【中考数学压轴题专题突破18】相似与旋转

1、【中考压轴题专题突破18】相似与旋转已知ABC是等边三角形，点D在BC边上，点E在AB的延长线上，将DE绕D点顺时针旋转120°得到DF.(1)如图1,若点F恰好落在AC边上，求证：点D是BC的中点；(2)如图2,在(1)的条件下，若/DFC=45°,连接AD,求证：BE+CF=AD;(3)如图3,若BE=CD,连CF,当CF取最小值时，直接写出旦L的值.CD2 .如图，RtAABC中，/ACB=90°,AC=BC,D是线段AB上一点(0vADvAB).过点B作BELCD,垂足为E.将线段CE绕点C逆时针旋转90°,得到线段CF,连接AF,EF.设/BC

2、E的度数为a.(1)依题意补全图形.若a=60°,则/CAF=(2)用含a的式子表示EF与AB之间的数量关系，并证明.3 .综合与实践-探究正方形旋转中的数学问题问题情境：已知正方形ABCD中，点O在BC边上，且OB=2OC.将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D'（点A',B',C',D'分别是点A,B,C,D的对应点）.同学们通过小组合作，提出下列数学问题，请你解答.特例分析：（1）“乐思”小组提出问题：如图1,当点B'落在正方形ABCD的对角线BD上时，设线段A'B'与CD

3、交于点M.求证：四边形OB'MC是矩形；（2） “善学”小组提出问题：如图2,当线段A'D'经过点D时，猜想线段C'O与D'D满足的数量关系，并说明理由；深入探究：（3）请从下面A,B两题中任选一题作答.我选择题.A.在图2中连接AA'和BB',请直接写出%的值.B.“好问”小组提出问题：如图3,在正方形ABCD绕点O顺时针旋转的过程中，设直线BB'交线段AA'于点P.连接OP,并过点O作OQLBB'于点Q.请在图3中补全图形，并直接写出史的值.0Q图1网2图34 .如图，已知AC为正方形ABCD的对角线，点P是平

4、面内不与点A,B重合的任意一点，连接AP,将线段AP绕点P顺时针旋转90°得到线段PE,连接AE,BP,CE.(1)求证：APEAABC;(2)当线段BP与CE相交时，设交点为M,求配的值以及/BMC的度数；CE(3)若正方形ABCD的边长为3,AP=1,当点P,C,E在同一直线上时，求线段BP的长.备用图5 .在ABC中，CA=CB,/ACB=a(0°VaV180°).点P是平面内不与A,C重合的任意一点，连接AP,将线段AP绕点P逆时针旋转a得到线段DP,连接AD,CP.点M是AB的中点，点N是AD的中点.(1)问题发现如图1,当a=60°时，岖的值

5、是，直线MN与直线PC相交所成的较小角的度PC数是.(2)类比探究如图2,当a=120°时，请写出的幽值及直线MN与直线PC相交所成的较小角的度数，PC并就图2的情形说明理由.(3)解决问题如图3,当a=90°时，若点E是CB的中点，点P在直线ME上，请直接写出点B,P,6 .在4ABC中，ZABC=120°,线段AC绕点C顺时针旋转60°得到线段CD,连接BD.(1)如图1,若AB=BC,求证：BD平分/ABC;(2)如图2,若AB=2BC,求以L的值；雨连接AD,当SaABC=Y3时，直接写出四边形ABCD的面积为2【中考压轴题专题突破18】相似与旋

6、转参考答案与试题解析(1)证明：如图1中，作DM±AB于M,DN，AC于N.ABC是等边三角形，/A=60, ./AMD=/AND=90°, ./MDN=ZEDF=120°, ./EDM=ZFDN,./DME=/DNF=90°,DE=DF,DMEADNF(AAS), DM=DN,./DBM=/C=60°,/DNC=90°,DMBADNC(AAS),DB=DC, 点D是BC的中点.(2)证明：如图2中，连接AD,作DM±AB于M,DNAC于N.图2 DMBADNC,.CN=BM, DMEADNF,EM=FN,BE+CF=BE+

7、CN+FN=BE+BM+EM=2EM=2FN, ./DFN=45°,/DNF=90°,DN=FN, BD=CD,AB=AC,/BAC=60°,./DAN=A/BAC=30°,2AD=2DN=2FN=BE+CF.作ANXBC于N.(3)解：如图3中，连接AF,AD,延长CB至UM,使得BM=2. ./ABC=/MBE=60°,BM=BE,.BEM是等边三角形，.M=/ACD=60°,EM=BE=CD,DM=BC=AC,MDEACAD(SAS),DE=DA=DF, ./DAE=ZDEA,/DAF=ZDFA, ./EDF=120°

8、,.2ZDAE+2ZDAF=240°,./DAE+ZDAF=120°,./BAC=60°,./FAC=ZACB=60°,AF/BC,根据垂线段最短可知，当CFAF时，CF的值最小,AN±BC,CFXBC, .AN=CF,BN=CN,.DA=DF,ZAND=ZFCD=90°, RtAANDAFCD(HL),DN=DC,BD=3CD,BD.=3.CD解：(1)依题意补全图1;BEXCD,/CEB=90°,a=60,CBE=30°,在RtABC中，AC=BC,.ac=2!a2B,./FCA=90°/ACE,/E

9、CB=90°一/ACE,./FCA=ZECB=a.在ACF和BCE中,AC=BC,/FCA=/ECB,FC=EC,ACFABCE(SAS),./AFC=/BEC=90°,/CAF=/CBE=30.-.cf=-1ac,由旋转知，CF=CE,/ECF=90°,EF=.'：CF=.AC=AB,故答案为30,-1;(2) EF=ABcosa.证明： ./FCA=90°-/ACE,/ECB=90°-/ACE,./FCA=ZECB=a.同(1)的方法知，ACFABCE, ./AFC=ZBEC=90°,在RtAAFC中,cos/FCA= .

