夫琅禾费单缝衍射光强分析与探讨修改

1、夫琅禾费单缝衍射光强分析与探讨摘要：在夫琅禾费单缝衍射实验中,如果在透镜的物方焦面内沿着某一圆周改变光源S的位置,让透镜出射的单色平面光波都以相同的入射角H0入射到单缝衍射屏上,则单缝衍射光强分布均会发生改变,说明衍射图样的光强分布不仅和入射角H0以及衍射角H有关,而且和光源S的位置有关;考虑单缝衍射屏上光波相位的分布和平面光波的入射方位(即光源S的位置)的关系,采用矢量图解法对单缝衍射因子进行分析及计算,得到了全面的夫琅禾费单缝衍射光强公式。关键词：单缝衍射;光强;光程差;斜入射目录1 夫琅禾费单缝衍射（一）（1）1.1 单色点光源S位于透镜L1的物方焦点时的装置及现象（1）1.2 用积分法

2、来求夫琅禾费单缝衍射的光强（ ）1.3 衍射光强的极值分布条件及特点（ ）2 夫琅禾费单缝衍射（二）（ ）2.1 单色点光源S位于透镜L1的物方焦面上时的装置（ ）2.2 单缝衍射因子分析及计算（ ）3 总结（ ）1 夫琅禾费单缝衍射（一）1.1 单色点光源S位于透镜L1的物方焦点时的装置及现象 如图1所示,单色点光源S置于凸透镜L1的物方焦平面上,从点光源发出的光经过透镜以后变成平行光,垂直射到宽度约为十分之几毫米的狭缝上。缝后置一凸透镜L2,在L2象方焦平面上放置接收屏,则屏上显现出由一系列不连续的明亮短线组成的衍射图样,如图11所示。改变缝的宽度,衍射图样也发生变化,缝越宽,衍射图样越收

3、缩,当缝宽足够大时(远大于波长),则衍射图样缩成一点,这就是点光源S在透镜中所成的象。狭缝对光波在方向上的限制,使光在x方向上产生衍射,生成一系列沿x方向排列的明亮的短线,这些短线好像是点光源的一个扩展开的象。 如果用氮生在光器作为光源,则可以把透镜L1去掉,使激光直接照射在单缝上,并且去掉L2,在缝后足够远处(几米)屏上可观察到夫琅禾费衍射图样。图1 夫琅禾费单缝衍射装置若把点光源换成线光源,仍放在凸透镜L1的焦面上,并使线光源平行于狭缝,这时衍射图样将成为明暗相间的直条纹。因线光源可看成由许多独立的点光源S1,S2,沿一直线排列组成,每个点光源产生一组独立的衍射图样。每组衍射图样明暗分布完

4、全相同,只是相互之间在平行于缝的方向土有一个位移图2(a),因而衍射图样为明暗相间的直条纹,好像是线光源的扩展的象(图2(a)中P1横列是S1的扩展的象)。应当注意,点光源经透镜后变为平行光入射到狭缝上,所得到的单缝衍射图样并非是平行的直条纹。图2(b)为不同缝宽时线光源的单缝衍射图样。 图1 夫琅禾费单缝衍射装置 图2 衍射图样1.2 用积分法来求夫琅禾费单缝衍射的光强 积分法求夫琅禾费单缝衍射的光强。如图3建立坐标系,以缝中心处为原点O。在距O点x处取宽度为的一个平行于缝长的长条作为面元,面元面积为,其中l为缝长.考虑衍射角为的衍射光,它们会聚于屏幕上p点,它与透镜主光轴和屏幕的交点相距为

5、y,作OD垂直于衍射光,由等光程原理,若设O点到P点的光程为则该面元到P点的光程为。如令光在缝面上的初位相为零,则该面元在P点引起的光振动为 如上所述,在近轴条件下,可以视倾斜因子K(H)为常数,并把振幅分母中的r也视为常数,令,上式便简化为 因此P点的合振动为 = = = = = = =式中b为缝宽。P点光强为式中。令,则上式可改写为这就是单缝衍射的光强分布公式。1.3 衍射光强的极值分布条件及特点 光强一阶导为零的的条件 极值条件：（1)u=0; (2); (3)光强二阶导 (1)单缝衍射光强中央极大值位置及光强 sin=sin0=0 （2） 单缝衍射光强极小值位置 （） 单缝衍射光强次极

