导数应用论文(1)

1、 毕 业 设 计 (论 文)题 目：导数的应用院 系：数学与信息科学系专 业：信息与计算科学专业班 级：2008级本科2班姓 名：付洋洁学 号：20080502074指导教师：崔永刚2012年5月29日导数的应用【摘要】导数是连接初等数学与高等数学的桥梁，用它可以解决许多数学问题，它是数学分析中的热点.通过例题从简单应用和综合应用来说明导数的应用，如在函数单调性、极值，不等式证明、实际问题应用介绍，【关键词】导数 初等数学 高等数学 应用applications of the derivative 【Abstract】Based on the basic theories of differe

2、ntial and derivative, this paper aims to solve the questions related in mathematics and make an illustration ofthe application of derivative and differential through the simple application and comprehensive application by instances, such as introduction of application in functional monotonic, extrem

3、e, inequality proof and practical questions, and to introduce the methods of using derivatives and differential in higher mathematics to solve questions of quadrate infinitive limit. As well as mineralizing the nonlinear function and the simplification of complex calculation by differential in pract

4、ice, introducing derivative into the economics research to turn the objects from constant into variables, thus movements and dialectics entering economics, which is a landmark with a vital significance in the history of Economics. The importance of derivative and differential, along with the wide ap

5、plication in mathematics and daily life will both be illustrated in this paper. 【Keywords】derivative differentia functions extreme approximation 目录1 引言.12导数的概念.3导数的求法.3.1显函数导数.导数的四则运算.复合函数与反函数求导法则.基本初等函数求导公式.3.2隐函数导数.3.3由参数方程所确定的函数求导法.3.4分段函数的导数.4导数的性质.5导数的应用.5.1导数在函数中的应用.利用导数判断函数的单调性.利用导数判断函数凹凸性及拐点

6、.利用导数求函数的极值和最值.利用导数知识描绘函数图形.利用导数求参数问题.5.2导数在曲线中的应用.5.3利用导数研究方程的根.5.4应用导数证明不等式.5.5导数在数列中的应用.5.6利用导数求极限洛必达法则.5.7物理学中的导数.5.8经济学中的导数应用.结论.参考文献.致谢.1引言导数与微分的知识和方法在数学的许多问题上，能起到以简驭繁的作用，尤其体现在判定函数相关性质，曲线的切线，证明不等式，恒等式，研究函数的变化形态及函数作图上.导数是微分学中重要的基础知识, 是研究函数解析性质的重要手段，在求函数的极值,最值方面起着“钥匙”的作用.通过大学的课程，我们对微观经济学一些概念，也有了

7、一定的认识.由导数定义利用极限与无穷小量之间的关系，上式可写即函数在处的改变量课表示成两部分：的线性部分与的高阶无穷小部分.当充分小时，函数的改变量可由第一部分近似代替而计算函数改变量的精确值，微分概念依赖于导数概念，但它具有独立的意义，它是函数的局部线性化.在数学上最容易处理的函数是线性函数，借助微分可使一大批非线性函数转化为线性函数.一般来说是较繁琐、较困难的，但是计算它的近似值相对要容易些.2 导数的概念2.1定义导数的定义左导数：右导数：可以证明：可导连续即：可导是连续的充分条件，连续是可导的必要条件.导函数：2.2 导数的几何意义图1曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的

8、斜率.即（是过A点的切线的倾斜角）（如图1）则，曲线在点A处切线方程为：3 导数的求法3.1显函数导数3.1.1导数的四则运算3.1.2复合函数与反函数求导法则 复合函数求导法则 （反函数求导法则）3.1.3基本初等函数求导公式； ； ； ； ； ； ； ； ； .3.2隐函数导数如方程，能确定，只需对方程两边对求导即可.注意3.3 由参数方程所确定的函数求导法参数方程，则：为的复合函数，所以：3.4分段函数的导数对分段函数求导时，在分段点处必须用导数定义来求导，而在每段内仍可用初等函数求导法则来求导.分段函数点处极限问题，归纳为该点处在左、右两侧的导数是否一致以及该点处是否连续的问题.4 导

9、数的性质前面阶绍了导数的基本知识，现将用导函数自身的定义来探讨与导数之间的联系性质1：若函数是偶函数且可导，则其导函数是奇函数.证明：由是偶函数，有 则：所以，是奇函数同理：若函数是奇函数且可导，则其导函数是偶函数.性质2：若函数是周期函数且可导，则其导函数也是周期函数.证明：是周期，有所以，是周期函数性质3：若函数可导且图象关于直线对称，则其导函数图象关于点对称证明：函数图象关于对称，有且点在的图象上，所以图象关于点对称同理：若函数可导且图象关于点对称，则其导函数图象关于直线对称5 导数的应用5.1 导数在函数中的应用导数是对函数的图像与性质的总结与拓展，导数是研究函数单调性极佳、最佳的重要

