如果存在实数x

1、关于方程根的存在性及个数的讨论刘灿, 数学计算机科学学院摘 要：讨论方程根的存在性及个数在数学分析和泛函分析中比较常见,也是比较难解决的问题.本文就连续函数和导函数零点问题进行讨论,在讨论方程根的存在性时,本文将介值定理进行推广并得到有用的结果,并且给出了利用积分中值定理,罗尔中值定理或者费马定理等定理间接解决方程根的存在性的方法；在讨论导函数零点时,本文给出构造辅助函数的许多方法.这对解决导函数零点问题提供了许多方便,最后推广到度量空间,得到微分方程、积分方程和线性方程根的存在性的一些证明方法,即通常把所求的解归结为度量空间中映射的不动点,然后应用压缩映射定理来统一处理.关键词：方程；存在性

2、；度量空间；不动点；压缩映射定理The discussion on the existence and the numbers of the root of equation Liu Can, College of Mathematics and Computer ScienceAbstract: The discussion on the existence and the numbers of the root of equation in mathematical analysis and functional analysis is common and hard to be solv

3、ed. In this paper, zeros of the continuous function and the derived function are discussed concretely. When the root of equation exists, the zero point theorems are extended and some useful results are obtained. And the methods which resolve the existence of the equation root indirectly are given by

4、 the mean value theorem of integrals and Rolle mean value theorem and Fermat theorem; when the zero point of the derived function is concerned, many methods by which the assistant function is structured are presented. It provides more conveniences for the settlement of the zero point of derived func

5、tion. At last, a few existence of the root of equation extending to metric space, getting proof method of differential equation, integral equation and linear equation, we usually resort the solution of equation to the fixed point of mapping in metric space. The contraction mapping principle can be u

6、sed to solve many problems.Key words: Equation; Existence; Metric space; Fixed point; The theorem of contraction mapping 1 引言关于方程的根在高数中我们也称为函数的零点.在函数零点的存在性上,大家做的非常多,关于函数零点存在性证明的定理也较多,但都是从某一方面进行讨论,没有系统总结过.在函数零点的个数方面,由于函数类型不同,讨论也不尽相同,所以在这方面做的还不是很多.在多元方程方面涉及的更少了,但现实生活面对的问题更多是多元方程根的求解.首先我们先考虑一元方程根的存在性及个

7、数,若是连续函数,我们有连续函数的介值定理,介值定理是一大类方程根的存在性的理论根据.有时使用连续函数的介值定理(零点定理)就可以直接求得结果,但在难以认定正值点与负值点的存在性时,就需要改用其它方法间接求得,比如用积分中值定理,罗尔中值定理或者费马定理等方法去求.依据异号函数值或驻点,划分区间讨论根的存在性及唯一性,是确定方程根的数量的基本方法之一. 在前人的基础上将这一部分进行系统总结.然后利用压缩映射定理在局部范围内向度量空间进行推广.2 为连续函数方程根的存在性及其个数 在区间上连续,讨论方程根的存在性及其个数.2.1 存在性(1) 定性考虑取,若 且, 则由的连续性及介值定理可以确定

8、存在,使,即方程有实根.(2) 定量考虑若能确定,使,则由的连续性及介值定理可以确定存在,使,即方程有实根.若函数值异号条件隐蔽时,确定,使是比较困难的,这时根据题设条件一般有如下方法去确定 (). 如果曲线凹凸性已确定（符号）,可以过定点作曲线的一条切线,得到切线与轴的交点,若曲线向上凹,则；若曲线向上凸,则. 将在定点展成泰勒公式,根据题设条件可以得到有关的不等式,借助此不等式可以确定,使或. 根据题设条件有时考虑的最大、最小值,往往也能确定,使或.2.2 唯一性 应用函数的单调性或者反证法均可奏效.2.3 根的个数 根据异号函数值或驻点,划分区间讨论方程根的存在性及唯一性是确定方程根个数

9、的基本方法之一.下面由例题具体讨论方程根的存在性及个数.例1 在上二阶可微,则在内只有一个实根.证明 已知,再寻求使,为此有两种处理方法：(1)过定点作曲线的切线：,则切线与轴交点,由（向上凸）显然有.(2)将在依一阶泰勒展开且依题设条件有：得到即有,在连续及,由介值定理存在,使,即在内有实根.唯一性：(1) 在上便有在单调递减,因而当便有,于是方程在单调递减,故在上有唯一实根即只有一个实根.(2) 唯一性证明也可用反证法：若存在使,则由罗尔定理,存在使,这与是矛盾的.因而只有一点,使.证毕.注：例1在方程根的存在性的证明中是采取了定量的证明方法,也可采用定性的方法证明,即研究函数的渐近性态,

10、具体如下：由拉格朗日中值定理,对任意有,于是就有,即肯定存在一点,使,又,由连续性,方程的根显然存在.例2 设则在内有且仅有两个零点.我们给出本题的思路：该题是讨论函数的零点个数,因而将区间分成单调区间,然后在每个区间讨论零点的存在性和唯一性证明 由题设于是,即（是驻点）,显然在上,即在单调增加；在上,即在上单调减少. , （1） , （2）. （3）由(1),(2)式及函数单调性,在上仅有一个零点；由式(1),(3)及函数单调性,在也仅有一个零点,即在内有且仅有两个零点.证毕.3 当为导函数方程=0根的存在性及个数将方程=0中的视为某函数的导函数,然后运用罗尔定理讨论有时很方便的,当显含导数

