存在性问题归类

1、存在性问题1、 平行四边形（2016本溪26） （2017铁岭）26、（14分）如图，抛物线与x轴的两个交点分别为A（3,0），D（-1,0），与y轴交于点C，点B在y轴正半轴上，且OB=OD。(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，抛物线的顶点为点E，对称轴交x轴于点M，连接BE，AB，请在抛物线的对称轴上找一点Q，使QBA=BEM，求出点Q的坐标；(全等三角形、勾股定理、一次函数）(3)如图2，过点C作CFx轴，交抛物线于点F，连接BF，点G是x轴上一点，在抛物线上是否存在点N，使以点B，F，G，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。（1、BF为边

2、、为对角线；2、抓住一组对边构造全等三角形，其中一个三角形三边是定值）（2017鞍山）26、（14分）如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C。(1)试探究ABC的外接圆的圆心位置，求出圆心坐标；(2)点P是抛物线上一点（不与点A重合），且，求APB的度数；（面积问题：用铅垂线段PQ补形，PBC的面积等于两部分之差，从而把PBC的面积转化为“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半）将求三角形面积问题转化为求水平线段（铅垂线）的长度(3)在（2）的条件下，点E是x轴上方抛物线上一点，点F是抛物线对称轴上一点，是否存在这样的点E和点F，使得以点B，P，E，F为顶点的四边形是平行

3、四边形？若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由。（2015葫芦岛）26、（14分）如图，直线与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线经过B，C两点。（1）求抛物线的解析式；（2）如图，点E是直线BC上方抛物线上的一个动点，当BEC面积最大时，请求出点E的坐标和BEC面积的最大值？（面积问题：用铅垂线段EF分割，BEC的面积变成两部分之和， 从而把BEC的面积转化为“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半）过点E作EFy轴交BC于点F，则 (OC=4)（3）在(2)的结论下，过点E作y轴的平行线交直线BC于点M，连接AM，点Q是抛物线对称轴上的动点，在抛物线上是否存在点P，使得以P，Q，A，M

4、为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（2016营口）26、（14分）如图1，已知ABC的三个顶点坐标分别为A（-1,0），B（3,0），C（0,3）直线BE交y轴正半轴于点E。（1）求经过A，B，C三点的抛物线解析式及顶点D的坐标；（2）连接BD，CD，设，求点E的坐标；(特殊角的三角函数值，相似三角形的判定及性质）（3）如图2，在(2)的条件下，动点M从点C出发以每秒个单位的速度在直线BC上移动（不考虑点M与点C，B重合的情况），点N为抛物线上一点，设点M移动的时间为t秒，在点M移动的过程中，以E，C，M，N四个点为顶点的四边形能否成为平行四边形

5、?若能，直接写出满足条件的t值及点M的个数，若不能，请说明理由。2、 菱形（2014本溪）（2017葫芦岛）如图，抛物线与x轴、y轴分别交于A，B，C三点，已知点A（-2,0），点C（0，-8），点D是抛物线的顶点。（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）如图1，抛物线的对称轴与x轴交于点E，第四象限的抛物线上有一点P，将EBP沿直线EP翻折，使点B的对称点落在抛物线的对称轴上，求点P的坐标；（3）如图2，设BC交抛物线的对称轴于点F，作直线CD，点M是直线CD上的动点，点N是平面内一点，当以点B，F，M，N为顶点的四边形是菱形时，请直接写出点M的坐标。(2)轴对称的性质、等腰直角三角形的

6、性质、函数图像中交点坐标的求法(3)利用边长相等构造全等三角形，其中一个三角形三边长是定值；利用垂直平分线的性质，找到y轴上的一点与两端点距离相等，根据勾股定理用方程法求出交点H的坐标；求出直线GH的解析式，再与直线CD的解析式联立方程组求出点M的坐标。（2017营口）26、（14分）如图，抛物线的对称轴是直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（-2,0），点P为抛物线上的一个动点，过点P作PDx轴于点D，交直线BC于点E。（1）求抛物线的解析式；（2）若点P在第一象限内，当OD=4PE时，求四边形POBE的面积；（3）在(2)的条件下，若点M为直线BC上一点，点N为平面直角