10、工具，广泛运用在讨论函数图像的变化趋势及证明不等式等方面.在掌握求函数的极值和最值的基础上学习用导数解决生产生活中的有关最大最小最有效等类似的应用问题5.1.1利用导数判断函数的单调性一个函数在某个区间内的单调增减性的变化规律，是在研究函数图形时首先考虑的问题.在中学，已经知道函数在某个区间内单调增减性的定义.下面利用导数这一工具来判断函数增减性及其确定单调区间从图形直观分析：若在内，曲线上每一点的导数都大于0，即，利用导数的几何意义知，在内，曲线上每一点的切线斜率都为正，这时曲线是上升的，即函数是单调递增的（如图2）.反之，若在内，曲线上每一点的导数都小于0（即曲线上每一点的切线斜率都为负）

11、，这时曲线是下降的，即函数是单调递减的（如图3）对于上升或者下降的曲线，它的切线在个别点可能平行于轴（此点的导数值为0，即）.因此，函数的增减性反映在导数上，有如下定理：定理1：设函数在区间内可导，则：若时恒有，则在单调增加；若时恒有，则在单调减少.例1：求函数单调递增区间解：因，由 得所以，单调递增区间为例2：已知函数，试讨论函数单调性.解：因，所以（1）当时，令得； 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而在上单调递减；（2）当时，令得或； 若，则，从而在上单调递减； 若，则，从而在上单调递增； 若，则，从而在上单调递减.5.1.2利用导数判断函数凹凸性及拐点在研究函数图形的变化状况时，知

12、道它的上升和下降顾虑很有好处，但不能完全反映它的变化规律.如图4所示的函数的图形在区间内虽然是一直上升的，但却有不同的弯曲形状.因此，研究函数图形时，考察它的弯曲形状以及扭转弯曲方向的点是必要的.从图4看出，曲线向下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线下方，曲线向上下弯曲的弧度在这段弧段任意点的切线上方，据此给出定义如下：定义1: 在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线上方，则称曲线在该区间内是上凸的（也称在该区间内此函数为凹函数）；在某区间内，若曲线弧位于其上任意一点的切线下方，则称曲线在该区间内是下凹的（也称在该区间内此函数为凸函数）那么曲线的凹凸性与导数之间有什么关系呢？按定义是很难判断

13、凹凸性的，对于凹凸性可以用二阶导数来确定.即有判定定理.定理2：设函数在区间上具有二阶导数，当时，则曲线为凸（此时在该区间为凹函数）当时，则曲线为凹（此时在该区间为凸函数）若曲线呈现凸状，由图5（1）直观看出：当增大时，切线斜率随之变小，说明一阶导数函数在上为减函数，由函数单调性判别法，必有，即.说明：若曲线为凸性，必有.同理，若曲线为凹，必有.从另一角度讲，该定理为二阶导数的几何意义.定义2：若函数在点的左右邻域上凹凸性相反，则点叫做曲线的拐点（注意拐点不是）由拐点的定义可知，判断某点是否拐点，只需看该点左右两侧二阶导数是否异号，与该点一阶、二阶导数是否存在无关例3求函数的凹凸区间及拐点.解

14、：因，则令，得.所以0+0-0+凹1拐点凸 拐点凹5.1.3利用导数求函数的极值和最值（1）利用导数求函数的极值函数由增加变为减少或由减少变为增加，都经过一个转折点，即图中的“峰”点和“谷”点，这些点是在研究函数中是十分重要的.定义2设函数在点及其某邻域左右两侧附近有定义，若对该邻域内的任意点（）恒有，则为极大值；若成立，则为极小值.应当注意：极值是一个局部概念，它只限于的某一邻域内，通过函数值相比较才能显示出来.在一个区间上，函数可能有几个极大、极小值.可能会有极大值小于极小值.定理2 若是函数的极值点，则或者不存在.注意：是点为极值点的必要条件，但不是充分条件.如，但点不是函数极值点；函数

15、在导数不存在的点也可能有极值.如，不存在，但点不是函数极值点（如图7）将导数为0的点或者不可导的点统称为驻点.因此函数的极值必在驻点处取得，但驻点不一定是极值点，所以在求得函数极值的驻点后，就是找到了所有极值可疑点.下面阶绍函数在驻点或导数不存在的点取得极值的充分条件，即极值的判断方法.定理3（极限存在的充分条件）设在连续，在某邻域内可导，若（左侧）时，而（右侧），则函数在处取极大值若（左侧）时，而（右侧）时，则函数在处取极小值若两侧不变号，则在处无极值.该定理的直观含义为：函数由单调增加（或单调减少）变成单调减少（或单调增加）的转折点，即为极大值点（或极小值点）.例4求函数的单调区间和极值解

