2025解题觉醒邓诚数学（名师大招册）

大招1容斥原理………………001大招2“1”的代换…………002大招3一个桥梁………………003大招4对勾函数求值域………005大招5挖掘单调性……………007大招6部分奇偶性……………008大招7对称性转化……………009大招8半周期&双对称推导周期……………011大招9类周期函数……………013大招10函数图象变换………014大招11数形结合找临界……015大招12二次函数的零点分布问题…………017大招13复合方程的实数根问题……………017大招14函数图象的切线方程………………019大招15隐函数求导………020大招16导数逆向构造……021大招17同构思想…………023大招18洛必达法则………024大招19泰勒展开式………026大招20齐次化……………028大招21e*≥x+1与Inx≤x-1的应用·029大招22不等式证明——指对处理…………030大招23不等式证明——主元法……………031大招24不等式证明——分割与放缩………032大招25函数零点问题………033大招26隐极值点代换………035大招27恒成立求参——分离参数…………036大招28恒成立求参——分类讨论…………037大招29恒成立求参——必要性探路………038大招30恒成立求参——端点&中间点效应…………040大招31极值点&拐点偏移…042大招32对数平均不等式……044大招33零点的放缩………045大招34寻找角的关系……047大招36角平分线定理……050大招37张角定理…………050大招38平行四边形定理……051大招39五边两角模型……052大招40算两次………………053大招41等和线………………054大招42极化恒等式………055大招43奔驰定理…………056大招44倒序相加求和&并项求和…………058大招45错位相减求和……059大招46裂项相消求和……061大招48二阶线性递推……064大招49分式结构递推……066大招50数学归纳法…………067大招51数列不等式的放缩…068大招52周期数列…………071大招53数列函数属性……072大招54四面体的特殊模型…073大招55外接球问题之补形法………………075大招56外接球问题之双外心模型…………077大招57内切球与球的相切问题的临界处理…………078大招58三余弦定理………079大招59运动中找不变量……080大招60动点轨迹的确定……081大招61翻折问题之平面化…082大招62截面问题之补全图形………………083大招63代数问题几何化……083大招64动点问题处理策略…084大招65直线系方程………085大招66曼哈顿距离………086大招67圆系方程…………087大招68隐圆…………………088大招69阿波罗尼斯圆……090大招71圆锥曲线第二定义的应用…………092大招72圆锥曲线第三定义的应用 大招73弦中点问题与点差法 大招74焦点三角形 大招75焦点三角形的内心 大招76平均性质 大招77圆锥曲线的切线 大招78硬解定理 大招79直线夹角的计算方法 大招80极点极线 大招81超级韦达定理 大招82非对称处理 大招83特殊先安排 大招84固序问题 大招85分组分配问题 大招86隔板法 大招87捆绑法&插空法 大招88正难则反 大招89赋值法 大招90整除及余数问题 大招91条件概率与全概率公式&贝叶斯公式 大招92常见分布的辨析 大招93概率结合数列模型 大招94复数的三角形式 大招95复数的模的运算 大招96复数的几何意义 在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题.例如“在学校文化节前夕某班需要编排一个团体节目，若班里会唱歌的人数为21,会跳舞的人数为18,既会唱歌又会跳舞的人数为6,假定参加团体节目的同学都是在唱歌、跳舞中至少会一种，那么该团体节目最多能安排多少人?"此时如果令集合A={xlx是会唱歌的人},B={xlx是会跳舞的人},那么问题就转化成在已知我们把含有限个元素的集合A叫做有限集，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数.②二元容斥原理的内涵：首先画出韦恩图，由韦恩图可以发现card(B)-card(A∩B).card(A∩B)-card(BNC)-card(C∩A)+card(A∩B∩C).②三元容斥原理的内涵：与二元情形一样的思路，画出韦恩图，由韦恩图可以发现card(A)+card(B)+card(C)与card(AUBUC)相比，多算了集合A,B,C两两相交区域中的元素个数，因此需要减掉A∩B,BNC,CNA中元素的个数.但是在减掉A∩B,BNC,CNA中元素的个数的过程中，我们把A∩BNC的区域减了3次，而card(A)+card(B)+card(C)将A∩BNC的区域只计算了3次，于是需要再把card(A∩BNC)加上1次.因此得到三元容斥原理card(AUBUC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(A∩B)-card(BNC)-card(C∩A)+card(A∩BnC).容斥原理实质上就是一种计数方法，在计数时我们先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后把计数时重复计算的数目排斥出去，最终使得计算结果既无遗漏又无重复.容斥原理还可以拓展为n个集合时的n元情形，但是已经不属于高中数学的范畴了，这里不再赘述，感兴趣的同学可以自行了解.大招示例(2020新高考I卷)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是A.62%B.56%C.46%D.42%解析设集合A={xlx是喜欢足球的学生},集合B={xlx是喜欢游泳的学生},不妨设该中学有100人，则card(AUB)=96,card(A)=60,card(B)=82(card(S)表示集合S中元素的个数).