法，前后知识融会贯通是解决这类综合题的基础 例6已知y

27、=ax3+bx通过点（1,2），与y=x2+2x有一个交点x1，且a<0。（1）求y=ax3+bx与y=x2+2x所围的面积S。（2）a,b为何值时，S取得最小值。剖析先利用定积分求出，然后借助于导数求解最大值与最小值。解（1）按题意，x=1时y=2，故a+b=2,即b=2a,从而y=ax3+bxa(x2-x)+2x与y=x2+2x有交点0及，按条件a<0，x1>0,由此可得1a<0,即a<1。从上所述y=ax3+bx与y=x2+2x所围的面积S为（2）求出导数，不难看出在上0，在（3，1）上0因此在上S（a）在点x=3处取得最小值，这时b=2a=5，最小值S（3

28、）。警示定积分是最新的内容，与实际问题紧密结合，是大学内容的下放，所以肯定是高考中的重点，而且有可能与其它知识点结合出综合题，因此在复习时应注意。基础巩固题：75. 若1 N的力能使弹簧伸长1 cm，现在要使弹簧伸长10 cm，则需要花费的功为(B)A0.05 J B0.5 J C0.25 J D1 J解析：设力Fkx(k是比例系数)，当F1 N时，x0.01 m，可解得k100 N/m，则F100x，所以W100xdx50x20.5 J.9如图，由曲线yx2和直线yt2(0<t<1)，x1，x0所围成的图形(阴影部分)的面积的最小值是_答案： 解析：S(t)(t2x2)dx(x2

29、t2)dxt3t2，S(t)2t(2t1)0，得t为最小值点，此时S(t)min.12(13分)设yf(x)是二次函数，方程f(x)0有两个相等的实根，且f(x)2x2.(1)求yf(x)的表达式；(2)若直线xt(0<t<1)把yf(x)的图象与两坐标轴所围成图形的面积二等分，求t的值解析：(1)设f(x)ax2bxc(a0)，则f(x)2axb，由已知f(x)2x2，所以a1，b2，所以f(x)x22xc.又方程f(x)0有两个相等的实根所以44c0，即c1.所以f(x)x22x1.(2)依题意知：(x22x1)dxt(x22x1)dx.所以(x3x2x)|1t(x3x2x)|

30、t0所以t3t2tt3t2t，所以2t36t26t10.即2(t1)310.于是t1.答案：A 解析：.强化提高题：13 13如图，设点P从原点沿曲线yx2向点A(2,4)移动，记直线OP、曲线yx2及直线x2所围成的面积分别记为S1，S2，若S1S2，则点P的坐标为_答案：(，)解析：设直线OP的方程为ykx, P点的坐标为(x，y)，则(kxx2)dx(x2kx)dx，即(kx2x3)(x3kx2)，解得kx2x32k(x3kx2)，解得k，即直线OP的方程为yx，所以点P的坐标为(，)12如图所示，抛物线y4x2与直线y3x的两交点为A、B，点P在抛物线上从A向B运动(1)求使PAB的面积最大的P点的坐标(a，