定积分思想的理论延拓及应用

1、本科毕业论文(设计)题目： 定积分思想的理论延拓及应用学 院 专 业 班 级 学 号 姓 名 指导教师 山东财政学院教务处制二一一年 五月 定积分思想的理论延拓及应用 xxx 一直以来定积分问题就是大学数学学习的重点，也是研究生入学考试重点考察的内容之一，所以本文对定积分的起源、发展以及它在数学、几何学、物理学、经济学等学科的应用做了重点研究。幷利用一些例题对这些问题做除了详细解析。一般地，设函数在区间上连续，用分点将区间等分成个小区间，每个小区间长度为（），在每个小区间上取一点，作和式：如果无限接近于（亦即）时，上述和式无限趋近于常数，那么称该常数为函数在区间上的定积分记为： 其中成为被积函

2、数，叫做积分变量，为积分区间，积分上限，积分下限说明：（1）定积分是一个常数，即无限趋近的常数（时）称为，而不是（2）用定义求定积分的一般方法是：分割：等分区间；近似代替：取点；求和：；取极限：（3）曲边图形面积：；变速运动路程；变力做功 1.2定积分的几何意义 如果在区间上函数连续且恒有，那么定积分表示由直线（），和曲线所围成的曲边梯形的面积说明：一般情况下，定积分的几何意义是介于轴、函数的图形以及直线之间各部分面积的代数和，在轴上方的面积取正号，在轴下方的面积去负号 分析：一般的，设被积函数，若在上可取负值考察和式不妨设于是和式即为阴影用类似求图形面积的思想我们也可以求一个立体图形的体积,

3、常见的已知几何体的截面积求几何体的体积,另一种是求旋转体的体积,解此类题常用的方法是我们将此物体划分成许多基本的小块,每块的厚度为,假设每一个基本的小块横截面积为A（x）,则此小块的体积是A(x),将所有的小块加起来，另，我们可以得到其体积v=lim其中 a和 b分别为计算体积的起始值和终了值. 下面来看几个例题例1 求椭圆面所围立体的体积解：以平面)截椭球面,得椭圆在YOZ平面上的正投影所以截面面积函数为 于是求得椭球体积显然当=r 时,就等于球的体积1.4.2定积分在初等数学里的应用近些年来，定积分还越来越多的被广泛应用到初等数学中的一些问题上来，下面来讨论一下定积分在证明不等式，等式和一

4、些数列的极限的方面的应用一、 证明不等式运用积分来证明不等式，一般要利用到积分的如下性质：设与都在上可积且；则特别的当时，有例2 证明贝努利不等式 已知且且求证：证明：若或且时， 。因此 即为。若或且时因此 由此可得。综合以上可得：当时，且 且 时有由上面的证明我们可以推广，去掉条件时，结论仍然成立所以，我们可以得到一个一般的结论设 则若时，有若或时，有当且仅当时，两式中的等号成立例3已知是实数，并且，其中是自然对数的底，证明证明：当时，要证明，只要证明 既要证明 时，因为 从而所以当时， 于是得到求和：根据微分与积分互为逆运算的关系,先对和式积分,利用已知数列的和式得到积分和,再求导即可.二

5、、定积分在几何中的应用2.1微元法微元法（或元素法）可加性可加性，所求量所求量所求量直角坐标情形根据定积分的几何意义，由区间连续曲线、及直线所围成的平面图形的面积A，由定积分的性质，此式可写为 (利用微元法求解可得同样的结果)其中d就是面积元素2.2.2极坐标情形 图 5-17某些平面图形，用极坐标计算它们的面积比较方便用微元法计算：由极坐标方程所表示的曲线与射线所围成的曲边扇形面积（图5-17）以极角为积分变量，积分区间为，在上任取一小区间，与它相应的小曲边扇形面积近似于以为圆心角为半径的圆扇形面积，从而得到面积元素于是所求面积为例4 计算心形线所围成的平面图形的面积（图5-18）解：由于图

6、形对称于极轴，只需算出极轴以上部分面积，再2倍即得所求面积A对于极轴以上部分图形，的变化区间为相应于上任一小区间的窄曲边扇形的面积近似于半径为、圆心角为的圆扇形的面积从而得到面积元素图 5-18，得 = = =所以，所求面积为2.3用定积分求解图形体积2.3.1旋转体的体积设一旋转体是由曲线与直线、及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转而成（图5-19）现用微元法求它的体积在区间上任取，对应于该小区间的小薄片体积近似于以为半径，以为高的薄片圆柱体体积，从而得到体积元素为 图 5-19 从a到b积分，得旋转体体积为 类似地，若旋转体是由连续曲线与直线及y轴所围成的图形绕y轴旋转而成，则其体积为例5 求

7、椭圆绕x轴旋转而成的旋转体的体积（图5-20）图 5-20解 将椭圆方程化为体积元素为所求体积为 =当a=b=R时，得球体积V=2.3.2平行截面面积为已知的立体的体积从计算旋转体体积的过程中可以看出：如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面的面积，那么，这个立体的体积也可以用定积分计算 图5-22如图5-22所示，取上述定轴为x轴，并设该立体在过点x=a、x=b且垂直于x轴的两个平面之间，以A(x)表示过点x且垂直于x轴的截面面积A(x)为x的已知的连续函数取x为积分变量，它的变化区间为立体中相应于上任一小区间的薄片的体积，近似于底面积为A(x)、高为dx的扁柱体的体积