7、坐标系内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以点B，D，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。（2016锦州）26、（14分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点A（-1,0）和点B（3,0），且与y轴交于点C，点D为对称轴与直线BC的交点。（1）求该抛物线的表达式；（2）抛物线上存在点P，使得DPBACB，求点P的坐标；（3）若点Q为点O关于直线BC的对称点，点为直线BC上一点，点N为坐标平面内一点，是否存在这样的点M和点N，使得以Q，B，M，N为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由。（2016眉山）已知如图，在平面

8、直角坐标系xoy中，点A、B、C分别为坐标轴上的三个点，且OA=1，OB=3，OC=4。(1) 求经过点A、B、C三点的抛物线的解析式；(2) 在平面直角坐标系xoy中是否存在一点P，使得以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。(3) 若点M为该抛物线上一动点，在(2)的条件下，请求出当的最大值时点M的坐标，并直接写出的最大值。（3）当点M与点P、A不在同一直线上时，根据三角形三边的关系始终小于PA。当点M与点P、A在同一直线上时，当点M、P、A在同一直线上时，的值最大。3、矩形如图，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C

9、，点D和点C关于抛物线的对称轴对陈，直线AD与y轴相交于点E。（1）求直线AD的解析式；（2）如图，直线AD上方的抛物线上有一点F，过点F作FGAD于点G，作FH平行于x轴交直线AD于点H，求FGH的周长的最大值；(求二次函数最大值)（3）点M是抛物线的顶点，点P是y轴上一点，点Q是坐标平面内一点，以A，M，P，Q为顶点的四边形是以AM为边的矩形，若点T和点Q关于AM所在直线对称，求点T的坐标。（3）利用矩形中的直角构造相似三角形，其中一个三角形三边一定（2017本溪模拟）如图，一次函数的图像与x轴交于点A，与y轴交于点B，二次函数的图像与一次函数的图像交于B、C两点，与x轴交于D、E两点且D

10、点坐标为（1,0）。(1) 求二次函数的解析式；(2) 若抛物线上存在点P，使，求出P点坐标（不与已知点重合）；(3) 在x轴上存在点N，平面内存在点M，使得B、N、C、M为顶点构成矩形，请直接写出M点坐标。（2） 方法:作铅垂线段分割计算方法1：作铅垂线段DF、PG，把BC当底，高DF=PG列等式计算方法2：分别以DF、PG为底，而高都是点C的纵坐标，即“水平宽”与“铅垂高”乘积的一半3、 等腰直角三角形（2017本溪26）（2016丹东）26、如图，抛物线过A（4,0），B（1,3）两点，点C，B关于抛物线的对称轴对称，过点B作直线BHx轴，交x轴于点H。（1）求抛物线的表达式；（2）直接

11、写出点C的坐标，并求出ABC的面积；（3）点P是抛物线上一动点，且位于第四象限，当ABP的面积为6时，求出点P的坐标；（4）若点M在直线BH上运动，点N在x轴上运动，当以点C，M，N为顶点的三角形为等腰直角三角形时，请直接写出此时CMN的面积。(3)面积问题：1、用水平线段PD补形：2、用铅垂线段PQ补形：（2016玉林）如图，抛物线L：与x轴交于A，B（3,0）两点，（A在B的左侧），与y轴交于点C（0,3），已知对称轴，（1）求抛物线L的解析式；（2）将抛物线L向下平移h个单位长度，使平移后所得抛物线的顶点落在OBC内（包括OB的边界），求h的取值范围；（3）设点P是抛物线L上任意一点，点

