利用空间向量坐标运算解立几题举例

1、利用空间向量坐标运算解立几题举例湖南省江华一中钟绍华（425500）空间向量把空间结构系统代数化，向量的“方向和长度”属性将立体几何中关于“位置和度量”的定性问题转化为定量研究，而定量研究的代数运算易为学生接受，而且学生空间想象能力的欠缺和作图的困难也可得到一定的弥补甚至是回避，下面对利用空间向量的坐标运算解立几题进行分类说明。一、证明四点共面BACDEFGHA1B1C1D1xyz例1、在棱长为a的正方体ABCDA1 B1C1 D1中，E、F、G、H分别是棱AB、BC、CC1、A1D1的中点，问四边形EFGH是平面四边形还是空间四边形？解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系Dxyz则D（

2、0,0，0）E（a，0）F（，a，0）G（0，a，）H（，0，a）（，0，a）（a，0）（，a，0）（0，a，） 若E、F、G、H四点共线，则存在x、y、z 使xyz即x2y3z2故2y2四边形EFGH是平面四边形二、证明两直线相交例2、三棱锥SABC中，侧棱SA、SB、SC两两互相垂直，M为三角形ABC的重心，D为AB的中点，作与SC平行的直线DP，证明：DP与SM相交。（93年全国高中联赛题）ABCSDMPExyz解：如图，以S为坐标原点，建立空间直角坐标系设A（a，0,0）B（0，b,0）C（0,0，c） 则D（，0）M（，）假设DP与SM相交于E因为DPSC可设E的坐标为（，r）由（，

3、）（，r）得（，r）（，）解得r即DP与SM相交于E（，）三、求异面直线所成角的大小xyzABCDEP例3、在三棱锥PABC中，APa，ABAC=a， PABPAC45°，cosBPC，D是AB的中点，DEPB，垂足为E，求CD与BP所成的角。解：由已知得PBPCa故APPBAPPC以P为坐标原点，建立如图的空间直角坐标系则A（0,0，a）B（，0）C（0，a,0） =(0，a，a)=(，a)(，a)（，a）D是AB中点，DEAP故E是PB的中点（，0）（，0）cos<,>= 所以CD与BP所成的角为arccos四、求二面角的大小ABCDPxyzEF例4、在四棱锥PABC

4、D中，底面ABCD是矩形，PA平面ABCD，且ABa，ADPA2a，求二面角BPCD的大小。解：过B作BFPC于F，过D作DEPC于E则与所成的角为二面角的平面角，如图，以A为坐标原点，建立空间直角坐标系，所以B（a，0，0）D（0，2a，0）PD2a 在直角三角形PDC中DCaPC3a CE= PF故E（，）F（，）（，）（，）cos，二面角BPCD的大小为arccos五、求直线与平面所成角的大小ABCDEGxyzA1B1C1例5、在直三棱柱ABCA1 B1C1中，底面是等腰直角三角形，ACB90°，侧棱AA12，D、E分别是CC1与A1B的中点，点E在平面ABD上的射影是ABD的

5、重心G，求A1B与平面ABD所成角的大小。（2003全国高考题）解：如图，以C为坐标原点，建立空间直角坐标系设CAa则A（a，0，0）B（0，a,0）C（0，0，0）D（0，0，1）A1（a，0,2）E（,1）G是ABD的重心 故G（，） =(,-,) =(-,-,-) 点E在平面ABD上的射影是点G所以0即0a2（2,2,2）=(,-,)cos，故A1B与平面ABD所成角为arccos六、证明两直线垂直和求点到平面的距离例6、在棱长为4的正方体ABCDA1 B1C1 D1中，O是正方形A1 B1C1 D1中，的中心，点P在棱CC1上，且CC14CP，（1）设点O在平面D1AP上的射影为H，求

6、证：DH1A PzABCDOHxyA1B1C1D1P（2）求点P到平面ABD1的距离（04年江苏高考题）解：如图，以D为坐标原点，建立空间直角坐标系则D1（0，0，4）O（2,2，4）A（4,0，0）P（4,0，1）设H（a，b，c）得（a2，b2，c4）（4,4，1） =(4,0，4)（0，4,3）由O在平面D1AP上的射影为H得OHA D1OHP D1故00即4（a2）4（c4）04（b2）3（c4）0 ac2bc1代入得（a，b，c4）（c2，c1，c4） 4（c2）4（c1）c4=0 所以DH1A P（3）易得A1D平面ABD1，设平面ABD1的法向量（1,0，1） 故得d 所以点P到平面ABD1的距离为作 者 简 介钟绍华，男，35岁，中学数学高级教师，湖南省中学数学教学专业委员会会员，湖南省高中数学竞赛优秀辅导教师，现任教于永州市示范性高级中学江华一中。91年毕业于吉首大学数学系，获理学学士学位，98年通过自考取得国防科大计算机及应用专业本科文凭。从事高中数学教学13年，任教了94、96、97、2000、2002、2003六届高三，因