由二元容斥原理可得card(A∩B)=card(A)+card(B)-card(AUB)=60+82-96=46,所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%.故选C.答案》C“1”的代换见招已知正数x,y满足的最小值，其中a,b,c,d都为正参数.出招“1”的代换.第一步：将1用ax+by代替.第二步：使用基本不等式,当且仅当时取等号.第三步：求出的最小值.,不难发现一般情况下等号都可以取到.的最小值.A大招识别“1”的代换的基本问题，按照此类问题的通用解法处理即可.解析因为x+y=1,所以且仅,即y=3x时取等号，所,当且仅当时取等号.综上，的最小值为16. ,当且仅当,即y=9x时取等号.,当且仅当,即y=9x时取等号.时取等号.一个定值(Q(x,y)≥m),避免了多次放缩，就规避了这个多次放缩可能等号不能同时成立的风险.换掉1,表面上是为了满足这个“二定”,实际上也是避免多次放的最小值.最小值.”这样我们就可以用通用方法愉快地玩耍了.多妙用需要同学们自己从习题中感悟啦.1.一个桥梁在基本不等式问题中的应用方见招已知正数x,y满足ax+by=f(xy)(其中a,b都为正参数，f(xy)为cxy+d的形式),求ax+by(或xy)的最值.第一步：根据基本不等式变形得到ax+by≥2√abxy,建立关于ax+by(或xy)的不等式.基本不等式基本不等式当且仅当x=y时取等号),所以5=大招示例①已知正数x,y满足当且仅当x=y时取等号),所以5=,则x+y的最小值为,最大值所以(x+y)²-5(x+y)+4≤0,得1≤x+y≤4,解所以(x+y)²-5(x+y)+4≤0,得1≤x+y≤4,小值和最大值，所以式子x+y的最小值为1,最大值为4.,因为x+y可以不动需要往x+y与xy上转化，,因为,所以[5-(x+y)](x+y)≥4,令x+y=t,则(5,所以[5-(x+y)](x+y)≥4,令x+y=t,则(5-t)t≥4,解得1≤t≤4,所以x+y的最小值为1,最大值为4.面进入详细步骤.通过上面的例子相信同学们已经能感受到，使用基本不等式作为“桥梁”的目的是通过式子之间的关系减少所求问题中变量的个数，尽量转化为单变量问题.带着这一层理解让我们来继续学习进阶版的“桥梁”.2.一个桥梁在其他问题中的应用的已知等式来构建桥梁，进而将原问题转化为一个单变量问题，再进行求解.大招示例②(2022新高考Ⅱ卷，多选)若x,yA.x+y≤1A.x+y≤1D.x²+y²≥1A大招识别1化成关于x+y与xy的式子，再利用xy≤建立关于x+y的不等式；要求x²+y²的取值范围，需利用建立关于x²+y²的不等式.,当且仅当x=y时取等桥梁号，可得1=x²+y²-xy=(x+y)²-3xy≥(x+-2≤x+y≤2,所以选项A错误，选项B正确.由,当且仅当x=y时取等号，可得1=y²≤2,所以选项C正确.对于选项D,只需举出一个反例即可，不妨令,由x²+y²-xy=1可得,解得,当y=时，,所以,所以选项D错误.故选BC.x²+y²的最小值为,可以通过三角换元求角函数知识解决，具体步骤不再展示.对勾函数求值域形如的函数，其图象如图所示，是关于原点对称的对勾，故函数称为对勾函数.接下来让我们一起研究下对勾函数的基本性质：数f(x)单调递增.④极值⑤最值：函数在定义域上无最值，在区间(-0,0)上;在区间(0,+0)上坑神有话说当对勾函数常常应用于一些求值域(最值)的问题，在圆锥曲线、导数等多个模块我们都会见到对勾函数的影子.对于此类问题，我们通常采用以下步骤处理：大招解读大招解读第一步：通过代数变形(一般为换元),将待求函数变形为含对勾函数的形式.第二步：根据对勾函数的相关性质，得到这个新函数的值域(最值),从而解决问题.3.利用对勾函数求分式型函数的值域：使用对勾函数求值域时，大多数情况是求分式型函数的值域，通常包含以下几种情形①二次比一次型：形如,此时把分母看作一个整体进行换元，即可化成对勾函数的形式，进而求解出值域②一次比二次型：形如,此时将分子、分母同除以分子，分母就变成了①中的形式，换元后继续操作即可③二次比二次型：形女,此时先把分子中的二次项分离常数分离下去，就变成了②中的形式，再将分子、分母同除以分子，换元后继续操作即可.的值域.大招识别二次比一次型函数值域的求解，将分母看作一个整体进行换元，化成对勾函数的形式，进而的值域.大招识别二次比一次型函数值域的求解，将分母看作一个整体进行换元，化成对勾函数的形式，进而求解值域.解析先令t=x+1,将函数对勾函数基本性质，得到函数g(t)的值域，即函数f(x)的值域.下面进入完整解题步骤：设t=x+1,则x=t-1,因为x>0,所以t>1.因为.构建函数,函数g(t)在(1,2)上单调递减，在(2,+0)上单调递增，所以当t=2取得最小值g(2)=7,所以函数g(t)的值域为[7,+0],所以函数f(x)的值域为[7,+0].的值域. 大招识别0时分式上下同除以分子后转化为二次比一次型处理. 下同除以x.由对勾函数的值[1,+m],所以[0,5].综上所述，函数f(x)的值域为大招示例③求函数的值域.A大招识别符合二次比二次的形式，分离常数后按一次比二次型的处理方法处理.,令t=x-1,则t≠0,x=t+由对勾函数的值域可知，当t≠0所].综上所挖掘单调性见招解函数不等式f(g(x))<f(h(x)).出招逆用函数单调性.第一步：根据单调性的定义或f(x)的导数f'(x),得到函数f(x)在对应的区间上的单调性.第二步：通过函数f(x)的单调性，将不等式f(g(x))<f(h(x))转化为不等式g(x)>h(x).第三步：求出g(x)<h(x)或g(x)>h(x)的解集.已知函大招示例已知函大招示例不等式f(x+4)<f(x²-2)的解集.→大招识别题干为关于不等式f(g(x))<f(h(x))的问题，故需挖掘函数单调性，将问题转化为g(x)<h(x)或g(x)>h(x)的问题求解.解析我们首先通过导函cosx,得到函数f(x)单调递增，然后将不等式f(x+4)<f(x²-2)转化为不等式x+4<x²-2,进而求出其解集.