三角形全等的探究--教学设计（熊莹盈）

1、.全等三角形断定定理的应用 关于“边边角在部分条件下证明三角形全等的探究教学设计昆明第十中学 熊莹盈 153682271531、 内容和内容解析教学内容：本节课主要探究“边边角在哪些条件下可以证明两个三角形全等.教学内容分析：本节课是对人教版八年级下册第十二章三角形全等的断定中“边边角能否断定两个三角形全等所做的一个补充探究.希望通过老师适当的引导，让学生通过动手画图、推理论证的过程，学会用已有的关于三角形全等的知识，探究出在哪些特定条件下“边边角可以证明两个三角形全等.本节课作为对课堂内容的一个补充探究，主要是为了开阔学生考虑问题的思路，让学生学以致用，可以用已有的知识、技能、方法去解决新的

2、问题，进步学生的数学思维.学生分析：由于本节课并不是课本的规定内容，所以是在数学兴趣小组学习班上进展探究，因此面对的是年级上程度相对较好并且对数学学科有较强兴趣的八年级学生.由于他们已经学过了三角形全等这一章节，所以本节探究课所需的知识准备已经满足，又由于都是对数学比较感兴趣的孩子，所以态度上也会比较积极，为本节探究课提供了前提条件.二、目的及目的解析教学目的：1、 本节课以“HL作为引导，启发学生从多个角度进展探究，得到在哪些条件下“边边角可以证明两个三角形全等.从而使学生学会用已有的数学知识和技能方法去探究新的问题，加强学生的直观想象才能和逻辑推理才能，从而进步数学思维.2、 通过小组合作

3、探究，使学生经历考虑、讨论、动手操作、论证等过程，体验获得新知的喜悦.3、 通过本节课课题的选取来培养学生的质疑意识；通过本节课的探究过程来进步学生的探究精神；过小组合作的学习形式来加强学生的协作精神.教学目的解析：本节课是一节探究课，所以首先就需要学生有质疑的意识，“边边角不一定可以证明两个三角形全等，那在什么条件下可以证明两个三角形全等呢？带着这样的疑问，引导学生通过分类讨论的思想，对每一种他们能想到的情况进展探究.而探究的方法那么可以类比课本上我们已经学过的探究两个三角形全等的断定定理的过程，通过猜测、作图、理论论证等步骤来进展，从而使学生学到探究问题的根本思路和根本方法，为他们今后进展

4、自主探究学习打下根底，进步学生的探究才能.而之所以采用小组合作的学习形式，主要有两个原因：1、学生自己完本钱节课的探究任务有一定的难度，会使学习积极性受到影响.2、在合作的过程中，不仅能培养学生的团队意识和合作精神，也能使学生学习别人的长处，承受别人不同的观点，从而开阔自己的视野.三、教学问题诊断分析由于探究课是学生所不熟悉的课型，所以学生看到课题时可能会感到无从下手，那么本节课的第一个难点就是启发学生从哪些方向去进展探究.在借助几何画板的展示下，让学生发现可以从相等的角是什么类型的角入手进展分类，从而打破难点.而在后面的探究过程中，学生还会出现分类考虑不全的问题，因为当相等的角为锐角时，这个

5、三角形可以是直角三角形、锐角三角形或者钝角三角形，此时老师要进一步进展引导，帮助学生将问题考虑周全. 有了探究的方向，学生可能还是不知道该怎么办，这也就是本节课的第二个难点，启发学生找到探究的方法和步骤.如何找到探究的方法和步骤呢？其实我们的课本就是最好的指引，课本上探究三角形全等的断定定理是通过作图、猜测、论证来完成的，我们不妨就仿照课本来进展.由此得到本节课的重点和难点：教学重点：通过分类讨论的思想，探究出“边边角在哪些特定条件能证明三角形全等.教学难点：1、启发学生如何分类进展探究；2、引导学生仿照课本，通过作图、猜测、论证来进展探究.四、教学支持条件分析 本节课主要要运用几何画板、多媒

6、体辅助以及分组合作的学习形式.5、 教学过程设计教学过程老师活动预设学生活动设计意图1、 复习回忆、激发兴趣提问：两个三角形全等的定义是什么？可以完全重合的三角形叫做全等三角形追问：通过前面的学习，要证明两个三角形全等，我们已经有了哪些工具了呢？SSS、SAS、ASA、AAS、HL继续引导：一个三角形有六个元素，三条边、三个角.其中，“角确定三角形的形状；“边确定三角形的大小.我们至少要知道三组元素对应相等才能证明两个三角形全等.对于两边一角的情况，我们往往要强调这个角是两边的夹角，此时满足SAS，两个三角形一定全等.那假如这个角不是夹角，而是某条边的对角时，我们就得到了“边边角的情况，此时两

