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文档简介

1、4.3 完全四点形和完全四线形 内容解析定义4.5 平面内无三点共线的四点及其两两连线所构成的图形，叫做完全四点形见图4-3，这个图形含有四个点，及六条直线，每一个点称为顶点，每一条直线称为边如图4-5所示，不过同一顶点的两边称为对边（如与），共有三对对边每一对对边的交点称为对边点或对角点（如与的交点），三个对边点（）构成的三角形（三点形）称为对边三角形定义4.6平面内无三线共点的四直线及其两两的交点所构成的图形，叫做完全四线形见图4-6，这个图形含有四条直线（）和六个点（，），每一条直线称为边，每一个点称为顶点不在同一边上的两个顶点称为对顶点（如与）六个顶点分为三对，每一对对顶点的连线，称为

2、对顶线（，），三条对顶线构成的三角形称为对角三角形（）完全四点形和完全四线形具有如下性质定理4.9完全四点形通过每一个对角点有一组调和线束，即通过这个对角点的两边和对角三角形的两边如图4-5，比如对角点的两边、和对角三角形的两边、是一组调和线束定理4.10完全四线形的每一条对角线上有一组调和点列，即这条直线上的两个顶点及对角三角形的两个点如图4-6，比如对角线上的两个顶点、和对角三角形的两个顶点、， 是一组调和点列 典型例题例1 设是完全四点形的对边三点形，分别交于，不用笛沙格定理，证明共点证明如图4-7，对四线形，根据定理4.10可知，在对角线边上的四点调和共轭，即在四点形中，与交于，设与交

3、于，由定理4.9可知，过对角点有一组调和线束，即、和、，于是，所以，点应与点重合，即共点（二）完全四点形与完全四线形的调和性习题答案1设XYZ是完全四点形ABCD的对边三点形，XZ分别交AC、BD于L、M，不用狄沙格定理证明：YZ、BL、CM共点。证明：考虑四点形ABCD在边AC上四点ACYL调和分割（AC，YL)=-1，再考虑四点形YBZLLB与YZ交于N，MN交YL于C（AC，YL）=-1C与C重合YZ、BL、CM共点。2()设A、B、C是完全四线形的三个共线点，M、C与A、B调和共轭。求证：通过A、B的对顶线的交点在M，与C的对顶点的连线上。()写出()的对偶命题。证明：A、B、C是完全四线形的三个共线点，P、Q、R是对顶三线的三个顶点（RP，AE）=-1设RD交AC于M则（AB，CM）=-1又（AB，CM）=-1M与M重合M在RD上，其中R是过A、B的对顶线的交点，D是C的对顶点。对偶命题：设a，b，c是完全四点形的共顶点的三条边，（ab，cm）=-1。求证：直线m、c的对边d，边a、b上的两个对边点连线l，m、d、l三线共点。3()如图设有三点形，为共线三点，分别位于三边上，与调和共轭，与和共轭，与调和共轭。求证：、共点。()写出()的对偶命题，并说明他与逆命题的关系。证明：()设坐标分别为a，b，c，三点共线他们的坐标可以表示为的参数应为的坐标为：、

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