课时跟踪检测（四十九）空间向量与空间角

1、.课时跟踪检测四十九空间向量与空间角1.如下图，在三棱柱ABCA1B1C1中，AA1底面ABC，ABBCAA1，ABC90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，那么直线EF和BC1所成的角为_2如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACB90°，2ACAA1BC2.假设二面角B1DCC1的大小为60°，那么AD的长为_3.如图，在正四棱锥SABCD中，O为顶点在底面上的射影，P为侧棱SD的中点，且SOOD，那么直线BC与平面PAC所成角为_42019·广州模拟如图，在底面为直角梯形的四棱锥PABCD中，ADBC，ABC90°，PA平面ABCD

2、，PA3，AD2，AB2，BC6.1求证：BD平面PAC；2求二面角PBDA的大小52019·辽宁高考如图，直三棱柱ABCABC，BAC90°，ABACAA，点M，N分别为AB和BC的中点1证明：MN平面AACC；2假设二面角AMNC为直二面角，求的值6如图1，在RtABC中，C90°，BC3，AC6，D，E分别是AC，AB上的点，且DEBC，DE2.将ADE沿DE折起到A1DE的位置，使A1CCD，如图2.1求证：A1C平面BCDE；2假设M是A1D的中点，求CM与平面A1BE所成角的大小；3线段BC上是否存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直？说明理由12

3、019·汕头模拟如下图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为正方形，PD平面ABCD，PDAB2，E、F、G分别为PC、PD、BC的中点1求证：PAEF；2求二面角DFGE的余弦值22019·北京西城模拟如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABBC2AA1，ABC90°，D是BC的中点1求证：A1B平面ADC1；2求二面角C1ADC的余弦值；3试问线段A1B1上是否存在点E，使AE与DC1成60°角？假设存在，确定E点位置；假设不存在，说明理由答 案课时跟踪检测四十九A级1解析：建立如下图的空间直角坐标系设ABBCAA12，那么C12,0,2，E0,1,

4、0，F0,0,1，那么0，1,1，2,0,2，·2，cos，EF和BC1所成角为60°.答案：60°2解析：如图，以C为坐标原点，CA，CB，CC1所在的直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，那么C0,0,0，A1,0,0，B10,2,2，C10,0,2设ADa，那么D点坐标为1,0，a，1,0，a，0,2,2，设平面B1CD的一个法向量为mx，y，z那么，令z1，得ma,1，1，又平面C1DC的一个法向量为n0,1,0，那么由cos 60°，得，即a，故AD.答案：3解析：如下图，以O为原点建立空间直角坐标系Oxyz.设ODSOOAOBOCa，

5、那么Aa,0,0，B0，a,0，Ca,0,0，P.那么2a,0,0，a，a,0设平面PAC的法向量为n，可求得n0,1,1，那么cos，n.，n60°，直线BC与平面PAC的夹角为90°60°30°.答案：30°4解：1证明：由题可知，AP、AD、AB两两垂直，那么分别以AB、AD、AP所在直线为x、y、z轴建立如下图的空间直角坐标系，那么A0,0,0，B2，0,0，C2，6,0，D0,2,0，P0,0,3，0,0,3，2，6,0，2，2,0，·0，·0.BDAP，BDAC.又PAACA，BD平面PAC. 2显然平面ABD的

6、一个法向量为m0,0,1，设平面PBD的法向量为nx，y，z，那么n·0，n·0.由1知，2，0,3，整理得令x，那么n，3,2，cosm，n.结合图形可知二面角PBDA的大小为60°.5解：1法一：证明：如图，连接AB，AC，由BAC90°，ABAC，三棱柱ABCABC为直三棱柱，所以M为AB中点又因为N为BC的中点，所以MNAC.又MN平面AACC，AC平面AACC，所以MN平面AACC.法二：证明：取AB 中点P，连接MP，NP，而M，N分别为AB与BC的中点，所以MPAA，PNAC，所以MP平面AACC，PN平面AACC.又MPNPP，因此平面M

7、PN平面AACC.而MN平面MPN，因此MN平面AACC.2以A为坐标原点，分别以直线AB，AC，AA为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系Oxyz，如下图设AA1，那么ABAC，于是A0,0,0，B，0,0，C0，0，A0,0,1，B，0,1，C0，1，所以M，N.设mx1，y1，z1是平面AMN的法向量，由得可取m1，1，设nx2，y2，z2是平面MNC的法向量，由得可取n3，1，因为AMNC为直二面角，所以m·n0，即31×120，解得负值舍去6解：1证明：因为ACBC，DEBC，所以DEAC.所以EDA1D，DECD，所以DE平面A1DC.所以DEA1C.又因为A1C

8、CD.所以A1C平面BCDE.2如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系Cxyz，那么A10,0,2，D0,2,0，M0,1, ，B3,0,0，E2,2,0设平面A1BE的法向量为nx，y，z，那么n·0，n·=0. 又3,02 1,2，0，所以令y1，那么x2，z.所以n2,1，设CM与平面A1BE所成的角为.因为0,1,所以sin |cosn, |.所以CM与平面A1BE所成角的大小为.3线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直，理由如下：假设这样的点P存在，设其坐标为p,0,0，其中p0,3设平面A1DP的法向量为mx，y，z，那么m·0，m&

9、#183;0.又(0，2，2,p，2,0，所以令x2，那么yp，z.所以m2，p，平面A1DP平面A1BE，当且仅当m·n0，即4pp0.解得p2，与p0,3矛盾所以线段BC上不存在点P，使平面A1DP与平面A1BE垂直B级1解：以D为坐标原点，建立如下图的空间直角坐标系Dxyz，那么D0,0,0，A0,2,0，C2,0,0，P0,0,2，E1,0,1，F0,0,1，G2,1,01证明：由于0,2，2，1,0,0，那么·1×00×22×00，PAEF.2易知0,0,1，1,0,0，2,1，1，设平面DFG的法向量mx1，y1，z1，那么解得令x

10、11，得m1,2,0是平面DFG的一个法向量设平面EFG的法向量nx2，y2，z2，同理可得n0,1,1是平面EFG的一个法向量cosm，n，设二面角DFGE的平面角为，由图可知m，n，cos ，二面角DFGE的余弦值为.2解：1证明：连接A1C，交AC1于点O，连接OD.由ABCA1B1C1是直三棱柱，得四边形ACC1A1为矩形，O为A1C的中点又D为BC的中点，所以OD为A1BC的中位线，所以A1BOD，因为OD平面ADC1，A1B平面ADC1，所以A1B平面ADC1.2由ABCA1B1C1是直三棱柱，且ABC90°，得BA，BC，BB1两两垂直以BC，BA，BB1所在直线分别为x，y，z轴，建立如下图的空间直角坐标系Bxyz.设BA2，那么B0,0,0，C2,0,0，A0,2,0，C12,0,1，D1,0,0，所以1，2,0，2，2,1设平面ADC1的法向量为nx，y，z，那么有所以取y1，得n2,1，2易知平面ADC的一个法向量为v0,0,1所以cosn，v.因为二面角C