12、Q在直线上，PBQ能否成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若能，求出符合条件的点P的坐标；若不能，请说明理由。4、 等腰三角形（2013本溪）（2017朝阳）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过两点A（2,4），B（4,4），交x轴正半轴于点C。（1）求抛物线的解析式；（2）过点B作BD垂直于x轴，垂足为点D，连接AB，AD，将ABD以AD为轴翻折，点B的对应点为点E，直线DE交y轴于点P，请判断点E是否在抛物线上，并说明理由。（3）在(2)的条件下，点Q是线段OC（不包含端点）上一动点，过点Q垂直于x轴的直线分别交直线DP及抛物线于点M，N，连接PN，请探究，是否存在点Q，使PMN是以PM

13、为腰的等腰三角形？若存在，请求出点Q的坐标，若不存在，请说明理由。（3） 属于“两动一定”，适合代数法：用代数式分别表示出三边列方程解方程（检验）（2016山西）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，直线经过坐标原点O，与抛物线的一个交点为D，与抛物线的对称轴交于点E，连接CE，已知点A，D的坐标分别为（-2,0），（6，-8）.（1）求抛物线的函数表达式，并分别求出点B和点E的坐标；（2）试探究抛物线上是否存在点F，使FOEFCE?若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若点P是y轴负半轴上的一个动点，设其坐标为（0，m），直线PB与直线

14、交于点Q，试探究：当m为何值时，OPQ是等腰三角形。(3)当OPQ三边无法表示出时，过点E作EFPB，能求出直线EF的解析式，再根据平行线的性质，求出直线PB的解析式，从而求出点P的坐标，即m的值。（2016铁岭）如图，抛物线经过点A(-1,0)和点B(4,0)，且与y轴相交于点C，点D是线段BC上的一个动点（不与点B,C重合），设点D的横坐标为t，过点D作DEy轴交抛物线于点E，点F在DE的延长线上，且EF=DE，过点F作FG直线BC，垂足为点G。（1）求此抛物线的解析式和点C的坐标；（2）设DFG的周长为L，求L和t的函数关系式；(相似三角形的判定和性质）（3）直线m经过点C，且直线mx轴

15、，点P是直线m上任意一点，过点P分别作PQ直线BC，PRx轴，垂足分别为点Q，R，若以三点P，Q，R为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出点P的坐标。（3）利用全等或相似的判定和性质 5、 直角三角形（2015本溪26）（2017年阜新）如图，抛物线的图像与x轴交于A（-5,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与x轴交于点D。（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，点E（x，y）为抛物线上一点，且，过点E作EFx轴，交抛物线的对称轴于点F，作EHx轴于点H，得到矩形EHDF，求矩形EHDF周长的最大值；（3）如图2，点P为抛物线对称轴上一点，是否存在点P，使以点P，A，C为

16、点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。（2015本溪）如图，抛物线经过点A（2,0）、点B（3,3）。BCx轴于点C，连接OB，等腰直角三角形DEF的斜边EF在x轴上，点E的坐标为（-4,0），点F与原点重合。(1) 求抛物线的解析式并直接写出它的坐标；(2) DEF以每秒1个单位长度的速度沿x轴正方向移动，运动时间为t秒，当点D落在BC边上时停止运动。设DEF与OBC的重叠部分的面积为s，求出s与t的函数解析式；(3) 点P是抛物线对称轴上一点，当ABP是直角三角形时，请直接写出所有符合条件的点P的坐标。6、 三角形相似问题（2015铁岭）如图，在平面直

17、角坐标系中，抛物线与x轴交于A（-3,0），B（1,0）两点，与y轴交于点C，点D与点C关于抛物线的对称轴对陈。（1）求抛物线的解析式，并直接写出点D的坐标；（2）如图1，点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB匀速运动，到达点B时停止运动。以AP为边作等边APQ（点Q在x轴上方），设点P在运动过程中，APQ与四边形AOCD重叠部分的面积为S，点P的运动时间为t秒，求s与t之间的函数关系式；（3）如图2，连接AC，在第二象限内存在点M，使得以M，O，A为顶点的三角形与AOC相似。请直接写出所有符合条件的点M的坐标。（2016连云港）如图，在平面直角坐标系x0y中，抛物线经过两点A（-1,

