季节性时间序列模型

1、第8章 季节性时间序列模型由于在日常生活中经常遇到季节性时间序列，因此我们为其单辟一章。在引入一些基本概念和常用模型之后，我们将自回归求和移动平均模型加以推广，用来描述季节时间序列。另外，为了说明该方法，我们还给出了详细例子。8.1 基本概念 许多商业和经济时间序列都包含有季节现象，即在一段时期后不断地对自身作有规律的重复。重复现象出现的最小时间间隔称为季节周期。例如，并吉林小玲的季度序列在夏季最高，序列在每年都重复这一现象，相应的季节周期为4。类似地，汽车的月度销量和销售额在每年7月和8月也趋于下降，因为这是经常更换新的车型。而玩具的月销售量在每年的12月增加。后两种情形的季节周期是12。季

2、节现象源于一些因素，如气候影响许多商业和经济活动，如旅游和房屋建筑；一些习惯性事件，如圣诞节就与珠宝、玩具、贺卡及邮票的销售密切相关；夏季几个月的毕业典礼直接关系到这几个月的劳动力状况。作为说明的例子，图8-1给出了1971-1981年美国月度就业人数，调查对象是美国16-19周岁的男性。序列的季节特性是明显的，在夏季几个月人数急剧增加，在学期结束的6月出现高峰，而在秋季学校开学后就下降了。这种现象每12个月重现一次，因而季节周期是12。8.2 传统方法 通常，时间序列被看做由趋势项（Pt），季节项（St）以及不规则分量(et)混合而成。如果这些分量被假定为是可加的，可以将时间序列Zt写成Zt

3、 =Pt+ St+ et （）为了估计这些分量，文献中引入了一些分解方法。 回归方法 在回归方法中，可加性时间序列可以写成下面的回归模型Zt =Pt+ St+ et = （）其中，Uit是趋势-循环变量；St=和是季节变量。例如，线性的趋势-循环分量Pt可以写成 （）更一般地，循环-趋势分量可以写成关于时间的m次多项式： （）类似地，季节分量St可以表示为季节虚拟（示性）变量的线性组合，或表示成各种频率正弦-余弦函数的线性组合。例如，一个周期为s的季节序列可以写成 （）其中，如果t对应于季节的第j期，有=1，对于其他情况就为0；注意，当季节周期为s时，我们只需要（s-1）个季节虚拟变量。换言之

4、，令使得系数（其中，）表示在周期为s时第j期的季节影响。另一方面，St也可以写成 （）其中，s/2是s/2的整数部分。这类模型将在第11章讨论。于是，模型（）成为 （）或者 （）对于给定数据集和特定的m和s的值，可用标准最小二乘回归方法得到参数，和的估计值，和。Pt，St，和方程（）中的et的估计值可由下式给出： （8.2.9a） （b）和 （8.2.9c）对于方程（）可由下式给出 （8.2.10a） （b）和 （8.2.10c） 移动平均方法移动平均方法基于这样的假定：一个季节时间序列的年度总和中只有少量的季节变量，因此，令为序列的非季节变量，而非季节变量的估计可以用对称移动平均算子得到，即

5、 （）其中，m为一正数，为常数，且有以及。季节分量的估计可由原序列减去得到，即 （）前面的估计可以通过重复各种移动平均算子得到。利用移动平均方法的成功例子是人口普查局X-12方法，该方法被政府和工业企业广泛地采用。 被消除了季节影响的序列，即，称为季节调整序列。因此，前述季节分解方法也是熟知的季节调整方法。人们普遍认为季节分量是有规律的特征，能够以合理的精度进行预报，所以政府和产业对于调整序列的季节性有着很大的兴趣。这一专题在这里只是简要的论及，感兴趣的读者可以参考由Zellner（1978）编辑的优秀的论文集。有关该专题最新的文章，主要有Dagum（1980），Pierce（1980），Hi

6、llmer和Tiao（1982），Bell和Hillmer（1984），以及Cupingood和Wei（1986）。8.3 季节性ARIMA模型 8.2节给出的传统方法基于季节分量是确定性的，且与其他非季节分量相独立。然而，许多时间序列并没有那么好的性质。更多的情况是季节分量可以是随机的，并且与非季节分量相关。本节我们将前一章讨论的ARIMA模型推广到季节时间序列。 为了说明问题，我们考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计数字，Buys-Ballot表在表8-2中给出。该表显示就业统计数字不仅月与月相关，而且年与年也相关。因此，为了对6月份的就业水平进行预报，我们不仅要考察相