10、/ACB=90°,AC=BC,./CAB=ZCBA=45°. ./ECF=90°,CE=CF,./CFE=ZCEF=45°.在FCE和ACB中，ZFCE=ZACB=90°,/CFE=ZCAB=45°,.FCEAACB,KFFC'AB"ACcos/FCA=cosa,即EF=ABcosa.3. (1)证明：二.四边形ABCD是正方形，BC=CD,/0=90°, ./CBD=ZCDB=45°由旋转可知，OB=OB', ./OB'B=ZOBB'=45°, /B'O

11、C是ABOB'的一个外角， ./B'OC=/OB'B+/OBB'=45°+45°=90°, 四边形A'B'CD'是正方形， ./OB'M=90°,，四边形OB'MC是矩形；(2)解：D'D=2C'O,理由如下：如图2，连接OD,OD',过点O作OED'D于点E,则/OED'=90°,由旋转可知，OD=OD',则D'D=2D'E, 四边形A'B'CD'是正方形， C'=/OED&#

12、39;=90°, 四边形OC'D'E是矩形， ,.C'O=D'E, ,.D'D=2C'O; 3)解：A、如图2，连接AA',BB',OA,OA', 将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D', .OB=OB',OA=OA',/BOB'=ZAOA',OA0AJ' .OBB's'OAA',.稣国BB'OB' .AB=BC,OB=2OC, ,设OC=x,则OB=2x,.-.AB=BC=3x,O

13、A=Jab2+（3工）2十（22=后孔 AA，|=0A=VT?h=a/L3.BBOB2k2'B、如图3,连接OA,OA',将正方形ABCD绕点O顺时针旋转得到正方形A'B'C'D', .OB=OB',OA=OA',/BOB'=ZAOA./OBB'=ZOAA',.点A,B,O,P四点共圆， ./ABO+ZAPO=180°, ./APO=90°, .OQ±BB，,./BQO=/APO=90°,OAPAOBQ, OP3=旧,'.=-. QOB24.解：（1）.AC是

14、正方形ABCD的对角线，/ABC=90°,ZBAC=ZBCA=45°,由旋转知，PA=PE,/APE=90°=/ABC,.ZPAE=ZPEA=45°=ZBAC,.APEsABC;（2）在RtAABC中，AB=CB,.AC=2AB,由（1）知，APEAABC,-M_AP AC缸./BAC=ZPAE=45°,./PAB=ZEAC,.PABAEAC,里迪=4=返，CEACV2AB2PABAEAC, ABP=/ACE,ACB+ZABC=/BCE+/CBM=/BCE+/ABP+/ABC=/BCE+/ACE+/ABC=/45°+90°=

15、135°,./BMC=180°(/BCE+/CBM)=45(3)如图，在RtABC中，AB=BC=3,AC=3日点P,C,E在同一条线上，且/APE=90°,-CP=，.CE=CP-PE=Vi7-1或CE'=CP'+P'E=V17+1,由(2)知，旦E=返，CE2.BP=CE="或bp'=CE'3Y22222即：BP的长为叵亚或叵也225.月A/B解：（1）如图1中，连接PC,BD,延长BD交PC于K,交AC于G.2 图1,.CA=CB,/ACB=60°,ABC是等边三角形，.ZCAB=ZPAD=60&#

16、176;,AC=AB,./FAC=ZDAB,AP=AD,PACADAB(SAS),3 PC=BD,/ACP=ZABD,AN=ND,AM=BM,BD=2MN, PC2./CGK=ZBGA,/GCK=ZGBA,./CKG=ZBAG=60°,BK与PC的较小的夹角为60°,MN/BK,MN与PC较小的夹角为60°.故答案为一,60°.2(2)如图设MN交AC于F,延长MN交PC于E. ,.CA=CB,PA=PD,ZAPD=ZACB=120°,.PADACAB,.AP_AC, ACABAM=MB,AN=ND,ACAM'幽W通PCAC2ACPAA

17、MN,./ACP=ZAMN,./CFE=ZAFM,./FEC=ZFAM=30°PC=V2a,ME是ABC的中位线，/ACB=90°,.ME是线段BC的中垂线， PB=PC=V2a,MN是ADB的中位线，DB=2MN=2a,如图3-1中，当点P在线段BD上时，PD=DB-PB=(2-2)a,a,如图32中，PD=DB+PB=(2+&)=2+6.=2-MNPDMN6.(1)证明：连接AD,由题意知，/ACD=60°,CA=CD,.ACD是等边三角形，.CD=AD,又AB=CB,BD=BD,ABDACBD(SSS,./CBD=ZABD,BD平分/ABC;(2)解：连接AD,作等边三角形ACD的外接圆OO, ./ADC=60°,/ABC=120°, ./ADC+ZABC=180°,.点B在。O上， AD=CD,.加司 ./CBD=ZCAD=60°,在BD上截取BM,使BM=BC,则4BCM为等边三角形， ./CMB=60°,./CMD=120°=ZCBA,又.CB=CM,/BAC=/BDC,CBAACMD(AAS),MD=AB,设BC=BM=1,贝UAB=MD=2,BD=3,过点C作CNXBD