8、，即体积元素于是所求立体的体积为例6 一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角（图5-23）计算这个平面截圆柱所得立体的体积解： 取这平面与圆柱体的底面的交线为x轴，以过底圆中心且垂直x轴的直线为y轴此时，底圆的方程为立体中过点x且垂直于x轴的截面是直角三角形它的两条直角边的长度分别为，即于是截面面积为图 5-23因此所求立体体积为=三定积分在经济学中的应用3.1常见的经济学中的函数3.1.1需求函数需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量，用Q 表示，它与商品价格P 密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少.如果不考虑其它因素的影响（

9、或其它因素不变），则Q 是P 的函数，称为需求函数，记作Q = f (P)它通常是一个单调减少函数.常见的需求函数有以下几种类型：1. 线性需求函数Q = a + bP (a > 0,b > 0)2. 二次需求函数Q = a bP (a > 0,b > 0,c > 0)3. 指数需求函数 (a > 0,b > 0)有时也把Q = f (P)的反函数P = f 1 (Q)也称为需求函数.3.1.2供给函数供给量是指在特定时间内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用S 表示，假设除了商品的价格P 外影响供给的其它因素均不变，则S 是P 的函数S = g(

10、P)它通常是一个单调增函数.常见的供给函数有以下几种类型：1. 线性供给函数S = a + bP (a > 0,b > 0)2. 指数供给函数S = (a > 0,b > 0)当 Q=S 时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,

11、单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场.3.1.3总成本函数、收入函数和利润函数在生产和经营活动中，如果投入的各要素价格不变，则成本C 是产量开销售量Q 的函数C = C(Q)，称为总成本函数.一般地总成本函数由两部分组成C(Q)= 其中 为固定成本，它与产量无关，如厂房、设备的折旧费、企业管理费等; 为可变成本，它随产量的增加而增加，如原材料、动力、工人的工资等.常见的成本函数是线性函数.C(Q)= +aQ (a.>0) 以总成本除以产量，得平均成本函数其中与分别称为平均固定成本与平均可变成本.厂商销售Q 单位的商品所提收入为R = R(

12、Q)，称为总收入（益）函数.设商品的价格为P，则总收入函数为R(Q)=PQ总利润L 等于总收入与总成本的差，于是总利润函数为L(Q) = R(Q) C(Q)3.1.4生产函数生产函数是指指产量Q 与各种投入要素之间的函数关系其中 为n 种要素的投入量.如果只考虑两种投入要素：资本K 和劳动L,则生产函数为Q = f (K, L)常见的生产函数有1. 线性生产函数Q = aK + bL (a,b > 0)2. Cobb-Douglas 生产函数 (A, , > 0)上两个生产函数都满足f (K,L) = f (K, L) ,这称为规模报酬不变.3.2定积分在边际函数中的应用积分是微分

13、的逆运算，因此，用积分的方法可以由边际函数求出总函数.设总量函数P(x)在区间I 上可导，其边际函数为P(x)，a, x I ，则总有函数当 x 从a 变到b 时，P(x)的改变量为将 x 改为产量Q，且a=0 时，将P(x)代之以总成本C(Q)、总收入R(Q)、总利润L(Q)，可得其中即为固定成本，为可变成本 （ 因为） 已知某公司独家生产某产品，销售Q 单位商品时，边际收入函数为（元/单位）（a>0,b>0,c>0）求：(1)公司的总收入函数；(2)该产品的需求函数.解 ：(1)总收入函数为=(2)设产品的价格为P，则，得需求函数为 某企业想购买一台设备，该设备成本为50

14、00 元T 年后该设备的报废价值为S(t)=5000-400t 元，使用该设备在t 年时可使企业增加收入850-40t（元）若年利率为5%，计算连续复利，企业应在什么时候报废这台设备？此时，总利润的现值是多少？解： T 年后总收入的现值为T 年后总利润的现值为 令L(T) = 0，得T=10当T<10 时，L(T) > 0，当T<10 时，L(T) < 0，则T=10 是惟一的极大值点即T=10 时，总利润的现值最大，故应在使用10 年后报废这台机器此时企业所得的利润的现值为 (元)3.3定积分在消费者剩余或生产者剩余中的应用在市场经济中，生产并销售某一商品的数量可由这

15、一商品的供给曲线与需求曲线莱描述（下图）需求量与供给量都是价格的函数，用横坐标表示价格，纵坐标表示需求量或供给量在市场经济下，价格和数量在不断调整，最后趋向平衡价格和平衡数量，分别用和表示，也即供给曲线与需求曲线的交点E在图中， 是供给曲线在价格坐标轴上的截距，也就是当价格为时，供给量是零，中有价格高于时，才有供给量而是需求曲线的截距，当价格为时，需求量是零，只有价格低于时，才有需求则表示当商品免费赠送是的最大需求在市场经济中，有时一些消费者愿意对某种商品付出比市场价格P0更高的价格，由此他们所得到的好处称为消费者剩余(CS).由图7-16可以看出： (1)同理，对生产者来说，有时也有一些生产

