第六章不等式-副本

1、十年高考分类解析与应试策略数学第六章 不等式考点阐释不等式是中学数学的重点内容，是进一步学习高等数学的基础知识和重要工具，因而也是数学高考的考查重点，在历年的高考数学试题中有相当的比重，这些试题不仅考查有关不等式的基本知识、基本技能、基本方法，而且注重考查逻辑思维能力、运算能力，以及分析问题和解决问题的能力.不等式的性质在解不等式、证不等式中的应用、证明不等式既是重点又是难点，要求掌握证明不等式的基本方法：作差比较法、综合法、分析法，重点掌握作差比较法.熟练掌握一元一次不等式（组）、一元二次不等式的解法，在此基础上掌握简单的无理不等式、指数不等式、对数不等式的解法.试题类编一、选择题1.（20

2、03京春文，1）设a，b，c，dR，且a>b，c>d，则下列结论中正确的是（ ）A.a+c>b+d B.ac>bd C.ac>bd D.2.（2002京皖春，1）不等式组的解集是（ ）Ax1x1Bx0xCx0x1Dx1x3.（2002全国，3）不等式（1x）（1x）0的解集是（ ）Ax0x1 B.xx0且x1Cx1x1 D.xx1且x14.（2001河南、广东，1）不等式>0的解集为（ ）A.x|x<1 B.x|x>3C.x|x<1或x>3 D.x|1<x<35.（2001京春）若实数a、b满足a+b=2，则3a+3b的最

3、小值是（ ）A.18 B.6 C.2 D.26.（2001上海春）若a、b为实数，则a>b>0是a2>b2的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分条件也非必要条件7.（2000全国，7）若ab1，P，Q（lgalgb），Rlg（），则（ ）A.RPQ B.PQRC.QPRD.PRQ8.（2000全国，6）中华人民共和国个人所得税法规定，公民全月工资、薪金所得不超过800元的部分不必纳税，超过800元的部分为全月应纳税所得额.此项税款按下表分段累进计算：全月应纳税所得额税率不超过500元的部分5%超过500元至2000元的部分10%超过2000元

4、至5000元的部分15%某人一月份应交纳此项税款26.78元，则他的当月工资、薪金所得介于（ ）A.800900元 B.9001200元C.12001500元D.15002800元9.（1999上海理，15）若a<b<0，则下列结论中正确的命题是（ ）A和均不能成立B.和均不能成立C.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立D.不等式和（a+）2>（b+）2均不能成立10.（1999全国，14）某电脑用户计划使用不超过500元的资金购买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘.根据需要，软件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）A.5种 B.6种 C

5、.7种 D.8种11（1997全国，14）不等式组的解集是（ ）A.x0x2 B.x0x2.5C.x0x D.x0x312.（1994上海，12）若0a1，则下列不等式中正确的是（ ）A.（1a）（1a）B.log1a（1a）0C.（1a）3（1a）2D.（1a）1二、填空题13.（2002上海春，1）函数y的定义域为 14.（1999全国，17）若正数a、b满足ab=a+b+3，则ab的取值范围是 .15.（1995全国理，16）不等式（）32x的解集是_.16.（1995上海，9）不等式1的解是 .17.（1994上海，1）不等式|x1|1的解集是_.三、解答题18.（2002北京文，17

6、）解不等式2x19（2002北京理，17）解不等式|x|2.20.（2002上海，20）某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券：消费金额（元）的范围200，400400，500500，700700，900获得奖券的金额（元）3060100130根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠。例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：400×0230110（元）.设购买商品得到的优惠率.试问：（1）若购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率是多少?（2）对于标价

7、在500，800（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率?21.（2002江苏，22）已知a0，函数f（x）axbx2（1）当b0时，若对任意xR都有f（x）1，证明a2；（2）当b1时，证明：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2；（3）当0b1时，讨论：对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件.22.（2001年天津，7）解关于x的不等式0（aR）23.（2000上海春，19）有一批影碟机（VCD）原销售价为每台800元，在甲、乙两家家电商场均有销售.甲商场用如下的方法促销：买一台单价为780元，买两台每台单价都为760元，依次类推，每多买一台则所买各台

