实战手册数学题型通解

1、题型通解思维，我们来看一下历年高考真题，看看类题型是不是能够用一种方法或一种思维进行解答。为了不体现题目的特殊性，我们用0508全国I卷的最后一题。发现都是数列或函数或不等式题，没关系，题型不一样，照样能固定的思维解法： 1、 严格按照题目的要求，判断要我们干什么2、 题目给的条件和我们要求的差距点是什么3、 弥补这个差距4、 得出这个结论 固定的步骤：1、 根据定义得出结论2、 用求同存异的思想进行条件转换3、 若是证明，数列用数学归纳法，函数用式子变形先看题目，再看解答，是否存在这样的共性呢？（05全国卷）已知函数 （）求的单调区间和值域； （）设，函数。若对于任意总存在，使得成立，求a的

2、取值范围。（06全国卷）设数列的前项的和，（）求首项与通项；（）设，证明：（07全国卷）已知数列中，（）求的通项公式；（）若数列中，证明：，（08全国卷）设函数数列满足，（）证明：函数在区间是增函数；（）证明：；（）设，整数证明：解答与解析：（05全国卷）解析：本题看似式子复杂，但是第一问直接可根据定义去做，这个分数必须拿到。根据定义得出以下式子：解：（I）对函数求导，得到这步几乎大家都会，题目问的是的单调区间和值域，很多人看到这个式子不敢往下分析，其实仍旧跟据定义： 令解得然后做表分析即可。思考：凭什么令？ 当变化时，的变化情况如下表： 所以，当时，是减函数；当时，是增函数.当时，的值域为4

3、，3.第二问很多人看题目就晕菜了，其实这道题即使你不会分析，大胆的往下做，都能把题目做对，我们按照思维步骤来，题目给的条件和我们要求的差距点是什么？这道题的差距点虽然较大，但是用这种求差值的思想是能一步步走下去的，题目给的是g(x),x1和x0,并且给了范围我们，要我们求解a的范围，要想求a的值，必须列出a的表达式，a的表达式想要列出，必须从g（x）入手，题目给的信息除了区间就没有其他能利用的条件了。既然题目给的是区间，我们不妨：（II）对函数求导，得【凭什么进行求导？目的是什么？】到了这一步，由于题目告诉我们，所以当时，因此当时，为减函数，从而当时有这个就是我们所要的缺失条件。到这里可能同学

4、们清楚了为什么要进行求导，因为题目给了我们取值区间，要想求出a值，只要判断这个函数是增减性就行了，这就是条件差异弥补的推导思想。由于知道函数的增减性，就容易了，马上可列出a的表达式： 又即当时有有人说这个不是表达式，还是个未知数，没关系，我们再用同样的思想去走，发现现在能利用的条件也异常清楚了（因为就这个没用上了）： 任给，存在使得， 则 即 解式得 ；解式得又，故a的取值范围为评析：这道题式子复杂，05年高考时候正确率非常之低，但是其中的解题过程并不复杂，思维方向也十分明确，但是因为进行多个概念进行转换，条件隐蔽的相对较深。数学题的核心就是知识点与逻辑能力的结合，但是总的思想是异常相似的，几

5、乎全部的解答题都可以用一个思维来做，就是“条件差异弥补法”和“必要性思维”。所谓的“必要性思维”指的是要想获取某个结果，必须获得的前提是什么，多属于逆推，两者的道理是一样的。我们看下道题，看看是否能够依旧用上这种思维：（06全国卷）解析：题目直接要求我们求首项和通项，由于我们知道通项和Sn公式，就能直接根据定义来做。解: ()由 Sn=an×2n+1+, n=1,2,3， , 得 a1=S1= a1×4+ 所以a1=2.再由有 Sn1=an1×2n+, n=2,3，4,将和相减得: an=SnSn1= (anan1)×(2n+12n),n=2,3, 做到

