定积分的应用[1]

1、第六章 定积分的应用（1、2）陈建英 王江顺主编第一节 定积分在几何上的应用（1、2）教学目的：掌握定积分应用的微元法，会求在直解坐标下的平面图形面积教学重点、难点：用“微元法”确定所求量的“微元”教学形式：多媒体教室里的讲授法教学时间：90分钟一、引入新课    回顾     曲边梯形求面积的问题     曲边梯形由连续曲线、轴与两条直线、所围成。     面积表示为定积分的步骤如下：     

2、(1)把区间分成个长度为的小区间，相应的曲边梯形被分为个小窄曲边梯形，第个小窄曲边梯形的面积为，则    (2)计算的近似值.     (3)求和，得A的近似值     (4)求极限，得A的精确值    提示若用表示任一小区间上的窄曲边梯形的面积，则，并取于是   二、新授课1元素法的一般步骤：     (1)根据问题的具体情况，选取一个变量例如为积分变量，并确定它的

3、变化区间；     (2)设想把区间分成个小区间，取其中任一小区间并记为，求出相应于这小区间的部分量的近似值。如果能近似地表示为上的一个连续函数在处的值与的乘积，就把称为量的元素且记作，即；     (3)以所求量的元素为被积表达式，在区间上作定积分，得，即为所求量的积分表达式。    这个方法通常叫做元素法。     应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等。2直角坐标系下的面积计算 (1) 平面图形

4、由连续曲线成,并且在区间a , b上如图6-1或如图6-2所示. （图6-1 ）（图62） 应用  曲边梯形的面积     （图63）(2)平面图形由连续曲线成，并且在区间见例1 计算由两条抛物线和所围成的图形面积。 (1) 作图.利用Mathematica,输入 Plot输出图形  解两曲线的交点，    选为积分变量，     面积元素     ，    

5、;     例2计算由曲线和所围成的图形的面积。 解两曲线的交点，    选为积分变量，            于是所求面积             说明：注意各积分区间上被积函数的形式。     问题：积分变量只能选吗？例2 计

6、算由曲线和直线所围成的图形的面积。 解两曲线的交点，选为积分变量，作图.利有Mathematica,输入输出图形,如图所示;     注意 对于同一问题,有时可选取不同的积分变量进行计算,计算的难易程度往往不同,因此在实际计算时,应选取合适的积分变量,使计算简化.例 4 解 (1) 求交点的横坐标.(2) 作图.作出曲线 与曲线 所围的平面图形，输出求面积.图6-6输出1.00751 0.0758192三、本节小结：1 微元法的实质是什么？ （  微元法的实质仍是“和式”的极限。）2求在直角坐标系下平面图形的面积。(注意恰当

7、的选择积分变量有助于简化积分运算)。四、课外作业：P116习题61 一、求下列各组平面图形的面积1、与直线及。     2、与直线及 二、求抛物线及其在点和处的切线所围成的图形的面积 。     三、求位于曲线下方，该曲线过原点的切线的左方以及轴上方之间的图形的面积第六章 定积分的应用（3、4）第一节 定积分在几何上的应用（3、4）教学目的：会求在参数方程、极坐标系下的平面图形面积教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课

8、写出圆的方程在直角坐标系下的方程，参数方程和极坐标方程二、新授课 如果曲边梯形的曲边为参数方程，曲边梯形的面积(其中和对应曲线起点与终点的参数值)，在，(或，)上具有连续导数，连续。    例4求椭圆的面积。 解椭圆的参数方程    由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积。     设由曲线及射线、围成一曲边扇形，求其面积。这里，在上连续，且。    面积元素    曲边扇形的面积&#

9、160;   例5求双纽线所围平面图形的面积。     解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积     ，         例6求心形线所围平面图形的面积。 例4 求两曲线 及 所围成图形的公共部分的面积。解 将极坐标方程改写成参数方程(1) 作图利用Mathematica,输入(图68)输入(图69)输入三、本节小结：参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积四、课外作业：一、求由下列各曲线所围成的图形的

10、面积 1、。   2、摆线及轴。    3、及的公共部分。第六章 定积分的应用（5、6）第一节 定积分在几何上的应用（5、6）教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：分析使用平行截面计算的立体图形，旋转体体积的计算。教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课平行截面体的概念二、新授课1 已知平行截面的立体体积如图610所示，设有一立体图形，其垂直于x轴的截面面积是已知连续函数S（x），且位于x = a，x = b 两点处垂直于x轴的两个平面之间，求此立体的体积。 ( 图610)用垂直于轴的截面分割该立体，从

11、位于的平面开始，到位于的平面为止。在小区间 上，将此区间相应的小立体体积用底面积为，高为的扁柱体的体积近似代替，即体积微元于是所求立体的体积为 例1 一平面经过半径为R的圆柱体的底面直径AB，并与底面交成角，求此平面截圆柱体所得楔形的体积。( 图611)解法一：如图6-11所示，取直径AB所在的直线为轴，底面中心为原点，这时垂直于轴的各个截面都是直角三角形，；它的一个锐角为。这个直角三角形的底边长度为，高为，这样截面面积为因此,所求体积为 解法二：垂直于Y轴的各个堆面都是矩形，矩形的两边为，这样截面面积为因此，所求体积为 例2连接坐标原点及点的直线、直线及轴围成一个直角三角形。将它绕