8、单价均再减少20元，但每台最低不能低于440元；乙商场一律都按原价的75%销售.某单位需购买一批此类影碟机，问去哪家商场购买花费较少?24.（2000京皖春文24，理23）某地区上年度电价为0.8元kW·h，年用电量为a kW·h.本年度计划将电价降到0.55元kW·h至0.75元kW·h之间，而用户期望电价为0.4元kW·h.经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为）.该地区电力的成本价为0.3元kW·h.（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益y与实际电价x的函数关系式；（2）设02a，当电价

9、最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%?（注：收益实际用电量×（实际电价M成本价）25.（2000全国文20，理19）设函数f（x）ax，其中a0（1）解不等式f（x）1；（2）求a的取值范围，使函数f（x）在区间0，）上是单调函数.26.（1999全国理，19）解不等式（a0且a1）.27（1998全国文，20）设ab,解关于x的不等式a2xb2（1x）axb(1x)2图6128（1998全国文24、理22）如图61，为处理含有某种杂质的污水，要制造一底宽为2米的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱体的长度为a米，高度为b米.已知流出的水中该

10、杂质的质量分数与a、b的乘积ab成反比.现有制箱材料60平方米.问当a、b各为多少米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小（A、B孔的面积忽略不计）?29.（1997全国，22）甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过c千米时，已知汽车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米时）的平方成正比，比例系数为b；固定部分为a元.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?30.（1997全国理，24）设二次函数f（x）ax2bx+c（a0），方程f（

11、x）x0的两根x1、x2满足0x1x2（）当x（0，x1）时，证明：xf（x）x1；（）设函数f（x）的图象关于直线x=x0对称，证明：x031（1996全国理，20）解不等式loga（1）132（1996全国文，20）解不等式loga（x1a）133（1996全国理，25）已知a、b、c是实数，函数f（x）=ax2bxc，g（x）=ax+b，当1x1时，|f（x）|1（）证明：|c|1；（）证明：当1x1时，|g（x）|2；（）设a0，当1x1时，g（x）的最大值为2，求f（x）.34.（1994全国文，22）已知函数f（x）=logax（a>0，且a1），x0，+）.若x1，x20，

12、+），判断f（x1）+f（x2）与f（）的大小，并加以证明.答案解析1.答案：A解析：a>b，c>d，a+c>b+d.2.答案：C解析：原不等式等价于： 0x13.答案：D解法一：x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0 （x1）（x1）00x1x0时，原不等式化为：（1x）（1x）0（1x）20 x1x0且x1综上，不等式的解集为x1且x1.解法二：原不等式化为： 或解得1x1解得即x1原不等式的解集为x1且x1评述：该题体现了对讨论不等式与不等式组的转化及去绝对值的基本方法的要求.4.答案：C解析：由已知（x1）（x3）>0，x<1或x>3.故原不等式的

13、解集为x|x<1或x>3.5.答案：B解析：3a+3b2=6，当且仅当a=b=1时取等号.故3a+3b的最小值是6.评述：本题考查不等式的平均值定理，要注意判断等号成立的条件.6.答案：A解析：由a>b>0得a2>b2.反过来a2>b2则可能a<b<0.故a>b>0是a2>b2的充分不必要条件.7.答案：B解析：lgalgb0，（lgalgb），即QP，又ab1，（lgalgb），即RQ，有PQR，选B.8.答案：C解析：分别以全月工资、薪金所得为900元，1200元，1500元，2800元计算应交纳此项税款额，它们分别为：5元

14、，20元，70元，200元.20267870，所以某人当月工资、薪金所得介于12001500元，选C.9.答案：B解析：b<0，b>0，ab>a，又ab<0，a<0，.故不成立.a<b<0，|a|>|b|，故不成立.由此可选B.另外，A中成立.C与D中（a+）2>（b+）2成立.其证明如下：a<b<0，<0，a+<b+<0，|a+|>|b+|，故（a+）2>（b+）2.评述：本题考查不等式的基本性质.10.答案：C解析：设购买软件x片，x3且xN*，磁盘y盒，y2且yN*，则60x+70y500，即

