导数与微分87444

1、第三章 导数与微分一、本章提要1. 基本概念瞬时速度，切线，导数，变化率，加速度，高阶导数，线性主部，微分 2. 基本公式基本导数表，求导法则，微分公式，微分法则，微分近似公式 3. 基本方法 利用导数定义求导数； 利用导数公式与求导法则求导数； 利用复合函数求导法则求导数； 隐含数微分法； 参数方程微分法； 对数求导法； 利用微分运算法则求微分或导数 二、要点解析问题1 从瞬时速度出发论述导数的实际意义，并列举一些常见变化率. 解析 对于作变速直线运动的质点，若位移变量与时间变量之间的函数关系为，当从变化到时，在间隔内的平均速度为，此式只反映了在点附近速度变化的快慢程度，即为时刻速度的近似代

2、替量，欲使其过渡到精确值，必须使，即时刻瞬时速度为，也即瞬时速度反映函数在时刻函数的变化率（导数），所以导数的实际意义表示函数在此点变化的快慢程度 常见的变化率：曲线的切线斜率是纵坐标对横坐标的变化率，这是导数的几何意义；电流强度是电荷对时间的变化率；线密度是质量对长度的变化率；比热容是热量对温度的变化率，以及人口出生率，经济增长率，化学反应速度等等 问题2 讨论函数的可导性及如何求函数的导数？解析 1. 我们知道，函数的连续性只是可导性的必要条件 函数在点处可导的充分必要条件是左导数与右导数存在并且相等，即 因此，要判定一个函数在某点是否可导，可先检查函数在该点是否连续，如果不连续，就一定不

3、可导，如果连续，再用下面两种方法判定： 直接用定义；求左、右导数看其是否存在而且相等 当然，也可以不先检查连续性而直接用两种方法判定，但对于不连续函数，先检查连续性往往比较方便 2. 由于在科学技术和工程中所遇到的函数大多是初等函数因此，我们把求初等函数的导数作为求导的重点先是根据导数的定义，求出了几个基本初等函数幂函数、正弦函数、余弦函数、对数函数与指数函数的导数然后再用定义推出了几个主要的求导法则求导的四则运算法则、复合函数的求导法则与反函数的求导法则 借助于这些法则和上述的几个基本初等函数的导数公式，求出了其余的基本初等函数的导数公式在此基础上解决了基本初等函数的求导问题下面是我们解决这

4、个问题的思路：还需指出的是关于分段函数在分界点的求导问题 例如，有一定义于的函数 其中与分别在区间与可导，为其分界点，求 时，由于，所以；时，由于，所以；在的左、右邻域，由于要从两个不同的表达式与去计值，所以求必须先用左、右导数的定义求与如果它们都存在而且相等，那么=在这里特别注意求左、右导数要按照定义 ， 我们不要因为当时，而认为. 在时，是对的，这在上面已经说过但不能误认为就是，有时可能不存在，如下例所示：证明函数 在处的导数不存在因为 ， ，所以不存在 问题3 为什么说复合函数求导法是函数求导的核心？复合函数求导法的关键是什么？解析 复合函数求导法是函数求导的核心在于：利用复合函数求导法

5、可以解决复合函数的求导问题，而且还是隐含数求导法、对数求导法、参数方程求导法等的基础 复合函数求导法的关键是：将一个比较复杂的函数分解成几个比较简单的函数的复合形式. 在分解过程中关键是正确的设置中间变量，就是由表及里一步步地设置中间变量，使分解后的函数成为基本初等函数或易于求导的初等函数，最后逐一求导 求导时要分清是对中间变量还是对自变量求导，对中间变量求导后，切记要乘以该中间变量对下一个中间变量（或自变量）的导数当熟练掌握该方法后，函数分解过程可不必写出例1 设，求. 解 令，由复合函数求导法则有 ，如果不写中间变量，可简写成 ，在相当熟练之后，可进一步简写成 问题4 微分概念在实际应用中

6、有何实际意义？微分与导数有何区别？解析 微分概念的产生是解决实际问题的需要计算函数的增量是科学技术和工程中经常遇到的问题，有时由于函数比较复杂，计算增量往往感到困难，希望有一个比较简单的方法对可导函数类我们有一个近似计算方法，那就是用微分去近似代替，根据函数的微分定义知 是函数增量的线性主部，它有两个性质：（1）是的线性函数；（2）与之差是的高阶无穷小（当）正是由于性质（1），计算的近似值是比较方便的，同时由于性质（2），当很小时，近似程度也是较好的因此，一些科学工作者、工程师以及在实际工作中必须同函数的增量或导数打交道的人，在自己所要求的精确范围内，往往就用微分去代替增量，用差商代替导数 微

