安徽省淮北一中高二下第一次质检数学试题理科

1、2014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）一、选择题（本大题共50分，单项选择）1已知复数Z1=cos23°+isin23°和复数Z2=sin53°+isin37°，则Z1Z2=（）A B C D 2已知a，bR+，则“（a1）（b1）0”是“logab0”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件3过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x3y=16，那么P点坐标可能为（）A （1，）B （2，）C （1，）D （3，）4设点G是ABC的重心，若A=120°，则的最小值是（）A

2、B C D 5若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A f（x）=ex1B f（x）=ln（x+1）C f（x）=sinxD f（x）=tanx6在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）A B C D 7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A xR，f（x）=0B 函数y=f（x）的图象是中心对称图形C 若x是f（x）的极小值点，则f（x）在区间（，x）单调递减D 若x是f（x）的极值点，则f（x）=0

3、8设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，若=+（，R），=，则双曲线的离心率为（）A B C D 9设等差数列an满足：，公差若当且仅当n=11时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A B C D 10已知f（x）=ex，xR，ab，记A=f（b）f（a），B=（ba）（f（a）+f（b），则A，B的大小关系是（）A ABB ABC ABD AB二、填空题（25分，每小题5分）11已知向量=（1，1），=（1，）（x0，y0），若，则x+4y的最小值为12已知点F为

4、抛物线y=2x2的焦点，点A为椭圆4x2+3y2=1的右顶点，则|AF|=13将全体正整数自小到大一个接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是14定义：如果函数y=f（x）在区间上存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=，则称函数y=f（x）在区间上是一个双中值函数，已知函数f（x）=+a是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是15设二次函数g（x）的图象在点（m，g（m）的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）h（x）则下面说法正确的有：存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；f（x）在x=m处取得极小值；f（x）在x=m处取得极

5、大值；不等式的解集非空；直线 x=m一定为函数f（x）图象的对称轴三、解答题（本大题共75分）1）已知a，b，c0且a+b+c=1，求证：；（2）已知nN*，求证：17已知公比q不为1的等比数列an的首项，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN+，在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn18如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧设|PH|=t，APH的面积为f（t）（）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（）求函

6、数f（t）的最大值19已知数列an，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（nN*）（）求证：数列an+为等比数列；（）记Tn=S1+S2+Sn，求Tn的表达式20已知双曲线C：=1（a0，b0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线AP、AQ分别与直线x=交于M、N两点，求证：MF2NF2；（3）是否存在常数，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由21已知函数f（x）=lnxmx2，g（x）=+x，mR令

7、F（x）=f（x）+g（x）（）当m=时，求函数f（x）的单调递增区间；（）若关于x的不等式F（x）mx1恒成立，求整数m的最小值；（）若m=2，正实数x1，x2满足F（x1）+F（x2）+x1x2=0，证明：x1+x22014-2015学年安徽省淮北一中高二（下）第一次质检数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共50分，单项选择）1已知复数Z1=cos23°+isin23°和复数Z2=sin53°+isin37°，则Z1Z2=（）A B C D 考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：化sin53°为cos37&

8、#176;，展开后结合两角和与差的三角函数化简求值解答：解：Z1=cos23°+isin23°，Z2=sin53°+isin37°，则Z1Z2=（cos23°+isin23°）（sin53°+isin37°）=（cos23°+isin23°）（cos37°+isin37°）=（cos23°cos37°sin23°sin37°）+（sin37°cos23°+cos37°sin23°）i=cos60&

9、#176;+isin60°=故选：B点评：本题考查复数代数形式的混合运算，考查两角和与差的三角函数，考查计算能力，是基础题2已知a，bR+，则“（a1）（b1）0”是“logab0”的（）A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充要条件D 既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑分析：根据充分条件和必要条件的定义结合不等式的性质进行判断即可解答：解：a，bR+，若（a1）（b1）0，则或，此时都有logab0成立，若logab0，则当a1是，b1，当0a1，则0b1，此时（a1）（b1）0成立，即“（a1）（b1）0”是“logab0”的充要条件，故

10、选：C点评：本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的性质是解决本题的关键3过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x3y=16，那么P点坐标可能为（）A （1，）B （2，）C （1，）D （3，）考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：导数的综合应用分析：设出P点坐标，求出函数在P点处的导数值，即直线l的斜率，再由点P在曲线和直线上得到关于P点横坐标的另一方程，联立可求P的坐标解答：解：设P（），由y=，得y=x2过曲线y=上的点P的切线l的方程为12x3y=16，解得：x0=2P点坐标可能为故选：B点评：本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，曲线过某点处的切线的斜率，就是该点