下面进入完整解题步骤：因为当x=0时取等号，所以函sinx单调递增.因为f(x+4)<f(x²-2),所以x+4<x²-2,所以x²-x-6>0,所以x<-2或集为(-0,-2)U(3,+0).坑神来避坑本题函数f(x)的定义域刚好是R,如果函数忽略.6对于根据f(x₀)求解f(-xo)的问题，我们可以根据部分奇偶性求解.1.函数的奇偶性分解对于一个定义域关于原点对称的函数f(x)来说，我们构建函数,h(x)=,这样就使得f(x)=g(x)+h(x).而对于函数g(x)来说g(x),得到函数g(x)是偶函数；对于函数h(x)来说,得到函数h(x)2.部分奇偶性f(x)非奇非偶，怎么办?我们通常采用以下步骤处理：口大招解读口大招解读第一步：观察函数f(x)的解析式，看哪部分构成偶函数，哪部分构成奇函数，即构造出f(x)=g(x)+h(x),其中函数g(x)是偶函数，函数h(x)是奇函数.第二步：根据函数g(x),h(x)的奇偶性得到f(-x₀)与f(x₀)的关系式，进而求出f(-x。)的值①如果偶函数g(x)是无参或相对简单的，那么我们以奇函数h(x)为桥梁构建等式，根据h(-x₀)=-h(x₀)解决问题.②如果奇函数h(x)是无参或相对简单的，那么我们以偶函数g(x)为桥梁构建等式，根据g(-xo)=g(xo)解决问题.G坑神来避坑,前面的证明只是为了说明函数的奇偶性分解是可行的.大招示例(1)已知函数f(x)=ax⁵+x²+bsinx,且f(2)=1,求f(-2)的值.(2)已知函数f(x)=ax⁶+x+bcosx,且f(2)=1,求f(-2)的值.(1)观察得到奇函数为函数为g(x)=x²,所以偶函数g(x)=x²相对(2)观察得到奇函数为h(x)=x,偶函数为g(x)=ax⁶+bcosx,所以奇函数h(x)=x相对g(x₀)=f(xo)-h(x₀),进而求出f(-2)的值.bsinx,所以ax⁵+bsinx=f(x)-x².构建函数大招7大招7h(x)=ax⁵+bsinx=f(x)-x²,所以函数h(x)是(-2)²=-[f(2)-2²],所以f(-2)=2×2²-所以32a+bsin2=-3,又f(-2)=-32a+4+ax⁶+bcosx=f(x)-x.构建函数g(x)=ax⁶+g(-2)=g(2),所以f(-2)-(-2)=f(2)-f(-2)=-3.所以64a+bcos2=-1,又f(-2)=64a-2+对称性转化1.对称性转化证明因为f(x)=f(2a-x),所以f(a+x)=f(2a-(a+x))=f(a-x),所以函数f(x)的图象专题三函数证明因为f(x)+f(2a-x)=2b,所以f(a+x)+f(2a-(a+x))=f(a+x)+f(a-x)=2b,所以函数f(x)的图象关于点(a,b)中心对称，反之亦然，所以推论一正确.因为f(x+a)+f(b-x)=2c,所,即,所以函数f(x)的中心对称，反之亦然，所以推论二正确.坑神有话说中心对称在需要用等式表达时，我们通常转化为f(a+x)+f(a-x)=2b(或f(x)+f(2a-x)=2b).2.在看到等式f(x+a)+f(b-x)=2c时，我们也要转化为函数f(x)的图象关于点对称.数f(x)的图象关于点(0,a)中心对称，这两种情况经常考查.2.三次函数图象的对称性对于一个三次函数f(x)=ax³+bx²+cx+d(a≠0)来说，点(xo,f(xo))是函数f(x)图象的对称中心，其中x。满足方程f"(x₀)=0.为f"(x₀)=0,所以f"(x₀)=6ax,+2b=0,所以,所以f(x₀+x)+f(x₀-x)=a(xo+x)³+b(xo+,所以点(xo,f(xo))是函数f(x)图象的对称中心.的图象关于直线x=1对称，则f(x)的最大值十大招识别根据对称性的定义进行转化，有f(x)=f(2-x),进而根据转化式解决问题.关于直线x=1对称，得到f(x)=f(2-x),象为f(x)=f(2-x),所以f(2)=0,所以3(2-²-a)=,而,当且仅当x=1时取等号，因,当且仅当x=1时取等号.综上所述，f(x)的最大值为可以.去求a的值也bx+1(a≠0),且f(4)-f(2)=1,求f(2)的值.根据三次函数图象的对称性得f(x)图象关于点(2,f(2))中心对称，从而得到f(4)+f(0)=2f(2),进而求解f(2)的值.解折0),所斑因()=3²-26x²tf"(x)=6ax-12a,令f"(x)=6ax-12a=0,得x=2,所以函数f(x)图象关于点(2,f(2))中心对K常规解因为f(4)=-32a+4b+1,f(2)=-16a+2b+1,所以f(4)-f(2)=-16a+2b=1,所以f(2)=2.半周期&双对称推导周期1.“半周期”推导周期已知a∈R,a≠0.①若函数f(x)满足f(x)+f(x+a)=b(beR),则f(x)+f(x+a)=f(x+a)+f(x+2a)=b,所以f(x+2a)=f(x),所以函数f(x)是周期为2a的周期函数.②若函数f(x)满足f(x)f(x+a)=b(b∈R,b≠0),则f(x)f(x+a)=f(x+a)f(x+2a)=b,所以f(x+2a)=f(x),所以函数f(x)是周期为2a的周期函数.-坑神来避坑①用f(x)+f(x+a)=b(b∈R)可得f(x)是周期为2a的周期函数，但函数f(x)是周期为2a的周期函数并不一定有f(x)+f(x+a)=b(b∈R).②半周期的一种隐藏形式为,写出f(x+2a)与f(x)的关系之后即可转化成半2.双对称推导周期已知函数f(x)图象的两条对称轴、两个对称中心或一条对称轴加一个对称中心都可以得到f(x)的周期的结论.的周期函数.特别地，当f(x)为偶函数且函数f(x)图象关于直线x=a对称时，函数f(x)是周期为2lal的周期函数.证明因为函数f(x)图象关于直线x=a和直线x=b对称，所以所以所以f(x+2b-2a)=f(x),所以函数f(x)是周期为21b-al的周期函数.是周期为2lal的周期函数.证明因为函数f(x)图象关于点(a,0)和点(b,0)所以函数f(x)是周期为21b-al的周期函数.