7、邻月份（如5月和7月）的就业水平，而且还要考察前几年6月份的就业水平。 通常Buys-Ballot表意味着包含周期内部和周期之间的相关关系。周期内部的关系表示，Zt-2，Zt-1，Zt，Zt+1，Zt+2，之间的相关性。周期之间相关关系表示，Zt-2s，Zt-s，Zt，Zt+s，Zt+2s，之间的相关性。 假设我们不知道包含周期之间的季节性变化，而对序列拟合一个非季节性的ARIMA模型，即 （）显然不是白噪声序列，因为它包含未被解释的周期（季节）之间的相关关系。令，j=1,2,3 （）是的自相关函数，它描述了未解释的周期之间的相关关系。由此不难得到，周期之间的相关关系也能用ARIMA模型加以描

8、述： （）其中并且这些的多项式没有共同的根，且根都在单位圆之外，是0均值的白噪声过程。为了说明问题，假设式（）中P=1，s=12，D=0，Q=0，则 （）若=0.9，的自相关函数成为，如图8-2所示。类似地，若P=0，s=12，D=0，Q=1，则有 （）若=0.8，自相关函数成为如图8-3所示。 结合式（）和式（），我们可以得到著名的Box-Jenkins乘积季节ARIMA模型： （）其中为方便起见，我们通常分别称和为常规的自回归和移动平均因子（或多项式），分别称和为季节性自回归和移动平均因子（或多项式）。式（）中的模型一般记为ARIMA（p,d,q）*（P,D,Q）s，其中下标s为季节周期。

9、例8-1 我们考虑ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）12,模型 （）人们发现这个模型是非常有用的，它可以描述大量的季节时间序列，如航空数据，交易序列等。该模型由Box和Jenkins首先引入来描述国际航空旅客数据，因而在文献中也称其为航线模型。令,则的自协方差可以很容易地求出：，其他 （）因此，ACF是，其他对于=0.4和=0.6时，在图8-4给出。一般的ARIMA模型 更一般地，我们可以写出一般的ARIMA模型如下： （）因此，该模型可以包含K个差分因子，M个自回归因子以及N个移动平均因子。这种推广对于描述许多非标准时间序列是非常有用的，例如，可以包含不同周期混合而成的季节现象。由于这

10、是大多数时间序列软件使用的一般形式，因而我们现在更详细地解释这种一般模型。第i个差分因子是具有阶数（B的幂次）和次数。如果K=0，则，否则，序列的均值不出现。参数描述确定性趋势，当且仅当时才考虑。第j个自回归因子为其中，包含一个或多个自回归参数。第k个移动平均因子是包含一个或多个移动平均参数。在大多数应用中，K,M和N的值通常小于或等于2。在自回归和移动平均的参数中，除了考虑每种第一个因子的参数，其他参数都考虑为模型中的季节参数。显然我们可以用任意阶数的因子，如果需要的话，我们可以取每种的第一个因子作为“季节因子”。对于差分因子也完全类似。季节模型的PACF，IACF和ESACF 季节模型的P

11、ACF和IACF更复杂。一般来说，季节和非季节的移动平均分量所产生的PACF和IACF在季节或非季节延迟点上指数衰减或阻尼正弦波动的。对于季节模型计算，ESACF非常费时，通常形式也很复杂。此外，由于ESACF所给出的知识关于p和q最大阶数的信息，在建立季节时间序列模型中它的用处非常有限。因此，在识别季节时间序列模型时标准的ACF分析仍是最有用的方法。对于季节模型的建模和预报 由于季节模型是第3、4章中引入的ARIMA模型的特殊形式，因而有关模型识别、参数估计、诊断检验和预报都按照第5、6和7章的陈述，在这里就不再重复了。在下一节中，我们将针对几个季节时间序列来说明方法的具体应用。8.4 实例

12、例8-2 本例给出来自于ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型的150个模拟值： （）这里=0.8，=0.6，是高斯型N(0,1)白噪声。该序列是列在附录中的序列W8。如图8-5所示，序列明显具有向上趋势的季节性。表8-3和图8-6给出序列的样本ACF和样本PACF。ACF的值很大且缓慢衰减，而PACF在延迟1处由单个的很大的峰值。这一切表明序列是非平稳的，必须进行差分。为了消除非平稳性，对序列做差分，计算出序列（1-B）Zt的样本ACF和样本PACF，如表8-4（a）和图8-7（a）所示。ACF在周期为4的多个季节点上缓慢衰减，这表明为了达到平稳性，季节差分（1-B4）也是需要的。因