6、大值位置。由数值计算解方程，可以得到次极大值位置，见图。在每两个相邻最小值之间有一最大值，这些最大值的位置可由超越方程解得，可以用图解法求得的值，做直线和正切曲线，它们的交点就是超越方程的解 图6 相对光强计算结果 图7 相对光强随u变化由此可得分列于中央主最大两边的其他最大值（称为次最大）的位置为 单缝夫琅和费衍射的零级亮条纹内究竟集中了多少光能，将利用函数的积分计算各级衍射条纹内的光能分布，把这些值代入 可得各级次最大的相对光强。若以中央最大的光强为1，即使振幅归一化，则对于，处，次最大光强依次为,. 光强最大值与最小值的位置沿着垂直于缝的方向分布在它们之间，光强介乎最大值与最小值之间。使

7、用平行于缝的线光源时，衍射图样是明暗相间的直条纹，并向缝的两边展开，如图7所示。2 夫琅禾费单缝衍射（二）2.1 单色点光源S位于透镜L1的物方焦面上时的装置图1为夫琅禾费单缝衍射实验装置示意图1-2,单色的点光源S位于透镜的光经透镜L1后入射于衍射屏E,E上有一条宽度为a的细缝,其延伸方向沿y轴向。在E右方放置另一透镜L2,即可在L2的像方焦面F上观察到夫琅禾费单缝衍射图样。 图1 夫琅禾费单缝衍射实验装置示意图 由常见5光学6教材中夫琅禾费单缝衍射图样的光强公式 (1)可知,夫琅禾费单缝衍射光强主要取决于单缝衍射因子,为单缝边缘对应点的衍射线间的相位差之半。当单色点光源S位于透镜L1的物方

8、焦点时,平面光波垂直入射于衍射屏,此时,，为衍射线与衍射屏E的法线之间的夹角(称衍射角),为单色光波的波长,a为缝宽;当单色的点光源S位于透镜的物方焦平面内轴上时,则平面光波特殊斜入射于衍射屏,此时,为透镜出射的平面光波与衍射屏的法线之间的夹角(称入射角),号表示入射线与衍射线在衍射屏的法线同侧时取+号,反之取-号。 文献3-7仅对以上两种特殊情形下的单缝衍射因子进行分析计算,得到相应的衍射光强公式(1),并利用此公式探讨单缝衍射光强分布特性。但是,笔者在实验中发现,如果在透镜的焦平面内沿着某一圆周改变光源S的位置,让出射的平面光波都以相同的入射角入射到衍射屏上,则平面上的衍射图样光强分布均会

9、发生改变。而由(1)式知,只要入射角以及衍射角相同,那么,单缝衍射的光强分布均不会发生改变。这就说明夫琅禾费单缝衍射图样的光强分布不仅和入射角以及衍射角有关,而且和光源S的位置有关。光源S的位置不同,平面光波的入射方位不同,平面光波的入射方位导致光波到达衍射屏时光波的相位分布不同,而单缝衍射因子取决于衍射屏上光波的相位分布,同时,夫琅禾费单缝衍射光强主要取决于单缝衍射因子,因此,夫琅禾费单缝衍射光强分布就取决于单色的点光源S在透镜的物方焦面上的位置(即平面光波的入射方式)。 本文采用矢量图解法分析平面光波的入射方位和到达衍射屏时的光波相位间的关系,对单缝衍射因子进行分析及计算,进而得到全面的夫

10、琅禾费单缝衍射光强公式。2.2 单缝衍射因子分析及计算 如图2所示,将单缝波面分割成许多宽度相等且极窄的条形元波带,图中从上到下各元波带在场点P的振幅相等,但相位逐次落后,故图3中各元波带相应的元矢量长度相同,但辐角逐渐增大。将所有这些元矢量首尾相接,即得到代表P点光场振幅的场矢量。显然,当元波带无限变窄时矢量合成图由多边形的一部分变成圆的一部分,图中线段OM和ON分别表示=0和0的情况。单缝的边缘衍射线间的光程差设为,可以求出边缘光线的相位差为,令 ,则边缘光线的相位差为 设圆弧半径为R,由图3的几何关系可得 于是可得到观察屏上衍射图样的光强表达式同(1)式,这里,平面光波的入射方式包含了所

