函数与导数专题(教师版)

1、专题七 函数与导数一、考纲要求1理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；了解函数奇偶性的含义； 会运用基本初等函数的图像分析函数的性质.2.理解指数函数、对数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为2，3，10，的指数函数、对数函数的图像 3.结合二次函数的图像，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数.4.通过函数图像直观理解导数的几何意义.了解函数单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间（其中多项式函数一般不超过三次）.5.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；会用导数求函数的极大值、极小值（其中多项式函数

2、一般不超过三次）；会求闭区间上函数的最大值、最小值（其中多项式函数一般不超过三次）.会用导数解决某些实际问题.二、考情分析年份题号分数涉及知识点20103112122函数在点处的切线方程分段函数中范围问题指数型函数（1）求单调区间；（2）当函数值非负时求参数的取值范围.201129122127基本函数的单调性定积分求曲线围成图形的面积两个函数（反比例、正弦）交点横坐标之和对数型函数，导数的几何意义（1）求值；（2）用不等式求参数的取值范围.201210122122函数的大致图像互为反函数两图像上两点的最短距离指数型函数（1）求解析式与单调区间；（2）不等式下求参数积的最大值.201311162

3、122分段函数（对数），含绝对值的不等式函数的对称性，函数的最大值二次函数与指数型函数（1）求待定系数；（2）不等式下求参数积的取值范围.20143112122抽象函数的奇偶性判断三次函数有零点时参数的取值范围指数型函数、对数型函数（1）求待定系数；（2）证明不等式.201512132122函数与导数，取值范围函数的奇偶性判断三次函数与对数型函数（1）导数的几何意义；（2）函数零点问题.三、知识网络四、易混、易错、易忘问题大盘点1函数的定义域与值域都是非空数集求函数相关问题易忽略“定义域优先”原则或求错函数的定义域如求f(x)ln(x23x2)的单调区间，只考虑tx23x2与函数yln t的单

4、调性，忽视t0的限制条件；求函数f(x)的定义域时，只考虑到x0，x0，而忽视ln x0的限制2注意函数奇偶性的定义，易忽视函数定义域关于坐标原点对称的限制条件；求函数的单调区间，易盲目在多个单调区间之间添加符号“”3不能准确理解基本初等函数的定义和性质如函数yax(a0，a1)的单调性忽视字母a的取值讨论，忽视ax0；对数函数ylogax(a0，a1)忽视真数与底数的限制条件4易混淆函数的零点和函数图象与x轴的交点，不能把函数零点、方程的解、不等式解集的端点值进行准确互化5不能准确理解导函数的几何意义，易忽视切点(x0，f(x0)既在切线上，又在函数图象上，导致某些求导数的问题不能正确解出6

5、易混淆函数的极值与最值的概念，错以为f(x0)0是函数yf(x)在xx0处有极值的充分条件7易混淆求函数的单调区间与已知函数的单调区间求参数的取值范围两类问题，求解函数的单调区间直接转化为f(x)0或f(x)0的解集；而已知函数在区间M上单调递增(减)，则要转化为f(x)0或f(x)0的恒成立问题五、实践与总结第1讲 函数的图象与性质（一）典例对接例1已知函数，其中常数满足.(1)若，判断函数的单调性；(2)若，求时的的取值范围.尝试解答 (1)当ab0时，a，b同号.若a0，b0，则a·2x与b·3x均单调递增；f(x)a·2xb·3x在R上是增函数.

6、若a0，b0时，则a·2x与b·3x是减函数.f(x)a·2xb·3x在R上是减函数.(2)由f(x1)f(x)，得f(x1)f(x)a·2x2b·3x0.(*)当a0，b0时，由(*)得.xlog.当a0，b0时，由(*)得.xlog.综上，当a0，b0时，x的取值范围是xlog；当a0，b0时，x的取值范围是xlog.规律方法 1.求解本题的依据是指数的运算性质与指数函数的单调性.2.熟练应用二次函数、指数函数和对数函数的图象与性质是解决这类问题的前提和关键.3.注意化归思想与分类讨论思想的应用.例2已知函数是奇函数.(1)求实数