12、轴旋转构成一个底半径为、高为的圆锥体，计算圆锥体的体积。     解直线方程为，取积分变量为，    在上任取小区间，以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为，    圆锥体的体积。 2。（1）旋转体的概念：旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体。这直线叫做旋转轴。 （2）旋转体的体积    一般地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为多少？   &

13、#160; 取积分变量为，。在上任取小区间，取以为底的窄边梯形绕轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，旋转体的体积为  类似地，如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为  例3求由曲线及所围成的图形绕直线旋转构成旋转体的体积。 解取积分变量为。体积元素为    三。小结平行截面体体积和旋转体体积的计算四。课外作业P116 习题614平面图形由和围成，试求该图形（1）绕轴旋转所成旋转体的体积；（2）绕轴旋转所成旋转体的体积。 5平面图形由和围成，试求该图形分别绕轴和轴旋转所得旋转体

14、的体积。第六章 定积分的应用（7、8）第一节 定积分在几何上的应用（7、8）教学目的：会用微元法求平行截面的立体体积教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表示的平面图形面积的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、引入新课例1分析求解椭圆绕轴旋转所成旋转体的体积。指出微元二、新授课    例2求摆线，的一拱与所围成的图形分别绕轴、轴旋转构成旋转体的体积。     解绕轴旋转的旋转体体积         &#

15、160;     绕轴旋转的旋转体体积可看作平面图与分别绕轴旋转构成旋转体的体积之差。                   解: 如图6-13所示，该立体是由围成的平面图形绕轴旋转所生成的立体，去除由围成的平面图形绕x轴旋转所生成的立体而构成的。因此，该立体体积为图6-13输出 19.739 2因此,该立体体积为19.739 2   &#

16、160;补充如果旋转体是由连续曲线、直线、及轴所围成的曲边梯形绕轴旋转一周而成的立体，体积为。利用这个公式，可知上例中三、小结：1 旋转体的体积2。    平行截面面积为已知的立体的体积。四、作业 1思考题：求曲线，所围成的图形绕轴旋转构成旋转体的体积。 思考题解答：    立体体积2。P117第六题6圆的参数方程为，试用定积分证明圆周长为。第六章 定积分的应用（9、10）第一节 定积分在几何上的应用（9、10）教学目的：会用微元法求平面曲线的弧长教学重点、难点：处理和使用参数方程和极坐标方程表

17、示的曲线弧长的求法，教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学过程一、 引入新课：设、是曲线弧上的两个端点，在弧上插入分点并依次连接相邻分点得一内接折线，当分点的数目无限增加且每个小弧段都缩向一点时，此折线的长的极限存在，则称此极限为曲线弧的弧长。二、新授课1直角坐标情形设函数 具有一阶连续导数，计算曲线上相应于x 从a到b 的一段弧长。取x为积分变量，它的变化区间为，在上任取一个小区间，与该区间相应的小段弧的长度可以用该曲线在点处的切线上相应的一小段长度来近似代替，从而得到弧长元素于是所求弧长解：所求弧长2参数方程情形计算这段曲线的弧长。 取参数t为积分变量，糨的变化区间为，弧长微元于是所求弧长

18、为 因此，所求弧长为(图6-15)三、小结用微元法求孤线长四、作业：P1177求星形线的全长。9求曲线在一段的弧长。11求曲线在 一段的弧长。第六章 定积分的应用（11、12）第二节 定积分在物理上的应用（1、2）教学目的：会用定积分的微元法求一些简单的实际问题教学重点、难点：用微元法将问题归结为定积分的问题教学形式：讲授法教学时间：90分钟教学年级：07级机械工程系教学过程一、引入新课利用微元法解决定积分在物理上的一些应用。二、新授课一、 变速直线运动的路程从物理学知道，若质点以常速v沿直线运动了时间t，则所经过的路程为如果质点以速度作变速直线运动，上面的公式显然不适用，但当连续时，可以在时

19、刻t附近将速度近似看作是不变的，因而在时间过程中，路程的微元为因此，从时刻 到时刻 这段时间内质点所经过的路程为二、变力沿直线所作的功 从物理学知道，若物体在不变的力F的作用下沿直线移动了距离，则此过程式中力F所作的功为 如果力是变力，上面的公式显然不适用。但当连续时，可以在点附近将力近似看作是不变的，因而在位移过程中，功的微元为由此可知，在变力作用下物体沿x轴由点a到点b过程中，力F所作的功为解： 我们知道，在弹性限度内，拉伸（或压缩）弹簧所需的力F 与弹簧的伸长量（或压缩量）x成正比，即上式中K为比例系数。 如图6-16所示，根据题目意，当 时，故由，得。这样得到的变力函数为下面用策元法求此变力所作的功，。(图616)与它对应的变力F所作的