定积分的应用61787

1、第八章 定积分的应用第一节 用定积分求平面曲线的弧长和平面图形的面积一、定积分应用的微元法“微元”字面上理解：微小的、细微的元素，它具备以下三点特性：1.与原物质属性相同，如：弧线长的微元仍是线长；面积的微元仍是面积；体积的微元仍是体积；变力做功的微元仍是功.2.比原物质要微小，如：弧长微元是很短的线长；面积微元是很小的面积；体积微元是很小的体积；变力做功的微元是很小的功.3.比原物质单纯、计算方法简单，如：弧长微元是直线的长度；面积微元是小矩形的面积；体积微元是小柱体的体积；变力做功的微元是恒力做功.微元法，一句话“简单方法解决复杂问题的方法”. 具体说是“用最简单、最原始的公式写出微元，从

2、而积分解决一个较复杂的物质量的计算问题”的方法. 也就是说谓的“常代变”、“直代曲”、“匀代不匀”的局部线性化思想.二、平面曲线的弧长1.在平面直角坐标系下，求曲线上一段的弧长（如图811）.图811在区间上的任意点对应的点处，作曲线的切线，取其对应自变量增量为的一段作为曲线弧的近似值（“直代曲”），即.称为弧长微元，对其积分，则得所求弧长例811 求曲线上一段的弧长.解 .例812 求悬链线 上一段的弧长（如图812）.解 图812.2.用参数方程表示的函数的弧长计算，如曲线上一段的弧长.这时即则曲线的弧长.例813 求摆线 上的一拱的弧长（见附录B 常用平面曲线及其方程）.解，3.在极坐标

3、系下，求曲线上一段的弧长.即则例814 求阿基米德螺线上一段的弧长（见附录B 常用平面曲线及其方程）解 （查积分表，见文献文献×）=.三、平面图形的面积1.在平面直角坐标系下，求由与上下两条曲线在区间上所围成的平面图形的面积.图813在轴上、之间任取一点，过点做轴的垂线过垂线与上曲线的交点和下曲线的交点做轴的平行线最后截得宽的一个小矩形（如图813阴影部分）我们所要的面积微元就是这个小矩形的面积即则.其中，若即下曲线退化成轴，则所求面积此即定积分的几何意义：曲边梯形的面积.例815 求由与及所围成的平面图形的面积.解图814由图814得 则.例816 求由与围成的平面图形的面积.解法

4、一由解得两交点，（如图图815）图815；解法二 前面的积分是以为积分变量的，下面我们再以为积分变量试试（如图816）图816.对于这个例题两种解法差别不大，但对有些题差别可就大了.例817 求由与所围成的平面图形的面积.解由解得两交点，（如图817）.图817.2.用参数方程表示的函数构成的平面图形面积. 例818 求星形线 所形成的面积（如图818）.解 图818.可见，在平面直角坐标系下，面积微元是计算公式最简单的小矩形面积.进一步思考，在极坐标系下呢？我们知道极坐标系下计算公式最简单的不是小矩形面积而是小扇形面积.3.在极坐标系下，与内外两条曲线在之间形成的平面图形的面积.图819在以

5、极点为起点的射线至之间任取一角做射线（如图819）射线与内外两曲线分别相交于、两点分别过这两个交点作以极点为圆心的圆弧线（轴的平行线）最后截得一个圆心角为的小扇形（阴影部分）此小扇形面积即为极坐标系下的面积微元.即则例819 求圆与心脏线所形成的月牙状图形的面积.解 （如图8110）图8110.当内曲线退化成极点时，得到曲线在之间形成的平面图形的面积微元.即则 .例8110 求心脏线的面积.解 （如图图8111）图8111.思考题8.11对例817 尝试关于积分求解，并总结规律2由与两条曲线及与两条直线所围成的平面图形的面积，这个结论正确吗？练习题8.11.求曲线上一段的弧长.2.已知圆的参数方程为，试用微元法求圆的周长.3.求对数螺线上一段的弧长.4.求由与及围成的平面图形的面积.5.求由与及围成的平面图形的面积.6.求双纽线所形成的平面图形的面积.练习题8.1答案1.求曲线上一段的弧长.解.2.已知圆的参数方程为，试用微元法求圆的周长.解.3.求对数螺线上一段的弧