11、处的导数值，是中档题4设点G是ABC的重心，若A=120°，则的最小值是（）A B C D 考点：基本不等式；向量在几何中的应用专题：计算题；平面向量及应用分析：先利用数量积公式，求得，再利用G是ABC的重心，可得，进而利用基本不等式，即可求得结论解答：解：A=120°，G是ABC的重心，=故选B点评：本题考查数量积公式，考查向量的运算，考查基本不等式的运用，属于中档题5若函数y=f（x）图象上的任意一点P的坐标（x，y）满足条件|x|y|，则称函数f（x）具有性质S，那么下列函数中具有性质S的是（）A f（x）=ex1B f（x）=ln（x+1）C f（x）=sinxD

12、f（x）=tanx考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：根据性质S的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|y|内即可解答：解：要使函数具有性质S，则对应的函数图象都在区域|x|y|内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f（x）=sinx，故选：C点评：本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法，本题也可以通过特殊值法进行排除6在ABC，内角A，B，C所对的边长分别为a，b，casinBcosC+csinBcosA=b，且ab，则B=（）A B C D 考点：正弦定理；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：利用正

13、弦定理化简已知的等式，根据sinB不为0，两边除以sinB，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出sinB的值，即可确定出B的度数解答：解：利用正弦定理化简已知等式得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB，sinB0，sinAcosC+sinCcosA=sin（A+C）=sinB=，ab，AB，即B为锐角，则B=故选A点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键7已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c，下列结论中错误的是（）A xR，f（x）=0B 函数y=f（x）的图象是中心对称图形C 若x是f（x）的极小值点，则

14、f（x）在区间（，x）单调递减D 若x是f（x）的极值点，则f（x）=0考点：函数在某点取得极值的条件；命题的真假判断与应用专题：导数的综合应用分析：利用导数的运算法则得出f（x），分0与0讨论，列出表格，即可得出解答：解：f（x）=3x2+2ax+b（1）当=4a212b0时，f（x）=0有两解，不妨设为x1x2，列表如下 x（，x1）x1（x1，x2）x2（x2，+）f（x）+00+f（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增由表格可知：x2是函数f（x）的极小值点，但是f（x）在区间（，x2）不具有单调性，故C不正确+f（x）=+x3+ax2+bx+c=，=，+f（x）=，点P为对称中心

15、，故B正确由表格可知x1，x2分别为极值点，则，故D正确x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）=0，故A正确（2）当0时，故f（x）在R上单调递增，此时不存在极值点，故D正确，C不正确；B同（1）中正确；x时，f（x）；x+，f（x）+，函数f（x）必然穿过x轴，即xR，f（x）=0，故A正确综上可知：错误的结论是C由于该题选择错误的，故选：C点评：熟练掌握导数的运算法则、中心得出的定义、单调性与极值的关系等基础知识与方法，考查了分类讨论的思想方法等基本方法8设双曲线=1（a0，b0）的右焦点为F，过点F作与x轴垂直的直线l交两渐近线于A，B两点，且与双曲

16、线在第一象限的交点为P，设O为坐标原点，若，若=+（，R），=，则双曲线的离心率为（）A B C D 考点：双曲线的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：由方程可得渐近线，求出A，B，P的坐标，由已知向量式建立，的关系，由=可得a，c的关系，由离心率的定义可得解答：解：双曲线=1的渐近线为：y=±x，设焦点F（c，0），则A（c，），B（c，），P（c，），=+，（c，）=（+）c，（），+=1，=，解得=，=，又由=，得×=，解得=，e=，即双曲线的离心率为，故选：A点评：本题考查双曲线的简单性质，涉及双曲线的离心率的求解，根据条件求出，A，B，P的坐标是解决本题

17、的关键属中档题9设等差数列an满足：，公差若当且仅当n=11时，数列an的前n项和Sn取得最大值，则首项a1的取值范围是（）A B C D 考点：等差数列的前n项和专题：等差数列与等比数列分析：利用三角函数的倍角公式、积化和差与和差化积公式化简已知的等式，根据公差d的范围求出公差的值，代入前n项和公式后利用二次函数的对称轴的范围求解首项a1取值范围解答：解：由，得=sin（a2a7）=sin（5d）=1sin（5d）=1d（，0），5d（，0），则5d=，d=由Sn=na1+=na1=+（a1+）n对称轴方程为n=（a1+），由题意当且仅当n=11时，数列an的前n项和Sn取得最大值，（a1+

18、），解得：a1首项a1的取值范围是（，）故选：D点评：本题考查了等差数列的通项公式，考查了三角函数的有关公式，考查了等差数列的前n项和，训练了二次函数取得最值得条件，考查了计算能力10已知f（x）=ex，xR，ab，记A=f（b）f（a），B=（ba）（f（a）+f（b），则A，B的大小关系是（）A ABB ABC ABD AB考点：指数函数单调性的应用专题：计算题分析：利用特殊值验证，推出A，B的大小，然后利用反证法推出A=B不成立，得到结果解答：解：考查选项，不妨令b=1，a=0，则A=e1，B=（e+1）e3，2e2e+1e1（e+1）即AB排除A、B选项若A=B，则ebea=（ba）（

