平面镜成像问题再讨论

1、平面镜成像问题再讨论陈 雁（浙江省宁波市镇海教师进修学校，浙江 宁波，315200）1 用平面镜成像的基本原理对竞赛题进行简明求解贵刊2012年第11期刊登了“对一道竞赛题的再思考”，以下简称“再思考”，文章对竞赛题的错误答案进行了分析，并给出了正确的结果。但文章中关于为何成7个像的讨论和作图过于复杂，本文试着用平面镜成像的基本原理，简明得出成像的个数。“再思考”一文讨论的竞赛题：如图l所示，房间内一墙角处相临两墙面挂了两个平面镜，两平面镜相互垂直，在该墙角紧靠镜面处放有一个脸盆，盆内有水某学生通过镜面和水面最多能看到自己像的个数为 (A)3个 (B)6个 (C)9个 (D)无穷原题答案是选项

2、(B)，是错误的。正确的结论应该能看到7个像。竞赛题中，脸盆内的水可以看作水平面上的平面镜。因此，本题就相当于研究三面互相垂直平面镜的成像问题。平面镜成像特点：像与物关于镜面对称。先讨论二面互相垂直的平面镜成像如图2所示。M1、M2为互相垂直的平面镜。S1、 S2是一次反射成像：S1是物体经过平面镜M1一次反射成的像，S2是物体经过平面镜M2成的像；S12是物体先经过M1再经过M2二次反射后所成的像。由于M1、M2互相垂直，所以物体先经过M1后经过M2反射所成的像S12与先经M2后经M1反射所成的像S21刚好重叠，物体S共成3个像。三面互相垂直的平面镜的成像如图3所示。M1、M2、M3为互相垂

3、直的平面镜。根据平面成像特点，物体在平面镜M1、M2所成的3个像连同物体S，在平面镜M3中成4个像，物体S在三面互相垂直的平面镜中共成7个像。7个像中，3个是正立的，4个是倒立的；其中S123是物体经过三次反射后所成的像。由于三个平面镜互相垂直，使得三次反射所成的像S123 、S132 、S213 、S231 、S312 、S321重叠。为了验证结果，笔者做了实验，能很清楚看到七个像。出题者，可能是遗漏了物体S在平面镜M3中所成的像，给出了错误的结果。2 对互成角度二面平面镜成像规律的讨论“再思考”一文中另一个结论：“像和被成像者关于镜面对称，既然是对称的，它们应该成对出现，成像个数就为奇数。

4、” 平面镜成像个数一定为奇数吗？从上面的讨论可知，二面互相垂直的平面镜应该成4个像，因为经过二次反射所成的2个像重叠，所以能看到3个像。如果二次反射所成的像不重叠，那么成像个数可以是偶数个，这种情景存在吗？如图4所示，设两平面镜OM、QN镜面夹角为，两镜面间有一物点S，与两镜面直线相交于0点的距离为R。根据平面镜成像的特点，作物点S的像点S1、S2、S3、S4、. 和S1,、S2,、S3,、S4,、。S1、S2、S3、S4、.是物体经过最后经平面镜OM反射所成的像点；像点S1,、S2,、S3,、S4,、为最后经平面镜ON反射所成的像点。物点经过二平面镜多次反射后，成像位置在二平面镜延长线之间，

5、则这个像即为最后成像，如图4中的像S7、S7,。如果S7、S7,不重叠，则成像为偶数个。笔者查阅了一些关于二平面镜成像个数规律的文章，多数只给出了360o/为整数时成像个数规律，对于360o/为非整数的情况，采用结合作图法，也只给出某几个数值下成像的个数，并没有给出一般成像规律。笔者试着用平面镜成像的基本原理，对该问题进行深入的讨论分析，以得出互相角度二平面镜之间成像个数的一般规律。直接研究物点S经二平面镜反射成像个数，试过几种方法，发现问题比较复杂，很难得出一般规律。为此，换一种思路，先讨论二平面镜自身成像情况，在此基础上，再讨论物点成像个数规律。2.1平面镜自身成像：任意夹角的二平面镜，当

6、它们之间物点S经过二平面镜多次反射成像时，平面镜本身作为物体，经过彼此平面镜的多次反射也能成像。二平面镜OM、ON之间的夹角为，根据平面镜成像原理，二平面镜成像如下图所示，小标号表示反射的次数。如OM1为平面镜OM经过一次反射后成的像，OM2为平面镜OM经过二次反射成的像同理，ON1为平面镜ON经过一次反射后成的像，ON2为平面镜ON经过二次反射成的像根据平面镜成像原理，OM2可以看作OM经过虚镜ON1反射成像，OM4可看作虚物OM2经过虚镜ON2反射成像二平面镜经过多次反射后，成像位置在其自身延长线OA、OB之间，则为最后成像位置，因为此时的像位于平面镜背面，从这些“像”发出的光线不能射到镜

7、面，因而不能再成像。设360o/=L+/。由平面镜成像原理可知，成像的相邻镜面，把圆分为若干个区域，每个区域的圆心角均等于。作二平面镜夹角平分线CD，根据平面镜成像的对称性原理，二平面镜所成像关于角平分线CD对称。若L为奇数，平面镜及其所成的像将圆分为2K+1个圆心角为的区域和1个圆心角为的区域，L=2K+1。最后的K、K,区域没有重叠部分。所分区域关于角平分线CD对称，如图5所示。若L为偶数，平面镜将圆周分为2K个圆心角为的区域和1个圆心角为的区域， L=2K。平面镜成像关于角平分线对称，在角平分线的二侧各形成圆心角为的K个区域，最后的K、K,区域部分重叠，重叠部分所对圆心角-。如图6所示。

