实验八微分方程

1、【实验八】 微分方程【实验目的】 通过实验，学习在Mathematica系统下求微分方程的通解和数值解；画出由微分方程通解所决定的积分曲线族；掌握在Mathematica系统下利用微分方程解决有关实际问题的方法.【实验准备】一、微分方程的通解在Mathematica系统下利用命令求微分方程的通解、特解以及解微分方程组，其调用格式如下：命令意义求微分方程的通解.求微分方程的特解.求微分方程组的通解.求微分方程组的特解.注：(1)在上面命令中，由于是的函数，因此函数以完整的形式表示. (2)在使用前要用命令清除变量以前的定义.例1 求微分方程的通解，并画出由通解决定的积分曲线族.解 (1)求微分方

2、程的通解：In1:= Out1:= (2)画出积分曲线族：由于Out1所输出的微分方程的通解含有独立的常数，因此在画积分曲线时，首先用命令作出在指定的范围后所得微分方程的一组特解的图形，然后利用 ()命令将生成这组图形，并在同一坐标系下显示.In2:= Out2:= In3:= Out3:= 注：在In3中c，-6，6，1表示c从-6到6每增加1取一个值.例2 求方程的通解，并画出由通解决定的积分曲线族.解 In1:= Out1:= In2:= Out2:= In3:= Out3:= 例3 求方程满足初始条件，的特解，并画出由该特解所决定的积分曲线.解 In1:= Out1:= In2:= O

3、ut2:= 例4 求微分方程组 ，当，时的特解.解 In1:= Out1:= 二、微分方程的数值解虽然许多微分方程无法求得其通解，但是，只要微分方程式含有初值问题，且属于常微分方程式，则可以用命令求得该微分方程的数值解.由于的输出微分方程的数值解是，是数值解的定义区间.因此，我们可以根据函数查询某一点的函数值. 命令的调用格式如下：命令意义 求微分方程的数值解.求微分方程组的数值解.选择项命令意义表示数值解的精确度为.最大步数.最大步长.注：用求出数值解后可用下面命令画出积分曲线：例5 在区间0, 10上求微分方程在处的数值解，精确到，并作出数值解的积分曲线. In1:= Out1:= In2

4、:= Out2:= In3:= Out3:= 【实验问题】牛顿加热与冷却定律：一块热的物体，温度下降的速度与其自身温度同外界温度的差值成正比；一块冷的物体，温度上升的速度与其自身温度同外界温度的差值成正比.问题：当一谋杀案发生后，尸体的温度从原来的 开始变凉，假设两个小时后尸体温度变为，并且设周围空气温度保持不变. 1.求自谋杀发生后，尸体温度是如何作为(小时)的函数而变化的； 2.画出温度时间曲线； 3.尸体最终的温度将如何；4.若尸体被发现时的温度是，时间是下午4时，则谋杀案何时发生.模型建立：设尸体在时刻的温度为，则温度的变化速度为，由于热量总是从温度高的物体向温度低的物体传导，从而使得

5、尸体是随时间的增加而逐渐冷却的，因此恒为负值.在初始时刻时，尸体的温度是，并且周围空气温度保持 不变.由牛顿冷却定律：其中：是比例常数. 计算过程：(1)求In1:= Out1:= 将，代入，求出比例常数的数值解.In2:= Out2:= 因而得到 (2)作出温度时间曲线图In3:= ;In4:= Out4:= (3)考察100小时、1000小时、10000小时、后尸体的温度In5:= Out5:= In6:= Out6:= In7:= Out7:= 结论：尸体的最终温度为.(4)将温度代入求时刻：In8:= Out8:= 谋杀案大约发生在发现尸体8.5小时以前，即在上午7:30左右.【实验任务】一、求下列微分方程的通解.1.； 2.； 3. .二、求下列微分方程满足初始条件的特解1.，；2. ，.三、放射性废料的处理问题美国原子能委员会以往处理浓缩的放射性废料的方法是：把这些废料装入密封的圆桶里，然后扔到水深为90多米的海底.生态学家和科学家们担心圆桶下沉到海底时与海底碰撞而发生破裂，从而造成核污染. 原子能委员会认为这种说法是不可能的.为此工程师们进行了碰撞试验，发现当圆桶下沉速度超过12.2m/s与海底碰撞时，圆桶就有可能发生破裂.为了避免圆桶被碰裂，需要计算圆桶沉到海底时的速度是多少？这时已知圆桶重量是