19、eb+ea），整理得：（2b+a）eb=（ba+2）ea观察可得a=b，与ab矛盾，排除D故选：C点评：本题考查函数的单调性的应用，选择题的解法，如果常用直接法，解答本题难度比较大考查学生灵活解题能力二、填空题（25分，每小题5分）11已知向量=（1，1），=（1，）（x0，y0），若，则x+4y的最小值为9考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：根据，得到x+y=xy，由x+4y4结合“=”成立的条件，求出此时x，y的值，从而得到答案解答：解：，（x0，y0），=1+=0，+=1，x+4y=（x+4y）（+）=1+45+2=9，当且仅当=即x2=4y2时“=”成立，故答案为：9点

20、评：本题考查了平面向量数量积的运算，考查了基本不等式的性质，是一道基础题12已知点F为抛物线y=2x2的焦点，点A为椭圆4x2+3y2=1的右顶点，则|AF|=考点：椭圆的简单性质专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：根据抛物线和椭圆的性质，分别求出A，F两点的坐标，代入两点之间距离公式，可得答案解答：解：抛物线y=2x2的标准方程为：x2=，故抛物线y=2x2的焦点为F（0，），椭圆4x2+3y2=1的标准方程为：，故椭圆4x2+3y2=1的右顶点为A（，0），|AF|=，故答案为：点评：本题考查的知识点是抛物线和椭圆的性质，两点之间距离公式，难度不大，属于基础题13将全体正整数自小到大一个

21、接一个地顺次写成一排，如第11个数字是0，则从左至右的第2015个数字是0考点：计数原理的应用专题：排列组合分析：分类讨论，全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据2×90=180个数位，接下来是顺次排列的三位数，从而可得结论解答：解：全体一位数共占据9个数位，全体两位数共占据2×90=180个数位，接下来是顺次排列的三位数，由于20159180=1826，而=6082，因608+99=707，从左至右的第2015个数字是708的第二个数字，则从左至右的第2015个数字是0，故答案为：0点评：本题考查计数原理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题14定义：如果函数

22、y=f（x）在区间上存在x1，x2（ax1x2b），满足f（x1）=，则称函数y=f（x）在区间上是一个双中值函数，已知函数f（x）=+a是区间上的双中值函数，则实数a的取值范围是（，3）考点：利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：先求出函数f（x）的导数，问题转化为：方程在区间有两个解，解不等式组解出即可解答：解：由题意可知，在区间上存在x1，x2（0x1x2a），满足，f（x）=x22x，方程在区间有两个解，令，则，解得：，故答案为：点评：本题考查了二次函数的性质，考查导数的应用，解不等式问题，理解所给 定义是解题的关键，本题是一道中档题15设二次函数g（x）的图象在点（m，g

23、（m）的切线方程为y=h（x），若f（x）=g（x）h（x）则下面说法正确的有：存在相异的实数x1，x2使f（x1）=f（x2）成立；f（x）在x=m处取得极小值；f（x）在x=m处取得极大值；不等式的解集非空；直线 x=m一定为函数f（x）图象的对称轴考点：二次函数的性质；命题的真假判断与应用专题：函数的性质及应用；推理和证明分析：设g（x）=ax2+bx+c，（a0）然后求出在点（m，g（m）的切线方程为y=h（x），从而得到f（x）的解析式，根据二次函数的性质可得结论解答：解：设g（x）=ax2+bx+c，（a0）则g（x）=2ax+b，g（m）=2am+b则在点（m，g（m）的切线方程

24、为 h（x）g（m）=（2am+b）（xm），即 h（x）=（2am+b）xam2+c，f（x）=ax2+bx+c（2am+b）x+am2c=ax22amx+am2=a（xm）2，f（x）是二次函数，关于x=m对称，故正确；当x1，x2关于x=m对称时，f（x1）=f（x2）成立，故正确；当a0时，在x=m处取得极大值，故不正确； 当a0时，在x=m处取得极小值，故不正确；x=m时f（x）=0，满足|f（x）|，故正确；故答案为：点评：本题考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，等差数列的性质，体现了转化的数学思想三、解答题（本大题共75分）1）已知a，b，c0且a+b+c=1，

