导数微分及其应用

1、第二讲 导数、微分及其应用一、 导数、偏导数和微分的定义对于一元函数 对于多元函数 对于函数微分 注：注意左、右导数的定义和记号。二、 导数、偏导数和微分的计算：1）能熟练运用求导公式、运算法则计算导数、偏导数和微分；2）隐函数、参数方程的导数3）高阶导数：特别要注意莱布尼茨公式的运用。例1：求函数在处的阶导数。解：，所以有 （1）利用莱布尼茨公式对（1）两边求阶导数得 当时， 由此可得 例2：求的阶导数。解： 设其中，则有注：计算时注意一阶微分不变性的应用。4）方向导数与梯度三、 导数、偏导数及微分的应用1）达布定理：设在上可导，若则对介于的一切值，必有，使得。证明：在上可导，则在上一定有最

2、大值和最小值。 1、如果异号，无妨设， 由于，由极 限的保号性，当充分接近时有；当充分接近时有 ，这就说明不可能是在上的最大值， 所以一定存在，使得是在上的最大值，由费马 定理可得。 2、对于一般的的情形，设是介于的值，考虑函 数，则有异号，由前 面的证明可得，存在有，即。2）罗尔中值定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理及泰勒中值定理 其中，这里在与之间的某个值。3）一元函数的单调性及极值、最值4）一元函数的凹凸性：在区间上凹：和，若，则；在区间上凸：和，若，则；性质：1、如果在区间上是凹的，则和，若，一定有 ；2、如果在区间上是凸的，则和，若，一定有 证明：因为其中，所以用数学归纳法可证明以

3、上结论。例3：证明：若，则有 证明：考虑函数，因为 所以时，是凹函数。因此对于由性质有 5）多元函数几何应用6）多元函数的极值：拉格朗日乘数法。例4：设在上连续，在上可导，。又在上连续，证明：至少存在一点使得。证明：因为在上连续，所以在上存在原函数，即有。考虑函数，则有，由罗尔中值定理可得至少存在一点使得 因此至少存在一点使得。例5：设函数在上连续，在上可导， （1）如果，证明：至少存在一点，使得。 （2）如果，且对一切有，证明：至少存在一点 ，使得。证明：（1）如果函数在上是常数，则对于任意的都有。下面设不是常数，此种情形下存在使得，无妨设，取，因为，所以存在，当时有 因此我们有，由此我们可

4、得在上的最大值不在端点取得，由最大值和最小值定理和费马定理至少存在一点使得 (2)因为，由夹逼准则得 考虑函数，则有在上连续，在上可导，并且，由（1）的结论可得至少存在一点，使得 。例6：设函数在区间上可微，是个正数，且，证明：存在使得 证明：利用介值定理，存在使得，无妨我们设，对函数分别在以为端点区间上运用拉格朗日中值定理可得，至少存在在之间使得因此我们有 例7：设在上可导，证明：。证明：1）设在内的最大值为，则有 这就得到在上有，特别是； 2）设在上有，设设在内的 最大值为，则有 这就得到在上有， 由数学归纳法可得在上有。同理可得在上有 。例8：设在上有二阶导数，证明：存在，使得 证明：设，将在点处展成三阶泰勒公式当时，（1）当时，(2)得因为在可导，且在之间，由达布定理可得，存在使得，此时即有 例9：设在上二阶可导，证明：对于，存在使得 证明：构造函数，则有，利用罗尔中值定理，存在有，再利用一次罗尔中值定，存在使得，又因为由此可得 即有 例10：设函数在连续，在内可微，且。证明：（1）存在使得； （2）存在使得。证明：（1）考虑函数，因为，由零点定理，存在使得；（2）考虑函数，因为，由罗尔中值定理，存在使得，即有 。例11：设在上无穷次可微，并且满足：存在，使得，；且，求证：在上。四、 练习题1）求函数的阶导数。2）设在上有阶导数，且