15、6x+7y50当x=3时，y=2，3，4.有3种选购方式.当x=4时，y=2，3.有2种选购方式.当x=5时，y=2.有1种选购方式.当x=6时，y=2.有1种选购方式.综上，共有7种选购方式，故选C.评述：此题考查不等式的应用，建模能力，分类讨论思想及应用意识.11.答案：C解法一：当x2时，原不等式化为，去分母得（x+2）（3x）（x+3）（x2），即x2x6x2x6，2x2120，注意x2，得2x；当0x2时，原不等式化为，去分母得x2x6x2x6即2x0 注意0x2，得0x2综上得0x，所以选C.解法二：特殊值法.取x=2，适合不等式，排除A；取x=2.5，不适合不等式，排除D；再取x

16、=，不适合不等式，所以排除B；选C.评述：此题考查不等式的解法、直觉思维能力、估算能力.12.答案：A解析：因为0a1，所以01a1，而指数函数y=mx（m0，m1）在0m1时，是减函数，则（1a）（1a），故选A.13.答案：（3，1）解析：32xx2>0 x2+2x3<0 3<x<114.答案：ab9解析一：令=t（t>0）由ab=a+b+32+3，得t22t+3，解得t3，即3.故ab9.解析二：由已知得abb=a+3，b（a1）=a+3，b=（a>1）ab=a=（a1）+1=a+3+=a1+4+=a1+52+5=9.当且仅当a1=时取等号.即a=b=

17、3时ab的最小值为9.所以ab的取值范围是（9，+）.评述：本题考查基本不等式的应用及不等式的解法及运算能力.解法一重在思考a+b与ab的关系联想均值不等式.而解法二是建立在函数的思想上，求函数的值域.15答案：x|2x4解析：将不等式变形得则x282x，从而x22x80，（x2）（x4）0，2x4，所以不等式的解集是x|2x4评述：此题考查指数不等式的解法.16.答案：x3或x4解析：变形得0，即0，所以x3或x417.答案：x|2<x<0解析：原不等式等价于1x11.解得2x018.解：所以，原不等式组的解集为x|x519.解：原不等式因为又所以，原不等式组等价于因此，原不等式

18、的解集为x|x520.解：（）33（）设商品的标价为x元，则500x800，消费额：40008x640由已知得不等式组无解，不等式组的解为625x750因此，当顾客购买标准在625，750元内的商品时，可得到不少于的优惠率.21.（）证明：依设，对任意xR，都有f（x）1，f（x），1，a0，b0，a2（）证明：必要性对任意x0，1，|f（x）|11f（x），据此可以推出1f（1），即ab1，ab1；对任意x0，1，|f（x）|1f（x）1，因为b1，可以推出f（）1，即a·11，a2；b1a2充分性因为b1，ab1，对任意x0，1，可以推出axbx2b（xx2）xx1，即axbx2

19、1；因为b1，a2，对任意x0，1，可以推出axbx22xbx21，即axbx211f（x）1综上，当b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是b1a2（）解：因为a0，0b1时，对任意x0，1：f（x）axbx2b1，即f（x）1；f（x）1f（1）1ab1，即ab1，ab1f（x）（b1）xbx21，即f（x）1所以，当a0，0b1时，对任意x0，1，|f（x）|1的充要条件是ab122.解：原式（xa）（xa2）0，x1a，x2a2当a=a2时，a=0或a=1，x，当aa2时，a1或a0，axa2，当aa2时0a1，a2xa，当a0时axa2，当0a1时，a2xa，当a1时，ax

20、a2，当a=0或a=1时，x评述：此题考查不等式的解法及分类讨论思想23.解：设某单位需购买x台影碟机，甲、乙两商场的购货款的差价为y，则去甲商场购买共花费（80020x）x，据题意，80020x440，1x18去乙商场购买共花费600x，xN*，故若买少于10台，去乙商场花费较少；若买10台，去甲、乙商场花费一样；若买超过10台，去甲商场花费较少.24.解：（1）设下调后的电价为x元kW·h，依题意知用电量增至a，电力部门的收益为y（a）（x03）（055x075）（2）依题意有整理得解此不等式得 060x075答：当电价最低定为0.60元kW·h仍可保证电力部门的收益比

