《两角和与差的正弦余弦正切公式》一课一练

1、3.1 两角和与差的正弦、余弦正切公式1261262a.2A.一B.22nD. sin12一、选择题：25 n 11 n 11 n 5 n1. sin cos cos sin 的值疋()C. sin 122 .右 sin ( a+ ® cos 3 cos ( a+ 3) sin 3=0,A. 1B . 1、解答题3.n , 3 n已知V aV,n0v 3v , cos (444(a+ 3)的值.则 sin ( a+2 3) +si n (a 2 3 等于()C. 0D. ±n33 n 、5+ a) = 一 , sin (+ 3)=，求 sin454135.已知0 VnaV

2、,sin ( n a)=，求413cos2-的值.).n asinbcos8 n =ta n求b4 .已知非零常数 a、b满足5-5nacos-nbsin15a556.已知 sin ( a+ ® = 2 , sin ( a- 3)= 3，求-ta 的值.3 4 tan7.已知A、B、C是厶ABC的三个内角且IgsinA IgsinB lgcosC=lg2 .试判断此三角形 的形状特征.&化简sin 7 cos 15 sin 8cos7 sin15 sin89. 求值：(1) sin75 ；(2) sin13 °os17°+cos13°sin17

3、°7 n 2 n n . 2 n10. 求 sin cos sin sin 的值.1899911. 在足球比赛中，甲方边锋从乙方半场带球过人沿直线前进（如下图），试问甲方边锋在何处射门命中乙方球门的可能性最大？（设乙方球门两个端点分别为A、B）12 已知V aV 3 n , cos ( a 3) = , sin ( a+ 3) = 3，求 sin2 a 的值.2 413513. 证明 sin(o+ ® sin( a 3)=sin2a sin2 3,并利用该式计算 sin220 °sin80 °n40的值.14. 化简：:2sin 50 +si n10 &

4、#176; 1+J3ta n10 ° 2 si n2 8015. 已知函数 y=sinx+cosx+2sinxcosx+2,(1)若x R,求函数的最大值和最小值；(2)若x 0,上,求函数的最大值和最小值.2参考答案1. B3.解： n <a< 3n4 4.n n < + a< n2 4又 cos(n + a = 3 ,45n4 sin ( + a)=.45/ 0< 3< n ,4.3 n , 3 n-<+ n443 n、5又 sin ( + 3)=,4 13 cos ( 3n + 3)= I2 ,4 13n3 n sin ( a+ 3)

5、= sin n + ( a+ 3) = sin ( + a) + (+ 3)44=sin ( n + a) cos ( 3 + 3 +cos ( n + a) sin (匕 + 3)b，用主、n的三角函数a 1554444整理，有ba.8 nn8 n.nsincoscossin1551558 nn . 8 n.ncoscossinsin155155sin(8n15cos(8n15n)=ta n n = - 3 n 3 5)35 n_ 63X:51365:-X(空)513.nn.nbn.nbna sin bcos sincossincos-解：由于5-55a5则5a5 A 8 n tannnnb

6、.nnb n15a cosbsi ncossincos-sin555a55a54.分析：这道题看起来复杂，但是只要能从式子中整理出 表示出来，再利用两角和与差的正、余弦公式计算即可.5.分析：这道题的选题意图是考查两角和与差的正、余弦公式和诱导公式的综合运用 以及变角技巧.解题过程中，需要注意到（ n + a） + （ n a） = n，并且（n + a） 一（卫一44244a） =2 a.解：cos （ + a） =cos 上一（a =s in （ n a）=,424413又由于0< a< n ,4则 0 <n aV n,44nv n + aV n 442所以 cos（ n

7、- a）=十曲吁）/（13）212,sin (n4cos2 (n41213cos(n4nncos( a)()44cos(n)45 1212 5=13 1313 1324=513 136分析：当题中有异角、异名时，常需化角、化名，有时将单角转化为复角（和或差）.题是将复角化成单角，正（余）切和正（余）弦常常互化.欲求 的值，需化切为弦，即 -sin_cos ，可再求 si nacos cos os in B的值.tantan cos sin2 2解: v sin （ a+ B = ，二 sin acos供cos asin 护一.3 33 3/ sin （ a B =-，二 sin acos B