16、者愿意以比市场价格P0低的价格出售他们的商品，由此他们所得到的好处称为生产者剩余(PS)，如图7-16所示，有 (2)例9设需求函数Q8-，供给函数Q，求消费者剩余和生产者剩余.解:首先求出均衡价格与供需量.得 15，3.令8-0，得P124，令0，得9，代入(3)、(4)式得CS，PS.3.4定积分在实际问题中的应用3.4.1定积分在国民收入中的应用现在，我们讨论国民收入分配不平等的问题.观察如下图中的劳伦茨(MOLorenz)曲线.横轴OH表示人口(按收入由低到高分组)的累计百分比，纵轴OM表示收入的累计百分比.当收入完全平等时，人口累计百分比等于收入累计百分比，劳伦茨曲线为通过原点、倾角

17、为45°的直线；当收入完全不平等时，极少部分(例如1%)的人口却占有几乎全部(100%)的收入，劳伦茨曲线为折线OHL.实际上，一般国家的收入分配，既不会是完全平等，也不会是完全不平等，而是在两者之间，即劳伦茨曲线是图中的凹曲线ODL.易见劳伦茨曲线与完全平等线的偏离程度的大小(即图示阴影面积)，决定了该国国民收入分配不平等的程度.为方便计算，取横轴OH为x轴，纵轴OM为y轴，再假定该国某一时期国民收入分配的劳伦茨曲线可近似表示为yf(x)，则即 不平等面积A最大不平等面积(A+B)-B12-f(x)dx系数表示一个国家国民收入在国民之间分配的不平等程度，经济学上，称为基尼(Gini

18、)系数，记作G. 显然，G0时，是完全平等情形；G1时，是完全不平等情形.例10 某国某年国民收入在国民之间分配的劳伦茨曲线可近似地由yx2，x0，1表示，试求该国的基尼系数.解:如图7-15所示，有故所求基尼系数3.4.2定积分在投资问题中的应用对于一个正常运营的企业而言，其资金的收入与支出往往是分散地在一定时期发生的，比如购买一批原料后支出费用，售出产品后得到货款等等.但这种资金的流转在企业经营过程中经常发生，特别对大型企业，其收入和支出更是频繁的进行着.在实际分析过程中为了计算的方便，我们将它近似地看做是连续地发生的，并称之为收入流(或支出流).若已知在t时刻收入流的变化率为f(t)(单

19、位：元/年、元/月等)，那么如何计算收入流的终值和现值呢?企业在0，T这一段时间内的收入流的变化率为f(t)，连续复利的年利率为r.为了能够利用计算单笔款项现值的方法计算收入流的现值，将收入流分成许多小收入段，相应地将区间0，T平均分割成长度为t的小区间.当t很小时，f(t)在每一子区间内的变化很小，可看做常数，在t与t+t之间收入的近似值为f(t)t，相应收入的现值为f(t)e-rtt，再将各小时间段内收入的现值相加并取极限，可求总收入的现值为现值，(1)类似地可求得总收入的终值为终值.(2)例11某企业将投资800万元生产一种产品，假设在投资的前20年该企业以200万元/年的速度均匀地收回

20、资金，且按年利率5%的连续复利计算，试计算该项投资收入的现值及投资回收期.解:依题知f(t)200，由公式(1)知投资总收入的现值为现值4000(1-)2528.4.假设回收期为T年，则由公式(1)知，由此可解出T-20ln0.84.46(年)，所以回收期约为4.46年.若有一笔收益流的收入率为f ( t) , 假设连续收益流以连续复利率r 计息, 从而总现值例12 现对某企业给予一笔投资A, 经测算,该企业在T 年中可以按每年a 元的均匀收入率获得收入, 若年利润为r, 试求：( 1) 该投资的纯收入贴现值;( 2) 收回该笔投资的时间为多少?解: ( 1) 求投资纯收入的贴现值： 因收入率

21、为a, 年利润为r, 故投资后的T 年中获总收入的现值为 从而投资所获得的纯收入的贴现值为 ( 2) 求收回投资的时间： 收回投资, 即为总收入的现值等于投资由得即收回投资的时间为结束：定积分与实际应用联系较近，牛顿曾利用积分从万有引力导出行星三定律定积分在物理，化学，经济，工程中也有重要的应用，我也相信，随着人类认识的不断发展，定积分将越来越起着重要的作用参考文献 ： 1 华东师大数学系编 数学分析上册 高等教育出版社2 数学分析上册 陈传璋 复旦大学数学系 3 微积分及其应用 李公国（译） 徐氏基金会出版社4 普通物理简明教程 戴启润 西北大学出版社 5 竞赛数学教程 陈传理 张同君 高等教育出版社 6 积分（经管类） 吴赣昌 中国人民大学出版社7 济数学-微积分