③一条对称轴+一个对称中心：已知函数f(x)图象关于点(a,0)中心对称且关于直线x=b对称，则函数f(x)是周期为41b-al,所以f(x+4b-4a)=f(x),所以函数f(x)是周期为41b-al的周期函数.坑神来避坑大招示例(2021全国甲卷)设函数f(x)的定口解析房大招解根据f(x+1)为奇函数，以函数f(x)的图象关于点(1,0)中心对称，即有f(x)+f(2-x)=0,所以f(1)+f(2-1)=0,得f(1)=0,即a+b=0①.由于f(x+2)为偶函有f(x)-f(4-x)=0,所以f(0)+f(3)=-f(2)+f(1)=-4a-b+a+b=-3a=6②.根据①②可得a=-2,b=2,所以当x∈[1,2]函数f(x)的周期为4,所以f(x+2)=f(-x+2)-f(2)=-(4a+b),②.令x=1,由①得f(0)=-2,令x=0,由①得f(1)=-f(1)=f(1)=0=b=方法一(从定义入手)的图象关于点(1,0)中心对称，且关于直线x=2.故选D.答案，D类周期函数1.类周期函数的定义从周期函数f(x+T)=f(x)进行延伸拓展，若函数g(x)满足g(x+T)=ag(bx)+c(a,b>0,c∈R),我们可称函数g(x)为类周期函数.其中a=b=1,c=0的情形就是周期函数.2.类周期函数问题的处理方法对于满足g(x+T)=ag(bx)+c(a,b>0,c∈R)的类周期函数g(x)来说，我们往往知道其在 D大招解读将函数g(x)各段的解析式求出来，如有必要画出函数g(x)各段的图象.第二步：对函数g(x)各段开展分类讨论，或根据函数g(x)各段的图象解决问题.大招示例大招示例若函数F(x)=f(x)-m有4个零点，求实数m的取值范围. 解析先根据函数f(x)的类周期性，将函数F(x)=f(x)-m有4个零点转化为函数f(x)的图象与直线y=m有4个交点，进而根据函数所以当x∈[2,4]出f(x)的部分图象如图所示.进度条感人10%因为函数F(x)=f(x)-m有4个零点，所以函数f(x)的图象与直线y=m有4个交点，所以,所以实数m的取值范围为9函数图象变换1.对称变换③关于直线y=x对称：在f(x)图象上的点A(xo,yo)与在g(x)图象上的点B(y₀,xo)关于直线2.翻折变换只需把f(x)图象中x>0部分的图形沿y轴翻折过大招示例已知函数f(x)的图象向左平移1 解析首先设A(xo,f(x₀))为函数y=f(x)图象上一点，然后使点A(xo,f(x₀))变换得到点B(1-xo,f(x₀)),接着根据点B(1-xo,f(x₀))在f(x₀))为函数y=f(x)图象上一点，依题意将A(xo,f(xo))向左平移1个单位长度得A'(xo-1,f(x₀)),再关于y轴对称得B(1-xo,f(x₀)),因为点B(1-xo,f(x₀))在函数y=2*的图象上，所以f(xo)=2¹-×,所以函数f(x)=2¹-,所以数形结合找临界1.函数的零点、方程的实数根、两个函数图象交点的横坐标的关系①t是关于x的函数h(x)=f(x)-g(x)的零点.②t是关于x的方程f(x)-g(x)=0的实数根.③t是函数f(x)图象与函数g(x)图象交点的横坐标.对于①,我们可以用函数的单调性与零点存在定理处理，对于②,我们可以用方程相关知识与方法处理，对于问题③,我们可以用数形结合，根在探讨函数F(x)=f(x)-[k(x-a)+b]的零点个数时我们常将问题转化为“研究函数f(x)图象与直线y=k(x-a)+b交点的个数”.这样我们就可以用数形结合，讨论两个函数图象交点的个坑神小课堂除直曲相切、双曲公切找到的临界情况外，在曲线(或区间)的端点以及函数图象的间断数零点个数也可能突变，所以也需要单独讨论，研究是否为临界情形4.数形结合找临界的一般步骤口大招解读口大招解读第一步：将“函数F(x)=f(x)-g(x)的零点个数”的相关问题转化为“函数f(x)图象与函数g(x)图象的交点个数”的相关问题.有时需要对F(x)做一定的变形，以函数f(x)图象与函数g(x)图象容易画出为标准.第二步：画出函数f(x)与函数g(x)的图象，如果含参，重点讨论直曲相切、双曲公切以及端点、间断点情形，得到全部的临界情形.第三步：数形结合解答问题.大招示例(2020天津改编)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)-1kx²-2xl恰有4个零点，则实数k的取值范围是解析观察发现g(0)=0,先根据将函数g(x)=f(x)-Ikx²-2x恰有4个零点转化的图象与函数c(x)=lkx-21的图象有三个交点，接着根据两个函数的大致图象，讨论直曲相切以及间断点情形，从而数形结合求得实数k的取值范围.的图象只有一个交点，不成立.于是k≠0,进而函数c(x)=lkx-21图象与x轴的交点为c(x)=lkx-21的图象恒过点(0,2).的图象与函数c(x)=lkx-21的图象有三个交点，符合题意.②当k>0时，,如图2所示，若函数h(x)的图象与函数c(x)的图象有三个交数h(x)的图象与函数c(x)的+0)时，函数h(x)的图象与函数c(x)的图象有两个交点.由图象可知，当函数h(x)的图象与函数c(x)的图象恰有一个交点.而若当函数c(x)的图象有两个交点，根据直曲相切可知，需满足k>ko>0,其中直线y=kox-2与y=x²,x>0图象相切.由得x²-kox+综上所述，实数k的取值范围是(-～,0)U二次函数的零点分布问题大招示例(2022天津)设a∈R.对任意实数x,用f(x)表示Ixl-2,x²-ax+3a-5中的较小 解析令函数g(x)=x²-ax+3a-5,则函数的判别式△=(-a)²-4(3a-5)=a²-12a+20.f(x)的零点可能是-2,2或g(x)的零点g(x)=(x-1)²,则f(x)有且仅有2个零点-2则f(x)有且仅有3个零点-2,2和5.所以a=10有2个实数解x₁,x₂(x₁<x₂),即函数g(x)有2②x₁≥2,此时应解得a>4.1.复合方程的由外向内 复合方程的实数根问题名师大招名师大招D大招解读2.