25、求证：；（2）已知nN*，求证：考点：不等式的证明专题：点列、递归数列与数学归纳法；不等式的解法及应用分析：（1）运用构造向量法，设=（1，1，1），=（，），由|，计算即可得证；（2）运用数学归纳法证明，注意解题步骤，当n=k+1时，要证的目标是，当代入归纳假设后，就是要证明：解答：证明：（1）设=（1，1，1），=（，），则|=，|=，由|，可得+3；（2）当n=1时，左边=1，右边=2左边右边，不等式成立假设n=k时，不等式成立，即那么当n=k+1时，这就是说，当n=k+1时，不等式成立由、可知，原不等式对任意自然数n都成立点评：本题考查不等式的证明，考查构造向量法和数学归纳法的证明，属

26、于中档题17已知公比q不为1的等比数列an的首项，前n项和为Sn，且a4+S4，a5+S5，a6+S6成等差数列（1）求数列an的通项公式；（2）对nN+，在an与an+1之间插入n个数，使这n+2个数成等差数列，记插入的这n个数的和为bn，求数列bn的前n项和Tn考点：数列的求和；等比数列的通项公式专题：等差数列与等比数列分析：（I）通过2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6化简得2q23q+1=0，进而计算可得结论；（II）通过bn=n，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法计算即得结论解答：解：（I）由题可知：2（a5+S5）=a4+S4+a6+S6，化简得：2a63a5+a4=0，2

27、q23q+1=0，解得：q=或q=1（舍），an=；（II）依题意bn=n，两式相减得：=（n），Tn=（1）点评：本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题18如图，已知点A（11，0），函数的图象上的动点P在x轴上的射影为H，且点H在点A的左侧设|PH|=t，APH的面积为f（t）（）求函数f（t）的解析式及t的取值范围；（）求函数f（t）的最大值考点：导数在最大值、最小值问题中的应用专题：计算题；导数的概念及应用分析：（ I）SAPH=PH×AH其中AH=OAOH，OH等于P的横坐标，P的纵坐标即为|PH|=t，利用函数解析式可求OH得出面积

28、的表达式（ II）由（ I），面积为利用导数工具研究单调性，求出最值解答：解：（ I）由已知可得，所以点P的横坐标为t21，因为点H在点A的左侧，所以t2111，即由已知t0，所以，所以AH=11（t21）=12t2，所以APH的面积为（ II），由f'（t）=0，得t=2（舍），或t=2函数f（t）与f'（t）在定义域上的情况如右图：所以当t=2时，函数f（t）取得最大值8点评：本题考查了函数的综合应用，其中有利用导数来求函数在某一区间上的最值问题，属于中档题19已知数列an，Sn是其前n项的和，且满足3an=2Sn+n（nN*）（）求证：数列an+为等比数列；（）记Tn=S

29、1+S2+Sn，求Tn的表达式考点：数列的求和；等比关系的确定专题：等差数列与等比数列分析：（）由3an=2Sn+n，类比可得3an1=2Sn1+n1（n2），两式相减，整理即证得数列an+是以为首项，3为公比的等比数列；（）由（）得an+=3nan=（3n1），Sn=，分组求和，利用等比数列与等差数列的求和公式，即可求得Tn的表达式解答：（）证明：3an=2Sn+n，3an1=2Sn1+n1（n2），两式相减得：3（anan1）=2an+1（n2），an=3an1+1（n2），an+=3（an1+），又a1+=，数列an+是以为首项，3为公比的等比数列；（）解：由（）得an+=3n1=3n，

30、an=3n=（3n1），Sn=（n）=，Tn=S1+S2+Sn=（32+33+3n+3n+1）（1+2+n）=点评：本题考查数列的求和，着重考查等比关系的确定，突出考查分组求和，熟练应用等比数列与等差数列的求和公式是关键，属于难题20已知双曲线C：=1（a0，b0），F1、F2分别是它的左、右焦点，A（1，0）是其左顶点，且双曲线的离心率为e=2设过右焦点F2的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内（1）求双曲线的方程；（2）若直线AP、AQ分别与直线x=交于M、N两点，求证：MF2NF2；（3）是否存在常数，使得PF2A=PAF2恒成立？若存在，求出的值，若不存在，请说

31、明理由考点：直线与圆锥曲线的综合问题专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（1）由题可知：a=1由于，可得c=2再利用b2=c2a2即可（2）设直线l的方程为：x=ty+2，另设：P（x1，y1）、Q（x2，y2）联立，可得根与系数的关系又直线AP的方程为，解得M同理解得N只要证明=0即可（3）当直线l的方程为x=2时，解得P（2，3）易知此时AF2P为等腰直角三角形，可得：=2当AF2P=2PAF2对直线l存在斜率的情形也成立利用正切的倍角公式、斜率计算公式、双曲线的方程、正切函数的单调性即可证明解答：（1）解：由题可知：a=1，c=2b2=c2a2=3，双曲线C的方程为：（2）证明：设直线l的方程为：x