11、有的入射方式。利用上面矢量图解法对光强公式的简单推导可以看出,单缝衍射光强的分布完全取决于单缝衍射因子,而单缝衍射因子取决于单缝的边缘对应点的衍射线间的光程差(或相位差)。此光程差分为两部分,一部分为平面光波到达衍射屏时单缝边缘对应点光波的光程差,一部分由于单缝的衍射而产生的衍射线间的光程差。由于单缝的衍射而产生的光程差对平面光波所有入射方位都是相同的,因此,实验中单缝衍射光强的变化是由于单缝衍射因子的变化而引起的,而单缝衍射因子的变化是由于平面光波到达衍射屏时单缝边缘对应点光波的光程差发生了改变。如图4所示,光源S在透镜的物方焦平面(平面)内某一任意位置,光源S的方位角用同y方向之间的夹角表

12、示,它发出的光经透镜斜入射到衍射屏,面垂直于纸面。平面光波的入射角为,衍射屏位于xoy平面内,上的单狭缝延伸方向沿着y轴方向,A、B两点分别为单狭缝边缘对应点, ,单狭缝宽度a被放大,衍射屏的法线方向为z轴的正方向。 图4 平面光波任意方向入射光路示意图 衍射屏内单缝上斜虚线为分别过A和B两点的等相位线,即平面光波等相位面和平面交线。过A点作过B点的等相位线的垂线,垂足为C点,B和C两点的相位相等,设,我们总能找到过A和C两点的入射线的平面,不难证明,过A和C两点的法线均在此平面内,如虚线所示,且平面垂直于平面。单缝上边缘对应点A和B的衍射线间的光程差为A和C两点衍射线间的光程差,过A点作入射

13、线2的垂线,垂足为D,则A和C两点的衍射线间的光程差为 在直角ABC中,其中为过B点的等相位线与X轴间的夹角,利用几何关系,我们不难证明,光源S的方位角和B点的等相位线与X轴间的夹角相等,则A和B两点的衍射线间的光程差为同时考虑A和B两点的衍射线间的相位差为,则单缝衍射因子 (2)将(2)式代入(1)式可以得到单缝夫琅禾费衍射光强公式的普遍形式为 (3)其中,为光源S的方位角,其余物理量同(1)式。 当光源S位于透镜的物方焦点F时,方位角,平面光波垂直入射于衍射屏,单缝上各点光波相位相等,由(2)式知,在这种理想入射情形下,夫琅禾费单缝衍射因子为;当光源S位于透镜的物方焦平面的轴上时,方位角=

14、0,但入射角不等于0,此时,平面光波特殊斜入射于衍射屏,狭缝上光波的等相位线和X轴平行,由(2)式知,在这种特殊斜入射情形下,夫琅禾费单缝衍射因子和垂直入射这种理想情形完全相同;当光源S位于透镜的物方焦平面内X轴上时,方位角,入射角为,此时,平面光波仍然特殊斜入射于衍射屏,文献4-5中的斜入射就是这种特殊斜入射,狭缝上光波的等相位线和Y轴平行,由(2)式知,在这种特殊斜入射情形下,夫琅禾费单缝衍射因子为. 由以上分析及计算知,夫琅禾费单缝衍射光强主要取决于单缝衍射因子,而单缝衍射因子取决于衍射屏上光波的相位分布,考虑点光源S处于透镜的物方焦平面上不同方位时,衍射屏上光波的相位分布不同,将单缝衍射因子拓展为,进而得到全面的夫琅禾费单缝衍射光强公式(3),利用此公式可以解释实验中所出现的衍射光强分布改变的原因。3 总结 本文从多方位多角度思考，不仅仅局限于书本知识，讨论了夫琅和费单缝衍射的光能量分布情况，结果表明夫琅和费单缝衍射的零级条纹内约占衍射总能量的90%以上.分析可以发现与衍射图样相对应的相对光强曲线具有如下特点，各级最大