复合方程的由内到外探讨“已知关于x的复合方程f(g(x))=m(m∈R)实数根的个数，求参数取值范围”相关问题时，当外层方程容易解时，可以使用前面的由外向内.但是现实往往是残酷的，含参方程往往没法解此时就需要由内向外处理.其一般步骤如下：第一步：构建合适的复合函数，设u=g(x),得到函数u=g(x)的性质及值域，如有必要画出函数图象.第二步：确定关于u的方程f(u)=m的实数根的个数情况，进而求出参数的取值范围.大招示例①已知函数f(x)=Ilnxl,g(x)=数根的个数为●解析先设u=f(x)+g(x),根据f(x)+g(x)I=1,得到lul=1,进而解得u₁=-1,u₂=1.而于是据导函数,得到当x∈(0,g(x)=u₁=-1有两个实数根，关于x的方程f(x)+g(x)=u₂=1有两个实数根.大招示例②已知函数g(x)=3elnx+mx的图象有4个不同的交点，则实数m的取值范围是解析通过齐次化，把函数图象的交点问题转化为复合方程问题.由于函数与g(x)=3elnx+mx的图象有4个不同的交点，个不同的实数根，得到方程有四个不同的实数根，然后构建函数,根据导函数h'(x)=减，因此函数在x=e处取得最大值 h(x)的图象如图所示.图象与直线y=t有1个交点；当时，函数h(x)的图象与直线y=t有2个交点；当t∈时，函数h(x)的图象与直线y=t没有交点.于是要想有四个不同的实数根，则关于t的方程9e²t²-3e(3-m)t+1-3m=0有两个不同的实数根t₁,t₂,且方程h(x)=t₁,h(x)=t₂均需有两个不同的实数根，且满足即关于t的方程9e²t²-3e(3-m)t+1-3m=0在函数图象的切线方程1.函数图象的切线方程已知函数f(x)连续，且当x=xn时导函数值f'(xn)存在，则函数f(x)的图象在(xn,f(xn))处切线的斜率为f'(xo).于是在(xo,f(xo))处函数f(x)的图象的切线方程用点斜式表示为y-f(x₀)=f'(x₀)(x-xo),用斜截式表示为y=f'(xo)x+[f(x₀)-f'(x₀)x₀]. 如果函数f(x)的图象是一条直线，那么方程y=f'(x₀)x+[f(x₀)-f'(x₀)x。]表示函数f(x)自身，虽然几何意义上已经不是切线，但是可以将其看成代数意义上的“切线”.如果直线l既是函数f(x)的图象在(x₁,f(x₁))处的切线，又是函数g(x)的图象在(x₂,g(x₂))处的切线，则直线l的方程既可以表示为y=f'(x₁)x+[f(x₁)-f'(x₁)x₁],也可以表示为y=g'(x₂)x+[g(x₂)-g'(x₂)x₂],于是就我们常根据这两个式子来处理公切线问题.第一个式子表示两条切线斜率相等，第二个式子表示两条切线在y轴上的截距相等.特别地，如果特别地，如果x₁与x₂相等且等于x。,那么就会有第一个式子表示公切点处函数值相等，第二个式子表示公切点处导数值相等，这也是(xo,yo)作为函数y=f(x)与y=g(x)的图象公共切点所应满足的条件.大招示例若曲线y=x²与y=In(x-a)有一,因此隐函数求导1.显函数的定义2.隐函数的定义3.隐函数的求导大招16大招16口大招解读4.隐函数求导的应用①求圆锥曲线的切线方程.②进行复杂函数的求导运算.大招示例已知定义在R上的函数f(x),g(x)都恒大于0,且各自的导函数f'(x),g'(x)都存在.试求函数y=f(x)⁸(x)的导函解析这个函数y=f(x)⁸(x)既不属于基本初数复合得到.因此要去求这个难看的函数的导函数y',唯有将其变形后进行隐函数求导.下面进,所以y'=f(x)⁸x)[g'(x)Inf(x)+g(x)导数逆向构造1.逆向构造问题已知f(x)+f'(x)>0,且f(0)=1,求不等式f(x)<e⁻*的解集.对于逆向构造问题我们一般采取如下 口大招解读断与0的关系.第三步：利用新函数的单调性解决问题.2.常用的逆向构造方法③逆用除法：④逆用复合求导：g'(f(x))·f'(x)=[g(f(x))]'.例如2xe⁸=(e²)'.⑤万能构造公式：例如nf(x)+(1)对于f'(x)>g'(x),可构造函数h(x)=f(x)-g(x).一般地，若f'(x)>a(a≠0),即导函数大于某个非零常数(若a=0,则无需构造),则可构造函数h(x)=f(x)-ax.(2)对于f'(x)+g'(x)>0,可构造函数h(x)=f(x)+g(x).(3)对于f'(x)+f(x)>0,可构造函数h(x)=e*f(x).(4)对于f'(x)>f(x)(或f'(x)-f(x)>0),可构造函数(5)对于xf'(x)+f(x)>0,可构造函数h(x)=xf(x).(6)对于xf'(x)-f(x)>0,可构造函数构造函数h(x)=In[-f(x)].(8)对于f'(x)sinx+f(x)cosx>0,可构造函数h(x)=f(x)sinx.(9)对于f'(x)cosx-f(x)sinx>0,可构造函数h(x)=f(x)cosx.(10)对于f'(x)sinx-f(x)cosx>0,可构造函数(11)对于f'(x)cosx+f(x)sinx>0,可构造函数大招示例已知f(x)是定义在R上的恒大于,若a<0<b且lal<b,A.f(a)>f(0)B.f(b)<f(0)C.f(a)>f(b)D.f(a)<f(b)解析，本题直接构造没有对应的形式，但是在则逆向构造由当x≠0时后构建函数g(x)=(x²+1)f(x),从而有当x>0g(x)单调递减.又f(x)是定义在R上恒大于零的偶函数，于是g(x)=(x²+1)f(x)也是定义在R上恒大于零的偶函数.由于a<0<b且lal<b,于是0<-a<b,又当x>0时，函数g(x)单调大招17大招17即(a²+,而0<即(a²+,而0<答案，C本题形式特殊，还有一种非常规解法.因为合偶函数性质即可得答案.同构的本质就是通过一系列变形，将原条件转化为同一函数的两个函数值f(a)与f(b)之间满1.地位同等同构(主要针对双变量，合二为一泰山移)为减函数.2.