7、个三角形不一定全等，那么在哪些条件下，“边边角可以证明两个三角形全等呢？这就是本节课我们要探究的问题.引出课题提问：我们学过的断定定理里面有没有满足“边边角两个三角形全等的特例呢？HL结论：HL就是当相等的角为直角时SSA成立的特例.学生对应答复，在答复的过程中复习三角形全等的定义以及已经学过的五个断定定理.学生答复以下问题，并观察HL的图形，感受HL就是当相等的角为直角时SSA成立的特例.复习回忆里面的第一个问题，是让学生感受全等的三角形是可以完全重合的，为后面作图、剪图以后判断做出的三角形是否和原图形全等做个铺垫.第二个问题那么为后面的论证过程做铺垫.这一段引导是为了让学生进一步明确三角形

8、的“边、角元素所起的作用，从而为后面的探究过程中画图部分打下根底：要做两组边、一组角相等的三角形，我们可以先确定一组边和一组角，通过观察第二组边来得到结论.这个问题一方面能激起学生的兴趣，另一方面能引出本节课最重要的一个根本模型.用几何画板展示两个直角三角形满足HL即斜边和一条直角边对应相等的情况，然后拖动点C，让学生观察图形发生的变化.提问：为什么会出现两个三角形？因为当以A为圆心，AC为半径画弧时，会与BC边所在的直线有两个交点.提问：如今请观察出现的这两种三角形，它们有什么特点呢？这两个三角形满足“边边角，但它们并不全等提问：这两个三角形为什么不全等？形状不一样提问：这两个三角形中相等的

9、角是什么角？而刚刚HL全等的情况中相等的角又是什么角呢？这两个三角形相等的角是锐角，而HL全等的情况中相等的角为直角.提问：这有没有给我们一点探究的思路和方向呢？也就是说，接下来我们可以从哪些方向去探究，“边边角在什么条件下可以使两个三角形全等呢？可以按相等的角是直角、钝角、锐角来分类讨论学生一边观察几何画板图象的变化，一边考虑为什么拖动C点之后会出现两种情况，从而理解“边边角不能证明两个三角形全等的原因.学生可能答不完全，但应该能观察出角度发生了变化.学生应该能观察出它们满足“边边角，但它们不全等，并且形状不一样.学生通过观察应该能发现这里相等的角为锐角，而HL的情况中相等的角为直角.学生通

10、过考虑发现由于相等的角不一样，所以三角形是否全等的结果也不一样，得到探究方向.运用几何画板可以很直观的让学生观察出当拖动点C会出现两种情况，而这也是后面探究中作图的一个难点，可以先做个铺垫.这两个个问题引导学生发现刚刚拖动点C出现的两个三角形的形状和大小不一样，所以它们不全等.这个问题引导学生去考虑这两个三角形不全等的原因是相等的角发生了改变，从而得到今天探究的方向，应该对相等的角进展分类，分为直角、钝角、锐角去讨论.二、合作探究、发现新知和提问：如今我们已经有了探究的方向，那么我们应该利用什么样的方法或者步骤进展探究呢？提问：我们在课本上已经学习了五个断定定理，我们都是按照什么样的方法和步骤

11、进展探究的呢？首先干什么？作图提出探究任务：ABC，请作出ABC，使得AB=AB，AC=AC，C=C.由于相等的角可以是钝角或者锐角，所以学生应该可以作出以下三种情况的图1、 相等的角为钝角此时作出的图形是唯一的，剪出的两个三角形可以完全重合，所以这两个三角形可能是全等的.2、相等的角为锐角有两种情况：此时作出的图形一种情况可能是和原图形全等的，一种情况是一定不全等的.学生考虑，回忆课本上的相应内容，应该可以答复出探究的第一步是作图.学生分小组进展作图的探究，大家先讨论、再动手操作，完成之后在卡纸上剪下自己小组所做的图形，进展展示.学生把剪下来两个三角形放在一起，看看能不能重合，从而猜测在自己

12、所做的这种情况下满足“边边角的两个三角形是否全等.这两个问题的设计是帮助学生找到探究的方法和步骤.其实我们课本上已经学过的内容都可以作为我们研究新内容的工具，所以要让学生学以致用，融会贯穿.这个探究任务的设计，是让学生从作图的角度出发，开场今天的探究，符合学生的知识生成.由于前面已经有了探究方向，所以这里相等的角C和C可以是钝角或者锐角.这个作图先要画一个角等于角，在课本上已经学习过了，然后用圆规来截取相等的边画弧，方法和课本上也一样，所以应该是学生可以完成的任务.提问：还有没有别的情况存在呢？引导：当三角形里面有一个角为直角或者钝角时，这个三角形的形状有没有确定？当三角形中有一个角是直角时，

