子空间的和与直和_第1页
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1、5.5 子空间的和与直和授课题目：子空间的和与直和. 教学目标： 1理解并掌握子空间的概念.2掌握子空间的判别方法，熟悉几种常见的子空间.3掌握子空间的交与和的概念.授课时数：3学时教学重点：子空间的判别.教学难点：子空间的交与和教学过程：一 子空间的的和回忆:令W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W 对于V 的加法以及标量与向量的乘法来说是封闭的，那么就称W是V 的一个子空间. 一个向量空间V本身和零空间叫做V的平凡子空间。V的非平凡子空间叫做V的真子空间。 1. 定义：设，则称的子集为即=定理：若均为的两个子空间，则仍然是子空间.证明：故对均为子空间.于是是的子空间。推广：仍然是的子

2、空间.补充：若=L，则=L证明：，有，设+=L定理 维数定理。dim()=dim证明: 设 取的一个基为 因为 同是的子空间, 所以可以分别扩充成与的基 (2) (3)这里下面证明 (4)是的基.显然, 中每个向量都可以由(4)线性表示, 只需证明(4)线性无关.设则于是在F中存在使得即由于是的基, 所以于是 由于是的基, 所以这样(4)线性无关, 从而(4)是的基. 从而对于时, 仿照上面的证明, 把和的基拼起来就是和的基.推论：dim()dim当且仅当=0时=dimdimn,则例1：设有向量组令，求的维数和一组基解：由于=L故的维数就是向量的秩，而这个向量组的极大无关组也是的基。将为列作矩

3、阵施行初等行变换：由于秩（A）=秩（B）=3，且由B知，第2，3，4列线性无关，故便是的一个基。（杨子胥下册154）例2：求和的基和维数解：给出P的一组基：而=A其中A=定义2 设是线性空间V的两个子空间，如果定理. 当是直和则且分解成是唯一的证：“必要性”，若有 则且，从而同理“充分性”（只须证），则，又，由表示法唯一，故，即故定理. 若，则下列命题彼此等价的一个基与的一个基，并起来是的一个基证：运用循回证法由知由维数定理，得分别是，那么，由于于是，为的基。设分别为与的基，有是的基，对有且令即线性无关 故，又故三.余子空间的确定.是n维向量空间的一个子空间，且，则存在余子空间使证：设是的一个基，则且，将扩充为的一个基，使作，于是，而故是的余子空间，例：已知，求的余子空间使。解：以为列作矩阵，对施行初等变换显然线性无关，设，故为所求。是n维线性空间的子空间，则的余子空间不唯一。证：（另外找出的余子空间）设是的一个基，将其扩充为的一个基于是为的余子空间。又也是的一个基。设是基数线性无关于是亦为之余子空间。（证，与中有一个向量不相同），若，则故线性相关与线性无关相矛盾。（3）.子空间的直和可以推广到多个子空间的情形.设

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