13、此，我们计算（1-B）（1-B4）Zt的样本ACF和样本PACF，并在表8-4（b）和图8-7（b）中给出。我们已经知道ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型的ACF除了在延迟1,3,4和5处以外其他皆为0。因此，在表8-4（b）和图8-7（b）中（1-B）（1-B4）Zt的样本ACF蕴涵着原序列Zt应是ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）4模型，即用参数估计方法对参数和的值进行估计。例8-3 我们现在考察美国1971-1981年1619岁男性的月度就业统计数字。该序列为附录中的W9，前文在图8-1中显示过。模型识别 在表8-2中与Buys-Ballot表一些列的列总和显示出具有季

14、节周期12的明显的季节变化，而另一方面按年累计的行总和蕴涵着在序列中存在着随机趋势。这种趋势可以在模型识别之前通过差分予以消除。表8-5给出了原序列个差分序列的样本ACF。从表8-5（b）和（c）看出，显然既需要常规差分（1-B），也需要季节差分（1-B12）。序列的ACF只是在延迟12处存在一个显著的峰值，如表8-5（d）所示。由于，n=119，的t值=，该值不显著，所以不需要确定性趋势。因此，我们识别该序列为一个ARIMA（0,1,0）*（0,1,0）12过程，试探性的模型为 （）参数估计和诊断检验 利用标准非线性估计过程，我们得到如下结果 (0.066) ()其中=3327.3。前面拟合

15、模型的残差ACF由表8-6给出，只是在延迟1处有显著的峰值。我们将上面的模型修改成ARIMA（0,1,1）*（0,1,1）12模型，即 （）参数估计由下式给出 （0.088）（0.062） （）其中。改进模型的残差ACF值在表8-7中，其中所有值都很小，显示不出什么特性。对于K=24，Q统计量的值20.7不显著，这是由于=33.9。因此，式（）给出的拟合模型ARIMA对于序列是适合的。 预报 由于模型（）是适合的，我们可以用它来预报未来的就业数字。正如第5章所讨论的，对于给定的预报原点，如t=132，预报可以直接由差分方程计算。对于方程（）,我们有 因此，从原点t=132开始的步预报为 其中

16、以及 现在要推导出预报方差，因为模型是非平稳但是可逆的，因而我们首先将模型改写成下面的AR表示 （）其中因此 （）令式（）两边的系数相等，我们有 （）于是，计算预报方差所需要的权可由式（）很容易地得到如下公式和其中，的权重在式（）中给出。由式（）可知预报方差为 （）由式（）得到99%的预报置信区间为 （）前12个预报值，即，以及标准差在表8-8中给出。这些预报值及95%的置信区间也在图8-8中画出。由于该过程非平稳，置信区间随预报步长增大而变宽。 例8-4 图8-9显示了从1975年第一季度到1982年第四季度美国啤酒产量（单位：百万桶）的32个顺序值。该序列在附录中以W10列出。用来识别周期

17、为s的季度模型的样本ACF值和样本PACF值得数量必须至少是3s。序列W10也许太短了。我们选择它是因为有时我们不得不利用相对较短的序列来构造模型。例8-5基于原始数据的第一个试探模型 在本例中，为了检验模型的预报特性，我们只用序列的前30个观测值来建立模型。对这30个观测值的幂变换分析表明，不需要进行变换。表8-9中给出的样本ACF和样本PACF显示出很强的季节特性，周期为4。尽管样本ACF在4的倍数处比附近的值大，但其值是下降的且不算很大。做季节差分的需要并不明显，因此，我们从如下形式的季节模型入手： ()上述模型的参数估计给出，且标准差为0.07。的95%置信区间显然包含1作为可能值，残

18、差的ACF在延迟为4处有显著的峰值（表中没有显示），因而模型是不适合的。基于季节差分序列的模型 基于前面的分析，我们考虑季节差分序列，相应的样本ACF和样本PACF在表8-10中给出。如表8-10（a）所示，序列的样本ACF只在延迟4处有显著的峰值，基于这一事实，建议使用下面的试探性模型： （）式中包含是因为是显著的。参数估计由下式给出： （0.09） （0.16） （）并且有，在参数估计值下面括号内的值是相应的标准差。表8-11给出的残差ACF表明模型是适合的。然而，细心的读者也许会注意到：考察表8-10（b），表中给出序列的样本PACF也只在延迟4处有一个显著的峰值，其数值差不多等于统一延迟4处得样本ACF值。这一切说明纯季节AR过程也可能是很好的试探模型，具体形式如公式 （）估计结果为（0.18） （0.05） （）并有。表8-12给出的残差ACF也表明该模型是适合的。 基于预报误差的模型选择 几个模型描述一个序列都是适应的