18、1），B（2,2），过点B作BCx轴，交抛物线于点C，交y轴于点D。（1）求此抛物线对应的函数表达式及点C的坐标；（2）若抛物线上存在点M，使得BCM的面积为，求出点M的坐标；（3）连接OA、OB、OC、AC，在坐标平面内，求使得AOC与OBN相似（边OA与边OB对应）的点N的坐标。（2015朝阳市）如图，已知经过点D（2，）的抛物线（m为常数，且m>0）与x轴交于点A，B（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C。（1）填空：m的值为 ，点A的坐标为 ；（2）根据下列描述，用尺规完成作图（保留卓图痕迹，不写作法）：连接AD，在x轴上方作射线AE，使BAE=BAD，过点D作x轴的垂线交射线A

19、E于点E；（3）动点M、N分别在射线AB、AE上，求MEMN的最小值；（4）是过点A平行于y轴的直线，P是抛物线上一点，过点P作的垂线，垂足为点G。请你探究：是否存在点P，使以P、G、A为顶点的三角形与ABD相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。7、 与面积有关的问题:（2017鞍山）（2015葫芦岛）（2016丹东）(2017本溪模拟）(割补法用水平线段或铅垂线段来割补三角形）(2017抚顺模拟)如图，直线与x轴、y轴交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，M是射线BA上一个动点，MNy轴交抛物线于点N。(1) 求抛物线的解析式；(2) 连接AN、BN，设ABN的面积为S，点M在

20、线段AB上运动，在点M的运动过程中，S是否存在最大值？若存在，请求出这个最大值；若不存在，请说明理由。(3) 点M从点B出发，沿射线BA方向以每秒5个单位长度的速度匀速运动，设运动时间为ts，当t为何值时，MB=MN，请直接写出所有符合条件的t值。OA=4，则MN值最大，ABN面积最大面积最值本质上就是线段的最值，面积最值与线段最值之间可以互相转化(2018本溪模拟一）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图像经过点A（6,0），B（-2,0），C（0,4）（1） 求二次函数的表达式；（2） 点P在第一象限的抛物线上，且能够使ACP的面积最大，求点P的坐标；（3） 在（2）的前提下，在抛物线的对

21、称轴上是否存在点Q，使得APQ为直角三角形，若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由。面积求法：作铅垂线段PD，把ACP的面积分割成两部分的和，所以PD最大， 则ACP的面积最大。（2016抚顺）已知抛物线经过点A（-3,0），点C（0,4）。（1）求抛物线的解析式；（2）作CDx轴交抛物线于点D，作DEx轴，垂足为点E，动点M从点E出发在线段EA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，同时动点N从点A出发在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒。如图1，当MNDE时，求t值；如图2，设DMN的面积为S，求S与t的函数关系

22、式；在点M和点N运动过程中，是否存在某一时刻，使MNAD？若存在，直接写出此时t的值；若不存在，请说明理由。 8、重叠部分的面积问题（2015年中考本溪、铁岭、营口、辽阳） 二、线段和、差最值问题（2016本溪）题型1：两定一动（作对称，连定点）（两点之间线段最短）1、 如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM等于2，N是AC上一动点，则DNMN的最小值为多少？题型二：两动一定（作对称，作垂直）（垂线段最短）1、 正方形ABCD的边长是8，DAC的角平分线AE交DC于点E，若点PQ分别是AD和AE上的动点，则DQPQ的最小值？2、 若ABC中，BAC=300,AB=BC=2，若在AC、AB上各取一点M、N，使BM+MN得值最小，则这个最小值为？题型三：做双对称（转化成线段即两对称点之间的距离）1、已知AOB=300,点P为AOB内一点，且OP=5cm，点M、N分别在OA、OB上运动，求PMN的周长的最小值。2、在直角坐标系中