16、：，当时，；而时不存在.因此，函数只可能在这两点取得极值.+不存在-+极大值极小值由表可见，函数在区间，单调递增；在区间单调递减.在处有极大值，在点处有极小值.若函数的二阶导数存在，有如下的判定定理；定理4（极限存在的充分条件之二） 设，存在，若，则为的极小值；若，则为的极小值；若，本方法无效，需用极限存在的充分条件之一这个定理来进一步判定.因为，则曲线在点的左右两侧呈凹状，因此为极小值；反之，若，则曲线在点的左右两侧呈凸状，因此为极大值.例5求函数的极值.解：如图8，因为，令，得驻点.所以，又因为，所以函数在处取得极小值.因为，则定理应用定理4失效.下面利用定理3.当时，；当时，所以函数在处

17、无极值同理函数在处去极值（2）利用导数求函数的最值在经济活动和日常生活中，常遇到在一定条件下.怎样用料最省、成本最低、效率最高或者效益效率最好的问题，这些归纳到数学问题上，即为函数的最大值或最小值问题.假定函数在闭区间上连续，则必存在最大、最小值，其判定方法为：找出可能为极值点的函数值（即区间内使或不存在的所有点的函数值）；计算出端点处的函数值；比较极值和端点值的大小；其中最大的就是函数在闭区间上的最大值，其中最小的就是函数在闭区间上的最小值.最值与极值是不同的：极值反映的是函数形态，即极值只是与该点在附近的函数值比较而言的，而对于远离该点的情形不予考虑；而最值则是函数整体形态的反映，它是指函

18、数在所考察的区间上全部函数值中的最大者（或最小者）.例6求函数在区间上的最大、最小值.解：，令即解得，变化时，的变化如下表：0+0由上表可知最大值是，最小值为例7已知，函数，当为何值时，取得最小值？解：，由，得，变化时，的变化如下表：+00+极大值极小值当时，.而当时，；时，.所以当时，取得最小值.（3）利用导数求函数值域例8、求函数的值域.解：函数的定义域为，又可见当时，所以在上是增函数.而，所以函数的值域是（4）实际问题中导数的应用例9甲方是一农场，乙方是一工厂，由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定的净收入.在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润（元

19、）与年产量（吨）满足函数关系式.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方元（以下称为赔付价格）.(1) 将乙方的年利润（元）表示为年产量（吨）的函数，并求出乙方获的最大利润的年产量；(2)甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格是多少？解 （1）由题意得，乙方的实际年利润为：因为，所以当时，取的最大值，因此乙方获的最大利润的年产量（吨）. (2)设甲方在索赔中获得的净收为元，则，将乙方获的最大利润的年产量代入上式，可得到甲方净忙收入与赔付价格之间的函数关系式，令得.因当时；当时，所以当时，可取最大值.

20、故甲方向乙方要求的赔付价格是20（元/吨）时，可获得最大净收入.5.1.4利用导数知识描绘函数图形（1）曲线的渐近线定义3 若曲线上的一点沿着曲线趋于无穷远时，该点与某天直线的距离趋于0，则称此直线为曲线的渐近线.（水平渐近线）若曲线的定义域是无限区间，且有：，或，则直线为曲线的水平渐近线.（垂直渐近线） 若曲线有：，或，则直线为曲线的垂直渐近线.（斜渐近线）若成立，则是曲线的一条斜渐近线.由有：所以 即 将求出并代入即可确定例10、求曲线的渐近线解：因，所以是曲线的垂直渐近线由和可知是曲线的斜渐近线（2）函数图形的作法描绘图形的一般步骤如下：确定函数的定义域、值域及函数初等形态（对称性、周期

21、性、奇偶性）等；求出，；列表讨论函数单调性、凹凸性及极值、拐点；确定曲线的渐近线；由曲线方程找出一些特殊点的坐标；用光滑曲线连接，画出的图象.例11、作函数的图形解：函数的定义域为，令，得；令，得.列表如下：0+不存在0+不存在+拐点极小值不存在又为曲线的水平渐进线为曲线的铅垂渐进线曲线经过，这几个点通过上面的讨论可大致绘出图形（如图9）5.1.5利用导数求参数问题利用导数求函数中参数的范围，它是利用导数求函数单调性、极值、最值的延伸.例12已知向量，若在区间(-1,1)上是增函数，求的取值范围. 解：由向量的数量积定义，又在区间(-1,1)上是增函数，则在 (-1,1)上恒成立.令在区间-1