21、上年至少增长20%.评述：本小题主要考查建立函数关系、解不等式等基础知识，考查综合应用数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.25.（1）解法一：不等式f（x）1，即1ax，由此得11ax，即ax0，其中常数a0.所以，原不等式等价于即所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0x；当a1时，所给不等式的解集为x|x0.解法二：利用数形结合f（x）1即1ax图62设y，y2x21（y0）设yax1所研究的问题为直线l：yax1位于双曲线C：y2x21上半支上方时x的范围，如图62所示：当0a1时，直线l与双曲线C有两个交点，其对应横坐标分别为：x0，x0x当a1时，直线l与双曲线C只有（0，1）

22、一个交点，只要x0，原不等式就成立综合，所以，当0a1时，所给不等式的解集为x|0x；当a1时，所给不等式的解集为x|x0（2）在区间0，上任取x1，x2，使得x1x2当a1时，a0，又x1x20，f（x1）f（x2）0，即f（x1）f（x2）.所以，当a1时，函数f（x）在区间0，）上是单调递减函数.当0a1时，在区间0，）上存在两点x10，x2，满足f（x1）1，f（x2）1，即f（x1）f（x2），所以函数f（x）在区间0，）上不是单调函数.综上，当且仅当a1时，函数f（x）在区间0，）上是单调函数.评述：本小题主要考查不等式的解法、函数的单调性等基本知识，分类讨论的数学思想方法和运算、

23、推理能力.26.解：原不等式等价于解之得所以logax或logax1当a1时得所求的解集是x|axax|xa；当0a1时得所求的解集是x|axax|0xa评述：此题考查对数函数的性质、对数不等式、无理不等式解法等基础知识，考查分类讨论的思想.27.解：将原不等式化为（a2b2）xb2（ab）2x22（ab）bxb2移项，整理得（ab）2（x2x）0，ab，即（ab）20，x2x0，0x1不等式的解集为x|0x1评述：此题考查不等式基本知识，不等式的解法.28.解法一：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y=，其中k0为比例系数，依题意，即所求的a、b值使y值最小.根据题设，有4b+2ab+2a=

24、60（a0，b0）得b=（0a30于是当a+2=时取等号，y达到最小值.这时a=6，a=10（舍去） 将a=6代入式得b=3故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.解法二：依题意，即所求的a、b值使ab最大.由题设知4b+2ab+2a=60（a0，b0）即a+2b+ab=30（a0，b0）a+2b2 2ab30当且仅当a=2b时，上式取等号.由a0，b0，解得0ab18即当a=2b时，ab取得最大值，其最大值为18.2b218解得b=3，a=6.故当a为6米，b为3米时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小.评述：本题考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题

25、的能力，考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查利用均值不等式求最值的方法、阅读理解能力、建模能力.29.解：（1）依题意汽车从甲匀速行驶到乙所用的时间为，全程运输成本为ya·bv2·s（bv），所求函数及其定义域为y=s（bv），v（0，c（2）由题意，s、a、b、v均为正数，故s（bv）2s等式当且仅当bv，即v时成立.若c，则当v=时，全程运输成本y最小；若c，当v（0，c时，有s（bv）s（bc）sa（）b（vc）（cv）（abcv）因为cv0，且abc2，故abcvabc20，所以s（bv）s（bc），当且仅当v=c时等号成立，即当v=c时，全程运

26、输成本y最小.综上，为使全程运输成本y最小，当c时，行驶速度为v=；当c时，行驶速度为v=c.评述：此题考查函数关系、不等式性质、最大值、最小值等基础知识，考查综合应用所学数学知识、思想和方法解决实际问题的能力.考查数学建模能力、求最值的方法.30.证明：（1）令F（x）=f（x）x，由x1、x2是方程f（x）x=0的两根，有F（x）=a（xx1）（xx2）当x（0，x1）时，由x1x2，及a0，有F（x）=a（xx1）（xx2）0，即F（x）=f（x）x0，f（x）x又x1f（x）=x1xF（x）x1xa（xx1）（xx2）（x1x）1a（xx2）因为0xx1x2所以x1x0，1a（xx2）