6、这一步相信大家都会，那么我们要求an公式，通过这个式子，我们发现差距点在anan1，同时可以2n+12n也是相差一次，因此直接提出后，可以得出： an+2n=4(an1+2n1),n=2,3, , 这个就是我们所弥补的缺失点。因而数列 an+2n是首项为a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2n=4×4n1= 4n, n=1,2,3, , 因而an=4n2n, n=1,2,3, , 做到这里，我们要问自己凭什么这么转化，我们所求的an和得到的结果(an与an1)存在差异点，要想把这个差异点弥补，就把他们之间的关系列出，就能得出结论。第二问是数学证明，首先可以考虑数学归纳法证

7、明，但是这题题设与我们得到的结论差距较少，直接求解较快，如果为求稳妥，建议用数学归纳法。我们还是照着来，第一，题目让干嘛就干嘛，千万别多想。题目给的是这个式子，那么必须求出Sn。()将an=4n2n代入得 Sn= ×(4n2n)×2n+1 + = ×(2n+11)(2n+12) = ×(2n+11)(2n1) ，然后求出Tn和（问题与题目的差距点，并想办法补上） Tn= = × = ×( )所以, = ) = ×( ) < 评析：这题本身难度不高，但是第一步的难度较大，但是用上必要性思维和求差距思想，要想获得an通项，

8、必须结合起来解答，全部的难点仅此而已。（07全国卷）解析：发现这题的做法思路完全和06年的一致，显然不能一步到位，还是先求出an与某个数的关系式，题目告诉我们，说明差距体现在 上，用这个式子来决定我做题的方向：解（）由题设：， 所以，数列是首项为，公比为的等比数列，即的通项公式为，这道题难在第一步不知道如何去想，题目告诉我们的条件似乎比较棘手，但是用这种“追求差异”并想法弥补的思维定式去做，很容易就将题目解答出来了。对于高考，方法越简单越实用越好，尤其是第二步给出了个看似复杂的式子，我们没有必要花费过多的精力推导，直接用数学归纳法即可。（）用数学归纳法证明（）当时，因，所以，结论成立（）假设当

9、时，结论成立，即，也即当时， ，又，所以有也就是说，当时，结论成立根据（）和（）知，评析：整体难度其实不大，但是看起来比较有难度。我们只要沿用这种求同存异的“补差”思想，还是非常容易做的，甚至连计算都不难。（08全国卷）解析：看看08高考题型结合函数了，依旧用同一个思想，第一步，依旧是题目让干嘛就干嘛，求函数增减性，直接用定义：解：（）证明：，故函数在区间(0,1)上是增函数；第二步要证明，发现第一步函数的增减性可以直接利用，直接用数学归纳法。（）证明：（用数学归纳法）（i）当n=1时，由函数在区间是增函数，且函数在处连续，则在区间是增函数，即成立；（）假设当时，成立，即那么当时，由在区间是增

10、函数，得.而，则，也就是说当时，也成立；根据（）、（）可得对任意的正整数，恒成立.第三步较为复杂，没关系，这题表面是数列，其实考察的是不等式，无论是哪类题型，其根本点还是从条件中寻求差异，要我们证明，给的条件是设，整数，依旧是以“必要性思维”来思考，要想获得这个结论，必须列出他们的表达，要想列出他们的表达，必须利用有这两个字母的条件，我们发现题目有和，先得出以下： （）证明：由由此往下写：到了这里，几乎全部出来了，1， 若存在某满足，则由第二步可知：2， 若对任意都有，则，即成立. 解析：这道题出的十分经典，即考察定义，又综合了多个知识点，同时式子看起来比较能够“吓唬”人，思维跳跃过程很大，但是计算本身并不复杂，这题失分率非常之高，第一步的过程就把很多学生难倒，这是不应该的，其实无论多难的数学题，解题的根本方法是从题目本身入手，题目让干嘛就干嘛，要我们做什么就自然而然的做，而