22、,1上，则，故在区间(-1,1)上使恒成立，只需即可，即.即的取值范围是.5.2导数在曲线中的应用曲线在点处的导数在几何上表示为：曲线在点A处切线的斜率.即.利用导数这一几何意义可以帮助我们解决解析几何中有关曲线的一些问题例13已知抛物线和抛物线，当a取何值时，和有且仅有一条公切线？写出公切线的方程.解：函数的导数，曲线在点的切线方程是，即 （1）函数的导数，曲线在点的切线方程是，即 （2）若直线是过P和Q的公切线，则（1）式和（2）式都是的方程所以消去得方程，由于公切线仅有一条，所以当，即时解得，此时公切线方程为.例14已知P是抛物线上的动点，求过P到直线的最小距离.解：（如图10）由得易知

23、上的点到直线的距离最小.由得，于是曲线上过点且与直线平行的斜率为，得，则，那么点到直线的距离为故抛物线上的动点，求过P到直线的最小距离为.5.3利用导数研究方程的根例15已知，是否存在实数，使方程有四个不同的实数根，若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由.解：令 则令，得.当变化时，、的变化关系如下表：010+00+极小值极大值0极小值故存在，使方程有4个不同的实数根5.4应用导数证明不等式利用高中新增内容的导数来证明不等式，关键是“构造函数”，解决问题的依据是函数的单调性，这一方法在高等数学中应用的非常广泛，体现了导数的工具，也是与高等数学接轨的有力点.例16若，证明：证明：令则，又，则

24、则当时，为增函数当时，为减函数所以当时，取得最大值因此当时恒有，即时，有例17已知函数，证明：证明：由有设则当时，当时，因此，在区间内是减函数，在区间函数，在区间内为增函数，于是在，有最小值又，所以；设，则当时，因此在区间内为减函数；因为，所以，即：.综上述：5.5导数在数列中的应用例18、已知函数，数列满足（1）求；（2）证明数列是递减数列解：（1）由已知有，即得又，所以（2）令则，因，所以所以是递减函数，则也是递减的所以数列是递减数列例19已知数列，求此数列的最大项.解：考察函数（），则令，则，而，而将，及比较知，的最大值为故该数列最大项为第10000项，这一项的值为.5.6利用导数求极限

25、洛必达法则  5.6.1“”型和“”型定理若函数与满足条件：（1），（2）存在，且，（3） 存在.则必有：例20求.解：5.6.2其他形式洛必达法则只适应于“”型和“”型，对于其他式子，需要经过一系列变换转化为“”型和“”型，在利用洛必达法则来求解.其步骤如下：（“”表示可转化为）型或型型，再经过通分型.对于型，型，型，先取对数型，在利用的方法求解.例21、求下列极限解：（型）（型）(型)5.7物理学中的导数导数是一个量对另一个量的变化率，在物理学中，物体的动量对时间的导数为合力，位移对时间的导数为速度，速度对时间的导数为加速度，质量对体积的导数为密度，电量对时间的导数为电

26、流强度，电压对电流的导数等于导体的电阻，单位质量的物质吸收或者放出的热量对时间的导数等于物质的比热容，电容器的电量对电压的导数等于电容，功对时间的导数等于功率，磁通量对时间的导数的相反数是感应电动势，在场强方向上电势对位移的导数等于电场强度等等.例21.一质点运动方程为（1）求质点在这段时间内的平均速度；（2）求在时的瞬时速度（用定义和求导两种方法）.解：（1）质点在这段时间内的平均速度为： （2）定义法：质点在时的瞬时速度 导数法：质点在时的瞬时速度 当时，5.8经济学中的导数应用数学的应用遍及所有的科学领域，也深入到人们的日常生活，而导数高等数学知识也逐步应用到各种经济问题.1、边际问题边

27、际成本，边际收益，边际利润，边际需求在数学上可以表达为各自总函数的导数.比如某工厂对其产品的情况进行了大量统计分析后，得出总利润（元）与每月产量（吨）的关系为，试确定每月生产20吨，25吨，35吨的边际利润并作出经济解释.边际利润函数，则，上述结果表明当生产量每月为20吨时再增加1吨，利润将增加50元；当生产量每月为25吨时再增加1吨，利润将不变；当生产量每月为2035吨时再增加1吨，利润将减少100元.这说明，对厂家来说，并非生产的产品数量越多，利润就高.2.弹性分析在经济管理中弹性的概念应用十分广泛，许多场合都可以用弹性来解释和分析现实的经济现象，主要有需求的价格弹性，供求弹性，收益弹性，交叉弹性等.3、最优方案选取例23.某厂年需某零件8000个，现分期分批外购，然后均投入使用（此时平均库存量为批量的一半）.若