初中数学专题：折叠问题精编版

1、专题八折叠问题学习要点与方法点拨:出题位置：选择、填空压轴题或压轴题倒数第二题折叠问题中，常出现的知识时轴对称。折叠对象有三角形、矩形、正方形、梯形等；考查问题有求折点位置、求折线长、折纸边长周长、求重叠面积、求角度、判断线段之间关系等；轴对称性质折线，是对称轴、折线两边图形全等、对应点连线垂直对称轴、对应边平行或交点在对称轴上。压轴题是由一道道小题综合而成，常常伴有折叠；解压轴题时，要学会将大题分解成一道道小题；那么多作折叠的选择题填空题，很有必要。基本图形：在矩形ABCD,将ABF沿BE折叠至FBE,可得何结论？结论：（1）全等；（2）垂直。（1）基本图形练习：如图，将三角形纸片ABC沿过

2、点A的直线折叠，使得AC落在AB上，折痕为AD展开纸片；再次折叠，使得A和D点重合，折痕为EF,展开纸片后得到AEF,则AEF是等腰三角形，对吗？（2）折叠中角的考法与做法：将矩形纸片ABCDg过点B的直线折叠，使得A落在BC边上的点F处，折痕为BE（图1）;再沿过点E的直线折叠，使点D落在BE边上的点D',折痕为EG（图2）,再展开纸片，求图（3）中角a的大小。(3)折叠中边的考法与做法：如图，将边长为6cm的正方形ABC所叠，使点D落在AB边中点E处,折痕为FH,点C落在Q处，EQ与BC交于点G,则EBG的周长是多少？r解题步骤:第一步第二步第三步将已知条件标在图上；设未知数，将未

3、知数标在图上；列方程，多数情况可通过勾股定理解决。模块精讲例1.(2014阳州)已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.(1)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连结AP、OP、OA.求证：OCPsPDA;若4OCP与4PDA的面积比为1:4,求边AB的长；(2)若图1中的点P恰好是CD边的中点，求/OAB的度数；(3)如图2,|在的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连结BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN=PM,连结MN交PB于点F,彳MELBP于点E.试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生

4、变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.例2.（2013?苏州）如图，在矩形ABCD中，点E是边CD的中点，将4ADE沿AE折叠后得到AFE,且点F在矩形ABCD内部.将AF延长交边BC于点G.若里则包=用含k的代数式表示）.GBkABDEC,KZ例3、（2013哂州）如图，点O为矩形ABCD的对称中心，AB=10cm,BC=12cm,点E、F、G分别从A、B、C三点同时出发，沿矩形的边按逆时针方向匀速运动，点E的运动速度为1cm/s,点F的运动速度为3cm/s,点G的运动速度为1.5cm/s,当点F到达点C（即点F与点C重合）时，三个点随之停止运动.在运动过程中，EBF关于直线E

5、F的对称图形是AEB'E设点E、F、G运动的时间为t（单位：s）.（1）当t=s时，四边形EBFB为正方形；（2）若以点E、B、F为顶点的三角形与以点F,C,G为顶点的三角形相似，求t的值；（3）是否存在实数t,使得点B'与点O重合？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.竟用图例4、如图，已知矩形纸片ABCDAD=2,AB=4.将纸片折叠，使顶点A与边CD上的点E重合，折痕FG分别与AB,CD交于点G,F,AE与FG交于点O.(1)如图1,求证：A,G,E,F四点围成的四边形是菱形；(2)如图2,当4AED的外接圆与BC相切于点N时，求证：点N是线段BC的中点；(3)如图2

6、,在(2)的条件下，求折痕FG的长.D'Dr例5、已知AD/BC,ABLAD,点E,点F分别在射线关于BD对称，AC与BD相交于点G,则()A.1+tanZADB=B. 2BC=5CFC. /AEB+22°=/DEFD. 4cos/AGB=6Q01图2AD,射线BC上.若点E与点B关于AC对称，点E与点F鳍课堂练习1、2、（2014连云港）如图1,将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF.如图2,展开后再折叠一次,使点C与点E重合，折痕为GH,点B的对应点为点M,EM交AB于N,则tan/ANE=.图3图43、（2014源州）如图3,在等腰三角形纸片ABC中，A

7、B=AC,/A=50°,折叠该纸片，使点A落在点B处，折痕为DE,贝U/CBE=°.4、（2014明州）如图4,AABC的中位线DE=5cm,把4ABC沿DE折叠，使点A落在边BC上的点F处，若A、2F两点间的距离是8cm,则AABC的面积为cm.5、（2013明州）如图1,在梯形ABCD中，AB/CD,/B=90°,AB=2,CD=1,BC=m,P为线段BC上的一动点,且和B、C不重合，连接PA,过P作PE，PA交CD所在直线于E.设BP=x,CE=y.（1）求y与x的函数关系式；（2）若点P在线段BC上运动时，点E总在线段CD上，求m的取值范围；（3）如图2,

8、若m=4,将APEC沿PE翻折至4PEG位置，/BAG=90,求BP长.如浦U果后巩固习题1、(2014?隹安)如图，在三角形纸片ABC中，AD平分/BAC,将4ABC折叠，使点A与点D重合，展开后折痕分别交AB、AC于点E、F,连接DE、DF.求证：四边形AEDF是菱形.2、(2013?宿迁)如图，在梯形ABCD中，AB/DC,/B=90°,且AB=10,BC=6,CD=2.点E从点B出发沿BC方向运动，过点E作EF/AD交边AB于点F,将BEF沿EF所在的直线折叠得到4GEF,直线FG、EG分别交AD于点M、N,当EG过点D时，点E即停止运动.设BE=x,4GEF与梯形ABCD的重叠部分的面积为y.(1)证明4AMF是等腰三角形；(2)当EG过点D时(如图(3),求x的值；(3)将y表示成x的函数，并求y的最大值.4FBAFBF3E(1>图(2)图(3)3、如图,在矩形ABCM,AB=6,BC=8,把ABC曲着对角线BD折叠，使点C落在C&