13、这个三角形只能是直角三角形；当三角形中有一个角是钝角时，这个三角形只能是钝角三角形.提问：当三角形中有一个角是锐角时，这个三角形的形状确定了吗？当三角形中有一个角为锐角时，这个三角形可能是直角三角形、锐角三角形，还可能是钝角三角形.让学生在此根底上继续进展探究.通过进一步的探究学生应该可以作出以下五种情况1、相等的角为锐角的直角三角形这两种情况画出的三角形和原三角形都是全等的，但此时其实已经有四组相等的条件了.要引导学生观察图象发现这两种情况是不一样的：第一种情况相等的边是一组斜边一组直角边；第二种情况相等的边是两组直角边.2、 相等的角为锐角的钝角三角形此时有两种情况：此时作出的图形一种情况

14、可能是和原图形全等的，一种情况是一定不全等的.此时作出的图形是唯一的，剪出的两个三角形可以完全重合，所以它们可能是全等的.学生跟着老师的引导考虑之后答复以下问题.学生还是分小组进展，同样将做好的图用卡纸剪下来，每个小组派个代表到展示黑板上进展展示.学生在找钝角三角形情况时可能会有困难，所以老师会在小组上进展指导.这个引导是帮助学生完善刚刚的分类.当相等的角为锐角时，可能会忽略直角三角形和钝角三角形的情况，让学生感受分类讨论时要做到不重复，不遗漏.本环节的设计是让学生可以更全面的考虑问题，尽可能的探究出所有的情况.同时在作图的过程中，进一步加强学生的几何直观，理解每一种情况都是在作图的前提下得到

15、的，从而使学生学会几何探究的一个有力的方法作图.这个钝角三角形的情况在作图的时候其实是和锐角三角形的情况一样的，所以学生应该可以完成.同时也让学生感受到在探究作图时，我们用到的方法都是一样的.这种钝角三角形的作图，在直角三角形的第二种情况中已经涉及，所以只要学生学会迁移和举一反三，应该可以完成.3、 应用所学、进展论证提问：刚刚我们都是通过作图，也就是直观几何的角度进展的探究.请大家想一想，课本上作图之后又做了什么呢？论证提出任务：请每个小组的同学讨论一下，如何对我们以上通过作图发现的可能全等的情况进展严密的论证呢？可以先选择本小组做出来的情况进展论证.学生应该能很快的证出以下两种情况：相等的

16、角为钝角证明：如图，分别过点A、A作ADBC交BC的延长线于点D，ADBC交 BC的延长线于点D，先证明： ADC ADCAAS得到：AD=A'D'再证明：Rt ADBRt ADBHL得到：B=B最后证： ABC ABCAAS.相等的角为锐角的锐角三角形证明：如图，分别过点A、A作ADBC交BC于点D，ADBC交 BC于点D，先证明： ADC ADCAAS得到：AD=A'D'再证明：Rt ADBRt ADBHL得到：B=B最后证： ABC ABCAAS.提问：通过这两种情况的证明，你有什么发现呢？辅助线都是作高，证明方法是一样的其他几种情况也是如此：辅助线做法和

17、证明过程也是一样的.提问：那么从我们刚刚的探究，我们能得到哪些结论呢？由于是按相等角为直角、钝角、锐角进展的分类，所以也按相等的角为直角、钝角、锐角来总结.结论1：两个三角形满足“边边角，当相等的角为直角或者钝角时，这两个三角形全等结论2： 两个三角形满足“边边角，当相等的角为锐角，且另一对应相等的边所对的角为同类角时，这两个三角形全等学生通过小组合作，对本组做出来的情况进展论证，之后每组选一个代表到展示黑板阐述本组证明的情况.学生观察之后答复.学生和老师一起进展归纳.本环节是在上一环节作图的根底上，进展的一个理论上的逻辑推理，是从理论到理论的一个完善.同时也是学生对于三角形全等的断定定理的一

18、个直接应用.要让学生体会在论证的过程中我们都要对着相等的角在第三边上作高，而这么做的目的其实就是为了构造我们本节课最开场就给出的根本图形HL全等的情况，因为只有直角三角形在作图时才是唯一的.并且引导学生发现，在本节课的开场，我们引入了HL的特殊情况，从这个特殊情况出发开场探究一般的情况，而对一般情况进展论证的时候，我们的辅助线作法又回到了之前最特殊的HL的情况，并且所有的论证过程都是一样的.这其实就是数学中从特殊到一般，再由一般化归到特殊的数学思想.设计这个环节是对本节课探究所得的结果进展的一个归纳.结论1学生应该比较容易可以得出，但结论2学生归纳起来会有困难，可能学生会去考虑三角形的形状.所以需要引导学生去看相等的两组边，一组边对着相等的角，而另一组边所对的角是否是同类角就决定了这两个三角形是否全等.四、总结所学、升华提升用思维导图的形式对这节课进展总结：学生和老师一起完善.思维导图的引入不仅能使本节课的内容明晰明了，还能训练学生的逻辑思维，对孩子们今后的数学学习也