8、2.2 物点S成像情况：物点S位于平面镜MN之间，经过多次反射，在每个圆心角为的区域内成一个像。因像点位于二平面镜之间，平面镜OM、ON的延长线OA、OB在最后的K、K,区域内，所以问题变得比较复杂。物点S最终能成几个像，关键要讨论以下二个方面：第一：最后的K、K,区域的像SK、SK,的位置：如果SK、SK,位于二平面镜的延长线OA、OB之间，则不能再成像；如果SK、SK,位于二平面镜的延长线OA、OB之外，则能再次经平面镜反射成像.第二：最后成的二个像会不会重叠：如果最后的二个像重叠，则成像数要减去一个。显然，物点S成像个数与它所处的位置有关。设物点S与二镜面交点0的连线OS与镜面OM的夹角

9、为，根据平面镜成像的对称性原理可知， OSK-1、OSK与OMK的夹角均为，与ONK的夹角均为-。因为成像的对称性，只需要研究从0逐渐增大到/2时，成像的情况即可。下面分别就L为奇、偶数情况对成像个数进行讨论。L为奇数：物点S在每个圆心角为的区域中成1个像，成2K个像，再对K、K,区域的像SK、SK,，进行讨论。因最后的镜面像OMK（ONK）与OA（或OB）的夹角等于（-）/2，故将分成（-）/2和（-）/2</2二种情况进行讨论。（1）（-）/2. K区域中像点SK能再次成像SK+1； K,区域的像SK,位于二平面镜延长线OA、OB之间，不能再成像，如图7所示。.像SK,和SK+1是否

10、会重叠：SKOB=-（-）/2-=（+）/2-，SK经过镜面ON反射再次成像SK+1，二者关于镜面ON的延长线OB对称，有：SK+1OB=SKOB=（+）/2-；SK,OB=（-）/2 +=（+）/2+像SK+1和像SK,不可能重叠。事实上，SK+1、SK关于OB对称，OMK、OMK-1关于OB对称，像点SK+1不可能位于K,区域，所以像SK+1和像SK,不可能重叠。结论：当OS与平面镜OM的夹角（-）/2时，共成2K+1=L个像。（2）（-）/2</2 .K、K,区域中的二个像SK、SK,均能再次成像，最后二个像为SK+1 、SK+1,，如图8所示。.像SK+1 、SK+1,是否会重叠

11、：SK+1OB=SKOB=（+）/2-；SK+1,OA=SK,OA=-（-）/2；SK+1,OB=-SK+1,OA=（3-）/2-SK+1,OB>SK+1OBSK+1,OB-SK+1OB=-像SK+1 、SK+1,不重叠。共成2K+2=L+1个像。（当=时，SK+1 、SK+1,重叠，成L个像。事实上，当=时，360o/=L+/= L+1，为偶数，成L奇数个像，与后面讨论的当360o/为偶数时，成360o/-1个像一致。）结论：当OS与平面镜的夹角大于（-）/2</2时，共成L+1个像。（3）特例：=0，360o/=L+/= L为奇数。由于=0，最后的镜面像OMK、ONK重合，与O

12、A、OB的夹角等于/2，如图9所示。.</2， 只K区域的像SK能再次成像SK+1，且SK+1和像SK,不重叠，共成2K+1=L个像。.=/2，K、K,区域的像SK、SK,恰好位于二平面镜的延长线OA、OB上，不能再成像，共成2K=L-1个像。L 为偶数：物点在每个区域中成1个像，共成2K个像。同理，对K、K,区域的像SK、SK,，进行讨论。最后成像的镜面OMK（ONK）与OA（或OB）的夹角等于/2。将分成</2和/2/2二种情况进行讨论。（1）</2. K区域中的像SK能再次反射成像为SK+1，K,区域的像SK,位于OA、OB之间，不能再次成像。如图10所示。.SK+1与

13、SK,是否会重叠：SKOB=/2-SK+1OB=SKOB=/2-SK,OB=/2+SK+1与SK,不可能重叠。事实上，SK+1与SK,关于OMK对称，SK,OMK=SK+1OMK=/2。结论：当OS与平面镜OM的</2时，共成L+1个像。（2）/2/2 . K、K,区域的像SK、SK,均不能再次成像。如图11所示。.由于K、K,区域有重叠部分，所以还需要要讨论K、K,区域的像SK、SK,是否重叠：SKOB=-/2SK,OB=+/2若0，像SK、SK不会重叠，共成2K=L个像。结论：当OS与平面镜OM的/2时，共成L个像；若=0，成L-1个像。（3）特例：=0，即360o/=L+/= L，

14、为偶数。最后的K、K,区域完全重叠，像SK、SK,重叠，共成2K-1=L-1个像。结论：=0，成像L-1个。2.3 成像规律：（1）互成角度二面平面镜成像个数，与二平面镜夹角有关，还与物点位置有关。（2）物点S最后成像只有二种情况会重叠：.360o/为偶数，因最后二个区域完全重叠，故最后成像一定重叠；.360o/为奇数，当物点S位于二平面镜角平分线上时，最后成像重叠，最后像点位于角平分线的延长线上。这二种情况，成像个数均为L-1。（3）成像个数列表：360o/=L+/成像个数L为奇数（-）/2L（-）/2</2L+1特例：=0</2L=/2L-1L为偶数</2L+1/2/2L特例：=0L-1为二平面镜夹角；为物点S与平面镜交点O的连线与二平面镜的夹角。2.4举例：L为奇数：1.=72 o：360o/=5，<36 o，成5个像；=36o，成4个像。2.=240 o：36