8、cos asinB=Y .4 4由（+）+（）得也=_ 17.tan7.分析：从角与角的关系探究三角函数间的关系；反之，利用三角函数间的关系去判 断角的大小及关系，这是常用的基本方法.可以先化去对数符号，将对数式转化为有理式， 然后再考察A、B、C的关系及大小，据此判明形状特征.解：由于 lgsinA lgsinB lgcosC=lg2 ,可得 lgsinA=lg2+lgsin B+lgcosC,即 lgsinA=lg2sinBcosC,sinA=2s in BcosC.根据内角和定理，A+B+C=nA= n （ B+C）./ sin （B+C） =2sinBcosC,即 sinBcosC+c

9、osBsinC=2sin BcosC.移项化为 sinCcosB sinBcosC=0,即 sin ( B C) =0.在厶 ABC 中，C=B. ABC为等腰三角形.&分析：这道题要观察出7°8°15 °解题过程中还需要应用两角和与差的正弦、余弦公式.解: sin 7cos15 sin8cos7sin15 sin 8_ sin(158)cos15sin 8cos(158 )sin 15sin 8_ sin15cos8cos15sin8cos15sin8cos15cos8sin15sin8sin15sin8 sin 15cos15_2 3 .9 .解：(1

10、)原式 _sin (30 °45 ° _ sin30c6s45 +cos30 sin45 _ 丄 上 + 仝2 2 2(2)原式 _ sin (13°+17°) _sin30 丄丄.7 n182n n10解：观察分析这些角的联系，会发现上_上927 n 2 n . n 2 n sin cos sin sin18999.7 n2 n/ n7 n2 n_si ncossin(-)sin1892189.7 n2 n7 n2 n_si ncoscossin189189_sin ( 18.n_si n611.解：设边锋为C, C到足球门AB所在的直线的距离为CO_

11、x, OB_b, OA_a (a>b> 0, a、b 为定值)，/ ACO_ a, / BCO_ 3, / ACB_ a 3= y (0< y< n ),2则 tana_a , tan3_© (x>0,型 > 0).xxx所以 tan Ytan ( a 3)=tan tan1 tan tanx x abab ab 1 ab x x 2. ab1 子当且仅当x= ab，即x=、ab时，上述等式成立.又x0<Y n, ta门丫为增函数，所以当2x= . ab时，ta门丫达到最大，从而/ACB达到最大值barcta n2jab所以边锋C距球门AB所

12、在的直线距离为一 ab时，射门可以命中球门的可能性最大.12 .解：此题考查变角”的技巧.由分析可知2«= ( a 3) + ( a+ 3).由于 n < a< 3< 3n，可得到 < a+ 3< n , 0 < a 3< n .24244 .5-COS ( a+ 3 = , sin ( a 3 =.5 13 sin2 a=sin ( a+ 3 + ( a 3)=Sin ( a+ 3) cos ( a 3) +COS ( a+ 3) sin ( a 3)=(3)12-+(彳)-5513513_566513.证明:sin (a+ 3) sin

13、( a 3)= (sin acos 3+cos as in 3 (sin acos 3 cos asin 3=sin2 acos2 3 cos2 osin2 3=sin2 a (1 sin23) ( 1 sin2 a) sin2 3=sin2 a sin2 asin2 3 sin2 3+sin2 osin2 3=sin2 a sin2 3,所以左边=右边，原题得证.计算sin220 °sin80 °in40 :需要先观察角之间的关系.经观察可知80 °60 °20 °40 °60 ° 20 °所以 sin220 &

14、#176;sin80 °in40 =sin220 °sin ( 60 °20 ° in (60。一 20 °=si n220 °s in 260 ° si n220 °=si n260 °3 .4分析：此题目要灵活运用化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理 化简.14. 解：原式=:2sin50 +sin10 ° 1+J3tan10 ° 2sin280cos10=:2sin50 +sin10 ° 1+后 sin10 ) 2 cos210=2sin50 +sin10 ° 如° 弱1。) 盂吋 coslO=(2sin50 +2sin10 °COS50 ) 2 cos10°coslO=2 .2 (sin50