指对跨阶同构(主要针对单变量，左同右同取对数)如ex+ax>In(x+1)+x+1⇔ex+ax>eln(x+1)+In(x+1)⇔ax>In(x+1).3.无中生有同构(主要针对非上型，凑好形式是关键),后面的转化同积型.e*-Ina+x-Ina>In(x-1)+x-1=e(x-1)+In(x-1)⇔x-Ina>In(x-1).,后面的转化同积型.大招示例(2020全国I卷)若2°+log₂a=A.a>2bB.a<2bC.a>b²D.a<b²形为2²+log₂b,,从而就得六常规解(取特值法)由2°+log₂a=4⁶+2log₄b=4⁶+log₂b,取b=1,得2°+log₂a=4,令f(2)<0,f(x)=2*+log₂x-4在(0,+0)上存在成立，排除A,D;取b=2,得2°+log₂a=17,令g(x)=2*+log₂x-17(x>0),则g(x)在(0,+0)上单调递增，且g(3)<0,g(4)>0,所以g(3)g(4)<0,g(x)=2*+log₂x-17在(0,+～)上存在唯一的零点，所以3<a<4,故a>答案，B洛必达法则1.洛必达法则的定义已知函数f(x)与g(x)都存在导数f'(x),g'(x),其中g'(x)≠0.①x→a的情形：,贝称型或型的不定式，此时有大招18大招182.洛必达法则的应用在中学阶段，通过洛必达法则可以计算存在不定式情况的函数的极限，进而帮助我们快速得出存在不定式情况的函数的值域.坑神来避坑特别需要强调的是洛必达法则在小题中可以直接使用，但是在大题中直接使用可能会扣分.大招示例①函数值域为●,然后构建函数,得到函数1,因此函数的值域为(ln2,1).大招示例②(2023全国乙卷)已知函数(1)当a=-1时，求曲线y=f(x)在点(1,f(1处的切线方程.(2)是否存在a,b,使得曲线关于直线x=b对称?若存在，求a,b的值；若不存在，说明理由.(3)若f(x)在(0,+0)上存在极值，求a的取值范围.解析(1)当1所以f'(1)=-In2,又f(1)=0,所以所求切线方程为y-0=-In2(x-1),即xln2+y-In2=0.(2)存在，理由如下：假设存在a,b,使得曲线关于直线x=b对称.因为曲线y=g(x)关于直线x=b对称，于所以曲线y=g(x)关于直线对称，满足题意.故存在a,b,使得曲线在(0,+0)有变号零所以h(x)在(0,+0)上单调递减，所以h(x)在(0,+～)上单调递增，所以h(x)在+0)上单调递增，,使得h(x₀)=0,们可以通过洛必达法则确定对所构造的新得到了结果),以及根据所得结果确定分类1.泰勒中值定理2.泰勒公式xo=0时的麦克劳林公式大招19大招19特别地，当时，有3.几个重要的不等式由泰勒公式，我们可以得到几个重要的不等式：利用导数可求得h(x)在R上单调递增，结合h(0)=0可得h(x)的大小关系.①当x≥0时，由,可直接证得不等式成立；②当x<0时，分类讨论，由此可证得不等式成立.大招示例(2022新高考I大招示例(2022新高考I卷)设a=0.1e°·1,A.a<b<cB.c<b<a化为In(1-0.1),故可用泰勒展开式来近似计算它们，再比较大小.A.a<b<cB.c<b<a专题四专题四大招解,所以a=0.1e°.¹≈0.1×(1+,所以c<a<b.故选C.于是当0<x<0.1(1-x²)e*-1>(1-x²)(x+1)-1=x(1-x-x²)>0,所以f'(x)>0,f(x)在(0,0.1)上单调递所以a>c.故正确选项为C.0.1),则当0<x≤0.1时，u(x)>0,w(x)>0.①设f(x)=In[u(x)]-Inx+x-[lnx-In(1-x)]=x+In(1-x)(0<0.1]上恒成立，所以f(x)在(0,0.1)上单调递In[v(0.1)]<0,所以In[u(0.1)]<In[v(0.1)].u(0.1)<v(0.1),即0,所以a<b.②设g(x)=u(x)-w(x)=xe*+In(0.1),则0.1),则h'(x)=(1-2x-x²)e*>0在(0,0.1)上恒成立，所以h(x)在(0,0.1)上单调递增，所以h(x)>(1-0²)e⁰-1=0,即g'(x)>0在(0,0.1]上恒成立，所以g(x)在(0,0.1)上单调递增，所以g(0.1)>0×e⁰+In(1-0)=0,即导数导数齐次化在不等式以及三角函数模块中我们已经研究了齐次化的方法，而到了导数这块，对于一道多变量问题，如果变量的次数都是相同的，那么我们同样可以采用齐次化换元，以减少题目中的变量，达有一个实根，则实数m的取值范围是●有一个实根，直接齐次化得到，关于x的方程1-恰有一个实根，即关于x的方程构建函数,根据其导函数从而关于t的方程t²+mt-1=0在(-0,0)U得到函数g(t)在上有一个零g(0)=-1<0,于是函数g(t)在[-0,0]上有一个零点，此时只需让另一个零点落在+0)上即可，进而答案》0,所以e*≥x+1,当且仅当x=0时取等号.坑神有话说大招示例不等式x-³e*-alnx≥x+1(e是自然对数的底数),对任意x∈(1,+0)恒成立，则A.(-0,1-e)B.(-0,2-e²)C.(-0,-4)D.(-0,-3)解析由于不等式x-³e*-alnx≥x+1对任意x∈(1,+0)恒成立，于是参变分离得到不等式对任意x∈(1,+0)恒成立，而e*≥x+1(当且仅当x=0时取等号),于是x³eˣ=-3lnx+x=0时取等号，因此-3,当且仅当-3lnx+x=0时取等号.1>0,f(3)=3-3ln3<0,所以存在x∈(1,3),使f(x₀)=0,从的最小值为-3,因答案D本题的关键步骤为根据指对恒等变换得到f(x)·e⁸(x)=elnf(x)+g(x)≥lnf(x)+g(x)+1,不等式证明——指对处理在导数大题中，如果一个函数的解析式中存在指数形式e或者对数形式Inx时，我们的处理原则是允许指数e*与关于x的整式、分式乘在一起，但不允许对数Inx与关于x的整式、分式乘在一起.这样处理完毕后再求导，得到的导函数与0的大小关系容易比较，一般只取决于多项式与0的大大招示例已知函数(1)当a>0时，试讨论f(x)的单调性；☆大招识别解析(1)因为,所以f'(x)=若0<a<1,则当x∈(-～0,函数f(x)单调递减.