11、信息时,更应如此,这里某函数为辅助函数,下面给出构造辅助函数的方法.3.1 积分法（又称找原函数方法）例3 设在上连续,在内可导,则存在,使证明 即证方程在内有实根构造辅助函数（用积分法）：,(令)显然,（当然辅助函数也可设）,显然在上连续,在内可导,且,由罗尔定理,使.证毕.例3中辅助函数的构造是通过积分找到的,因而称“找原函数法”,其一般步骤为：(1) 先将要证明的结果转化为某个方程根的存在性；(2) 将(1)中方程积分,找出原函数（即辅助函数）.例4 设在上连续,则存在使.略证 设,显然在上连续,在内可导,且,再用罗尔定理即可证明.注：在许多等式问题的证明上,很多都可以归结到函数的零点问

12、题,因而再据零点问题的讨论便有结果.3.2 指数因子法直接积分不能很快的找出辅助函数,比如讨论方程根的存在性,辅助函数是不能用积分方法得到的.下面选用例题介绍用指数因子法构造辅助函数.例5 设在上连续,在内可导,.证明:(1) 对,使；(2) 使.证明 (1) 设,显然,且,由罗尔定理,对都有,即.(2) 设,显然且,由罗尔定理,使 , 证毕.注：通过例5,我们要对形式函数多一些关注,记住它在构造辅助函数时的作用,这里我们主要用到这类函数两点性质：(1) ；(2) 求导之后仍有因子.例6 设在上连续,在可导,且满足,证明使得.证明 设即,再设辅助函数,显然且,再由罗尔定理即得.证毕.3.3 常

13、数值法如果导函数零点问题中含相对常数的边界点（如等）或的边界函数值（如等）,则可将它们都移到等式一端,并记常数,然后以端点函数值相等为突破口研究上述等式,则往往可得有效的辅助函数.例7 设,证明：存在,使.证明 由得到,设,则有下面对称式：,因此设辅助函数 ,则且,由罗尔定理,使即.证毕.注：在应用“常数值法”中,对称式是关键,它决定某个函数在某两点函数值相等,因而借助该对称式构造出辅助函数.4 度量空间上微分方程和积分方程根的存在性及个数在微分方程和积分方程的理论中,根的存在性、唯一性是很重要的问题,有了度量空间就可以把解方程转化为度量空间中求某一映射的不动点.压缩映射原理可统一处理许多方程

14、根的存在性和唯一性问题.定义11 设是度量空间,是到中的映射,如果存在一个数,使得对所有的,成立 , （4）则称是压缩映射.定理11 (压缩映射定理) 设是度量空间,是上的压缩映射,那么有且只有一个不动点(就是说,方程,有且只有一个解)4.1 压缩映射原理在微分方程上的应用例8 设有微分方程 , (5)其中在全平面上连续,此外还设关于 y满足条件: ,则通过点,微分方程(5)有一条且只有一条积分曲线.证明 问题(5)等价于求解下述积分方程, (6)取,使,用表示在区间上连续函数组成的空间,在其上定义映射为,则因为,故由压缩映射原理知,存在惟一的连续函数,满足(6)式.由(6)式可以看出,是连续

15、可微的,于是便是(6)的惟一解.证毕.注意这里所得到的解只定义在区间上,重复应用上述步骤,就可以把解延拓到全数轴上.例9 设在上连续,且处处存在,同时存在常数,使,则对于在上有唯一的连续解.证明 在完备空间上作映射,则也是上的连续函数,所以是上的映射,又对任意,有其中,而,令,有,或.由于是上的压缩映射,由不动点定理知,必有唯一的使,即.证毕.4.2 压缩映射原理在积分方程上的应用例10 积分方程解的存在性和惟一性.设在上连续,是常数,则积分方程,在上存在惟一的连续函数解.证明 映射.由下式确定,.以下证是压缩映射.任取,其中.应用归纳法可证得,.因为,故当足够大时,可使,因此满足压缩映射定理

16、的条件,所以在中有惟一的不动点,即积分方程在上存在惟一的连续解.证毕.4.3 压缩映射原理在线性方程上的应用例11 设有线性方程组.试证明此方程组有惟一解.证明 设，,且定义度量,则是完备的.由于所以是压缩映射,由压缩映射定理,存在惟一不动点,使得.证毕.结论在数学分析和泛函分析中我们会经常遇到讨论方程根的存在性及个数的问题,这在高等教学和考研也是比较难解决的问题.在讨论方程根的存在性时,本文将介值定理进行推广并得到有用的结果；在讨论导函数零点时,本文给出构造辅助函数的许多方法.这对解决导函数零点问题提供了许多方便.最后推广到度量空间,得到微分方程、积分方程和线性方程根的存在性的一些证明方法.

17、参考文献：1 程其襄,张奠宙等.实变函数与泛函分析基础（第二版）M.高等教育出版社,2003.2 张运章.压缩映射原理及其应用J.孝感学院学报,2005,25（6）：45-49.3 周丽馥,刘自新.函数零点问题J.大连大学学报,2003,24（4）：1-5.4 孙礼信,姜海洋.压缩映射原理及其在数学分析中的作用J.白城师范学院学报,2004,18（4）：24-25.5 姜文英.压缩映象原理的应用J.衡水师专学报,2004,6（2）：8-9.6 何艳玲,戴立辉.任意区间上连续函数的零点定理J.宜春学院学报（自然科学）,2006,28 (2):39-40.7 宋述刚,邹健.连续函数的零点J.青海师范大学学报（自然科学版）,2005,4.8 孟赵玲,李秀淳.用微积分理论解决函数零点问题的几种方法J.北京印刷学院学报,2003,11(1):45-46.9 李英.微积分中讨论方程实数根的几种方法J.内蒙古财经学院学报,2004,2(3):79-80.10 孙钢钢. 逐次逼近讨论方程的根J.皖西学院学报,2005,21(5):8-9.11 Cao Jian-sheng, Robert Gardner, Lin Ai-guo, Huang Bing-jia. Some Results on the Location of Zeros of Analytic Funct