27、1axax21ax20得x1f（x），所以xf（x）x1.（2）依题意x0，因x1、x2是f（x）x=0的根，即x1、x2是方程ax2（b1）x+c=0的根所以x1x2，因为ax21，即ax210，故x0评述：此题考查一元二次方程、二次函数和不等式的基础知识，考查综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力，考查证明不等式的方法.31.解：（1）当a1时，原不等式等价于不等式组：，因1a0，所以x0，故有x0；（2）当0a1时，原不等式等价于不等式组：因1a0，所以x1，故有1x综上，当a1时，不等式的解集为x|x0当0a1时不等式解集为x|1x评述：此题考查对数不等式的解法，考查运算能力等价转化

28、思想、分类讨论思想.32.解：（1）当a1时，原不等式等价于不等式组解得x2a1；（2）当0a1时，原不等式等价于不等式组解得a1x2a1综上，当a1时，不等式的解集为x|x2a1；当0a1时，不等式的解集为x|a1x2a1评述：此题考查对数不等式的解法、运算能力，考查等价转化思想、分类讨论思想.33.（）证明：由条件当1x1时，|f（x）|1，取x=0，得|c|f（0）|1，即|c|1（）证明：当a0时，g（x）=ax+b在1，1上是增函数，所以g（1）g（x）g（1），因为|f（x）|1 （1x1），|c|1，所以g（1）=a+b=f（1）c 3 |f（1）|c|2，g（1）a+b=f（1

29、）+c（|f（1）|c|）2，由此得|g（x）|2；当a0时，g（x）=ax+b在1，1上是减函数，所以g（1）g（x）g（1），因为|f（x）|1 （1x1），|c|1，所以g（1）=a+b=f（1）+c|f（1）|c|2，g（1）=a+b=f（1）c（|f（1）|c|）2，由此得|g（x）|2；当a=0时，g（x）=b，f（x）=bx+c，因为1x1，所以|g（x）|=|f（1）c|f（1）|+|c|2；综上，得|g（x）|2；（）解：因为a0，g（x）在1，1上是增函数，当x=1时取得最大值2，即g（1）=a+b=f（1）f（0）=2，因为1f（0）f（1）2121，所以c=f（0）=1

30、.因为当1x1时，f（x）1，即f（x）f（0），据二次函数性质，直线x=0为二次函数f（x）的图象的对称轴，故有0，即b=0，a=2，所以f（x）=2x21评述：本题考查函数的性质、含有绝对值的不等式的性质及综合运用数学知识分析问题与解决问题的能力，考查特殊化思想、数形结合思想.34.解：f（x1）+f（x2）=logax1+logax2=logax1·x2x1>0，x2>0，x1·x2（）2（当且仅当x1=x2时取“=”号）当a>1时，loga（x1·x2）loga（）2，logax1x2loga即f（x1）+f（x2）f（）（当且仅当x1=

31、x2时取“=”号）当0<a<1时，loga（x1x2）loga（）2，logax1x2loga即f（x1）+f（x2）f（）（当且仅当x1=x2时取“=”号）评述：本题考查对数函数的性质、平均值不等式知识及推理论证的能力.命题趋向与应试策略1.重视对基础知识的考查，设问方式不断创新.重点考查四种题型：解不等式，证明不等式，涉及不等式应用题，涉及不等式的综合题，所占比例远远高于在课时和知识点中的比例.重视基础知识的考查，常考常新，创意不断，设问方式不断创新，图表信息题，多选型填空题等情景新颖的题型受到命题者的青眯，值得引起我们的关注.2.突出重点，综合考查，在知识与方法的交汇点处设计命题，在不等式问题中蕴含着丰富的函数思想，不等式又为研究函数提供了重