若a=1,则,函数f(x)单调递减.若a>1,则当数f(x)单调递减.(2)构建函数,所以g'(x)=,所以当x∈(-0,-1)时，e≥0,所以Vx∈R,ex+¹≥-x²-x+1恒成立.后在正式解答过程中就能一直从头写到尾，管它变形多么巧妙.这也是为什么一般看解析时，很多步骤刚开始看不知道为啥，看到最后才发现妙在何处的原因.不等式证明——主元法我们可以把一元含参函数看成二元函数，如一元含参函数f(x)=ae*-x(a≥1)与二元函数F(x,y)=ye"-x(x∈R,y≥1)是完全等价的.如果学习了高等数学，就可以用偏导,又y≥1,于是可以得到F(x,y)≥F(x,1)=e*-x≥1.那么怎么用不超纲的方法证明当a≥1时，函数f(x)=ae-x≥1恒成立呢?大招示例已知函数f(x)=x+ae*+b(a,b∈(1)讨论函数f(x)的单调性；g(x)>h(x).解析(1)因为f(x)=x+ae*+b,所以若a≥0,则f'(x)>0,函数f(x)单调递增.而证明一元含参函数I(x)=g(x)-h(x)>0.下h(x),则I(x)=x²+(a+1)x-x(1+ae*ax(1-e*).因为x<0,所以1-e*>0,所以x(1-e)<0,因为a≤1,所以I(x)=x²+x(1-e)a≥构建函数j(x)=e*-x-1,则j'(x)=e*-1,所以e*<0,所以I(x)=x²+x(1-e*)a≥x(x+1-e*)>0,所以g(x)>h(x).不等式证明——分割与放缩1.分割法令函数f(x)=g(x)-h(x),通过过证明g(x)max<h(x)min,进而有f(x)=g(x)-h(x)<0. 2.放缩法D大招解读解析(1)因为,所以函数g(x)单调递增，所以g(x)min=g(1)=1.构建函数,所以h'(x)=)时，h'(x)>0,函数h(x)单调递增,h(2)=1,,所以h(x)max=h(2)=1,因为1≠2,且g(x)min=h(x)max,所以当x∈[1,2]时，,所以当x∈[1,2]时大招示例②已知函数f(x)=e*-x.(1)求函数f(x)的最小值；(2)求证=f(x)单调递减，当x∈(0,+0)数f(x)单调递增，所以当x=0最小值f(0)=1.形为成证明.下面进入完整解题步骤：由(1)得e≥x+1,当且仅当x=0时取等号，所以e*-¹≥x,即lnx≤x-1,当且仅当x=1时取等号.观察发现当x=e时,所以放缩后需要让指数式和对数式都在x=e处取0.因为,当且仅当x=e时取等号.坑神有话说放缩的过程需要好好把控，确定放缩的方向后，有时需要在草稿纸上多次尝试才能最终确定如何放缩.函数零点问题1.函数零点存在定理相关结论①如果函数f(x)在[a,b]上连续不断，且f(a)f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)上至少有一个零点.②如果函数f(x)在[a,b]上连续并具有单调性，且f(a)f(b)<0,则函数f(x)在(a,b)上有且仅递增或递减均可有一个零点.2.函数零点存在定理找点技巧在使用函数零点存在定理的过程中，很多时候f(a)f(b)<0中的a和b不是那么好确定的，这里补充一些找点x。使得f(x₀)>0(或f(x₀)<0)的技巧：③使用放缩法确定x₀:首先在草稿纸上分析函数解析式中各部分的趋势，然后将解析式进行放3.求函数f(x)零点个数的一般步骤DD大招解读第一步：先通过导函数f'(x)分析函数f(x)的单调性第二步：根据函数零点存在定理确定函数f(x)在每个单调区间上的零点个数为0还是1.第三步：最终得到函数f(x)零点个数.4.压缩零点的范围的一般思路根据零点存在定理不断缩小a和b的差值大招示例(2022全国乙卷)已知函数f(x)=ln(1+x)+axe-*.(1)当a=1时，求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处(2)若f(x)在区间(-1,0),(0,+0)上各恰有解析(1)当a=1时，f(x)=Ix·e-*,(1-x)e⁻",∴所求切线方程为y-0=2(x-0),即y=2x.∴f(x)在(0,+～)上无零点，不符合题意.②当a<0时令g(x)=e*+a(1-x²),则g'(x)=e*-2ax,e-¹+2a,g'(0)=1.1,+0)上恒成立，∴g(x)在(-1,+～)上单调递增.∵g(-1)=e-¹>0,∴g(x)>0在(-1,+0)上∴f'(x)>0在(-1,+0)上恒成立，∴f(x)在(-1,+0)上单调递增.1,0),(0,+)上均无零点，不符单调递增.g(-1)=e-¹>0,g(0)=1+a,g(1)=e>0.(0,+0)上恒成立，∴f'(x)>0在(0,+0)上∴f(x)在(0,+0)上单调递增.∴f(x)在(0,+0)上无零点，不符合题意.xo),x₂∈(0,1),使得g(x₁)=g(x₂)=0,(-1,0)上存在一个零点.(0,+0)上存在一个零点.的取值范围是(-0,-1).对于一些证明不等式f(x)>a,aeR得f'(x),于是函数f(x)的极值点x。就满足f'(xo)=0,解出x。,进而能求出极值f(x₀),确定f(x)的然而前方的路哪能一帆风顺，如果方程f'(x₀)=0很难解或者压根没法解，一定要把极值f(x。)的具体值求出来吗?也不一定，其实只要确定出极值f(x₀)的取值范围就行.虽D大招解读第一步：求导后得到f'(x₀)=0.大招示例已知函数的图象在x=1处的切线方程为解析(1)因为,所以1,所以函数f(x)的图象在x=1处的切线方程为在x=1处的切线方程为由(1),所以f'(x)=Inx+构建函数g(x)=e*-x,所以g'(x)=e*-1,所以f'(x)在(1,e)内有唯一零点xo,所以当x∈(0,建函数h(x)=(x+1)Inx-2x-1,所以h'(x)=f(x₀)>-3.恒成立求参——分离参数1.分离参数的一般思路2.使用分离参数的要求D大招解读大招示例已知函数f(x)=x,g(x)=在(2,+0)上是,因为f(x)与g(x)的Inx在[2,+0]上是减函数，所以当x∈[2[2,+～]时恒成立求参——分类讨论1.