7、分还有一个重要性质，就是微分形式不变性，即不论是一个自变量还是一个变量的函数，的微分这一形式不变需要说明一点是：当为自变量时，作为定义，；当是另一个变量的函数时，微分与导数是两个不同的概念微分是由于函数的自变量发生变化而引起的函数变化量的近似值，而导数则是函数在一点处的变化率. 对于一个给定的函数来说，它的微分跟与都有关，而导数只与有关. 因为微分具有形式不变性，所以提到微分可以不说明是关于哪个变量的微分，但提到导数必须说清是对哪个变量的导数三、例题精解例2 若在点处可导，求 解 因为在点处可导，所以 因此 例3 设当为何值时，在处连续且可导. 解 因为，所以欲使在处连续，须有 ，由此解得，又

8、 ， ，要使存在，则故当时，在处连续且可导例4 设函数可微，求函数的微分解一 因为，所以解二 由一阶微分形式不变性得 例5 设，求. 解一 利用乘积求导法则 . 继续用乘积求导法则求导得 ，所以 解二 对函数先用和差化积公式得 ， ， ，所以 解三 利用“可导的奇（偶）函数的导数为偶（奇）函数”. 由为奇函数知为偶函数，为奇函数，又因为奇函数在处函数值为零，知. 比较上述方法知解三较优. 例6已知摆线的参数方程求解一 利用参数方程求导法求导 ， 解二 利用导数为微分之商求得 ， 例7 求由确定的在处的切线方程. 解 方程两边取对数，得 ，即，方程两边对求导得 ，于是，所以，切线方程为，即例8

9、设有一深为18cm，顶部直径为12cm的正圆锥形漏斗装满水，下面接一直径为10cm的圆柱形水桶（如图所示），水由漏斗流入桶内，当漏斗中水深为12cm，水面下降速度为1cm/s时，求桶中水面上升的速度. 解 设在时刻漏斗中水面的高度，漏斗在高为处的截面半径为，桶中水面高度. 建立变量与的关系，由于在任意时刻，漏斗中的水与水桶中的水量之和应等于开始时装满漏斗的总水量，则 ，又因，所以，代入上式得 2 与之间的关系将上式两边对求导得 ， 所以 ，由已知，当时，代入上式得 ，因此，当漏斗中水深为，水面下降速度为时， 桶中水面上升速度为. 四、练习题1.判断正误 若函数在点处可导，则在点处一定可导； （

10、 × ）解析 函数在一点可导的充要条件是函数在该点的左右导数存在并且相等如函数在处可导，而 在处左右导数存在但不相等，所以在处不可导 若在点处可导，则在点处一定可导； （ × ）解析在一点可导，在该点不一定可导如函数在处可导，但在处却不可导 初等函数在其定义域内一定可导； （ × ）解析 初等函数在其定义区间内连续，但连续不一定可导如函数是初等函数，其定义区间为，但 在点处却不可导 若在可导且为奇（偶）函数，则在该区间内，为偶（奇）函数； （ ）解析 若为奇函数，即，则由导数定义，所以为偶函数 若为偶函数，即，则由导数定义 ，所以为奇函数 若在点处可微，则在点处也

11、一定可导. （ ）解析 因为函数在一点处可微和可导是等价的，所以命题正确.2.选择题在处（ A ）；（A）连续； （B）不连续； （C）可导； （D）可微 解析 ，所以，且，则，所以函数在处连续；另一方面， ， ，左右导数存在但不相等，所以函数在处不可导，也不可微的导数为（ D ）；（A）； （B）； （C）；（D） 解析 ，由复合函数求导法下列函数中（ A ）的导数等于；（A）；（B）；（C）；（D） 解析 （A）， （B），（C）， （D）若可导，且，则有（ B ）；（A）； （B）；（C）； （D）解析 可以看作由和复合而成的复合函数由复合函数求导法 ，所以 已知，则（ C ）（A）；

12、（B）； （C）； （D） 解一 ，则，依次类推，可知，所以解二 ，所以3. 填空题1 曲线上点处的切线方程为；解 曲线在点的切线斜率为 ，所以曲线在点处的切线方程为 作变速直线运动物体的运动方程为，则其运动速度为 ，加速度为；解 已知变速直线运动的速度是位移的变化率，加速度是速度的变化率，则有运动速度为 ，加速度为 已知，则；解 （由导数定义）；解 若可导，则的导数为解 由，复合而成，由复合函数求导法，有 4. 解答题 设，求；解 ， 所以 2 已知求；解 时，时，所以 3 求曲线的切线，使该切线平行于直线；解 由隐函数求导法有 ，所以曲线切线的斜率为 ，设切点坐标为，则 ，又知所求切线平行于直线，所以 ，联立、，解得切点坐标为和，因此，所求切线方程为 和，即 和 设在点处连续，且（为常数），证明在点处可导；证 ，则 ，又因为在点处连续，所以，则 ，于是 ，所以在点处可导，且 有一圆锥形容器，高为10cm，底半径为4cm，现以5cm3/s的速度把水注入该容器，求