分类讨论况讨论.2.多重分类讨论大招示例已知函数,aeR,求函解析，基于函零点的情况开展分类讨论.下面进入完整解题当a≠0时，关于x的一元二次方程ax²-2x+a=0的判别式△=4(1-a²),可根据a的正负及零点情况分为以下几种情形.①当a≤-1时，△=4(1-a²)≤0,所以ax²-单调递减.②当-1<a<0时，△=4(1-a²)>0,所以关于x的一元二次方程ax²-2x+a=0的两个实数根③当0<a<1时，△=4(1-a²)>0,所以关于x的一元二次方程ax²-2x+a=0的两个实数根④当a≥1时，△=4(1-a²)≤0,所以ax²-2x+递增.上单调递减，上单调递增.当a=0时，函数f(x)在(-0,0)上单调递增，在(0,+○)上单调递减.当0<a<1时，函数f(x)在上单调递减.恒成立求参——必要性探路1.必要性探路2.必要性探路的注意事项DD大招解读大招示例(2020新高考I卷)已知函数f(x)=aex-1-Inx+Ina.,所以k=f'(1)=e-1.因为f(1)=e+1,所以切点坐标为(1,1+e),所以曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-e-1=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x+2,所以切线与坐标轴交点坐标分别为(0,2),(2)房大招解1(必要性探路)f(1)≥1,即a+Ina≥1.(由特殊到一般，利用S(a)在区间(0,+的)内单调递增.a+Ina≥1.令T(a)=ae*-1-Inx+Ina,只需证当a≥1时，因为,所以T(a)在区间[1,+0)内单调递增，则T(a)=T(1)=e*-¹-Inx.T(a)min=ex-¹-Inx≥1即可.由e*≥x+1,lnx≤x-1,得ex-¹≥x,-Inx≥1-x.上面两个不等式两边相加可得e*-¹-Inx≥1,故所以a的取值范围为a≥1.大招解2(分离参数法)由ae*-¹-Inx+Ina≥1,即el"a+x-1+Ina+x-1≥lnx+x,而Inx+x=enx+Inx,所以ena+x-1+令h(m)=e"+m,则h'(m)=e"+1>0,所以h(m)在R上单调递增.由ena+x-¹+Ina+x-1≥e"+Inx,可知h(lna+x-1)≥h(lInx),所以Ina+x-1≥Inx,所以令F(x)=Inx-x+1,则所以F(x)max=F(1)=0,则Ina≥0,即a≥1.所以a的取值范围为a≥1.①大招解3(分离参数法)由题意知a>0,x>0,令ae*-¹=t,所以Inae*-¹=Ina+x-1=lnt,所以Ina=lnt-x+1.于是f(x)=ae-1-Inx+Ina=t-x+1.取得最大值，为g(1)=1.所以a≥1. 大招解4(分类讨论法)因为f(x)=ae*-¹_lnx+Ina,所,且a>0.所以g(x)在(0,+0)上单调递增，即f'(x)在(0,+○)上单调递增，恒成立.因因所以f(x)>1,所以f(x)≥1恒成立；f(1)<1,f(x)≥1不恒成立.的取值范围是[1,+0].大招30恒成立求参——端点& 中间点效应1.端点效应①如果函数f(x)满足Vx∈[a,b],f(x)≥0,且f(a)=0,则存在δ∈[a,b],使得③如果函数f(x)满足Vx∈[a,b],f(x)≥0,且f(b)=0,则存在δ∈(a,b),使得Vx∈[δ,b],④如果函数f(x)满足Vx∈[a,b],f(x)≤0,且f(b)=0,则存在δ∈(a,b),使得Vx∈[δ,b],2.中间点效应3.端点&中间点效应在实际问题中的应用①根据端点&中间点效应可以快速得到参数的取值范围.大招示例已知函数f(x)=e+sinx-cosx-ax.(1)若函数f(x)≥0在[0,+○]上恒成立，求实(2)设函数g(x)=f(x)-In(1-x),若g(x)≥0解析(1)由f(0)=0,根据端点效应得到f'(0)=2-a≥0,于是a≤2.下面进入完整解题e*+cosx+sinx-a,令c(x)=f'(x),则c'(x)=√2>0,所以当x∈[0,+0]时，c'(x)>0,所以函数f'(x)单调递增.+四)时，f'(x)>f'(0)≥0,函数f(x)单调递增，0,所以存在f(x)<f(0)=0,矛盾.当时的取值范围为(-0,2).(2)由g(0)=0,根据中间点效应得到g'(0)=3-a=0,于是a=3.下面进入完整解题步骤：因为g(x)=f(x)-In(1-x)=e*+sinx-cosx-ax-In(1-x),所以函数g(x)的定义域为令d(x)=g'(x),则d'(x)=e*-sinx+cosx+时，d'(x)>0,函数g'(x)单调递增.,所以存在大大招30g'(x)>0,所以g(x)<g(0)=0,矛盾.当a≤时,所以当x∈使得g'(δ₂)=0,所以当x∈(0,δ₂)时，g'(x)<g'(δ₂)=0,函数g(x)单调递减，所以当x∈(0,g'(x)<0,函数g(x)单调递减，当x∈(0,1)时，g'(x)>0,函数g(x)单调递增，所以当x∈3x-In(1-x)>0-2-3x-In(1-x)=-3x-ln(1-x)-2,构建函数h(x)=-3x-In(1-,所以h'(x)=-3+2+1<2.6<e所以Vx∈(-0,1),g(x)≥0恒成立.极值点&拐点偏移1.极值点偏移一出招构建函数g(x)=f(x)-f(2x₀-x),再分析函数g(x)的单调性即可.判断f(x₂)与f(2x。-x₁)的大小关系.而f(x₁)=f(x₂),因此就需要判断f(x₁)-f(2x₀-x2.拐点偏移判断f(x₂)与f(2m-x₁)的大小关系.而f(x₁)+f(x₂)=2f(m),因此就需要判断2f(m)-f(x₁)与f(x₂)=2f(m)-f(x₁g(x)=f(x)+f(2m-x)进行分析.大招示例①(2022全国甲卷)已知函本题是极值点偏移问题，可通过构造函数本题是极值点偏移问题，可通过构造函数以a的取值范围为(-0