7、的值；(2)若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.规范解答 (1)函数f(x)是奇函数，f(x)f(x).(2分)当x0时，x0，有(x)2mx(x22x)，即x2mxx22x.m2.(6分)(2)由(1)知f(x)当x0时，f(x)x22x(x1)21，x1，)时，f(x)单调递减；x(0，1时，f(x)单调递增.(8分)当x0时，f(x)x22x(x1)21，当x(，1时，f(x)单调递减；x1，0)时，f(x)单调递增.综上知：函数f(x)在1，1上单调递增，(10分)又函数f(x)在区间1，a2上单调递增.解之得1a3.故实数a的取值范围是(1，3.(12分)规律方法 1.求m值时

8、，不是通过运算求m，而是想当然认为m2，从而出现错误，出现错误的原因是思维定势. 解决本题要抓住分段函数奇偶性的定义，可设x0或x0，从而x0或x0，这样可代入解析式求m.2.不能由分段函数求得f(x)在R上的单调递增区间，从而导致求不出a或出现错误答案，出现这种现象的原因是对分段函数的单调性理解有偏差.有关分段函数的单调性问题，不但要注意每一段上的单调性，还应注意“接点”处函数值的大小.例3.已知函数 (且为自然对数的底数).(1)判断函数的奇偶性与单调性；(2)是否存在实数t，使不等式对一切都成立？若存在，求出；若不存在，请说明理由.规范解答(1)f(x)ex，且yex是增函数，y是增函数

9、，所以f(x)是增函数.由于f(x)的定义域为R，且f(x)exexf(x)，所以f(x)是奇函数.(2)由(1)知f(x)是增函数和奇函数，f(xt)f(x2t2)0对一切xR恒成立f(x2t2)f(tx)对一切xR恒成立x2t2tx对一切xR恒成立t2tx2x对一切xR恒成立min对一切xR恒成立0t.即存在实数t，使不等式f(xt)f(x2t2)0对一切x都成立.规律方法运用函数的单调性和奇偶性解决不等式（二）反馈练习1.设偶函数满足，则（ ）A BC D解析：当时，则，由偶函数满足可得，则，令，可解得.应选B.2列函数中，既是偶函数又在单调递增的函数是（ ）A B C DB3.函数的图

10、像与函数的图像所有交点的横坐标之和等于（ ） A2 B4 C6 D8D4.已知函数；则的图像大致为（ ）【解析】选 得：或均有 排除5.设点在曲线上，点在曲线上，则最小值为（ ） A. B. C. D.【解析】选 函数与函数互为反函数，图象关于对称 函数上的点到直线的距离为 设函数 由图象关于对称得：最小值为6.设函数，的定义域都为R，且时奇函数，是偶函数，则下列结论正确的是( ).是偶函数 .|是奇函数.|是奇函数 .|是奇函数B7.已知函数，若|，则的取值范围是( )A B C DD8设函数,( )A3 B6 C9 D12【解析】试题分析：由已知得，又，所以，故，故选C9如图，长方形的边，

11、是的中点，点沿着边，与运动，记将动到、两点距离之和表示为的函数，则的图像大致为（ ）DPCB OAx【答案】B【解析】考点：函数的图象和性质10设，则( ) A. B. C. D.D11已知函数若互不相等，且则的取值范围是（ ）ABC D解析：作出函数的图象如右图，不妨设，则则.应选C.12.若函数=的图像关于直线对称，则的最大值是_. 1613.已知偶函数在单调递减，.若，则的取值范围是_. （）14若函数为偶函数，则 . 115设是上的奇函数，当时，.(1)求的值；(2)当4x4时，求的图象与轴所围成图形的面积；(3)写出 内函数的单调区间解：(1)由f(x2)f(x)，得f(x4)f(x

12、2)2f(x2)f(x)，f(x)是以4为周期的周期函数f()f(1×4)f(4)f(4)(4)4.(2)由f(x)是奇函数与f(x2)f(x)，得f(x1)2f(x1)f(x1)，即f(1x)f(1x)从而可知函数yf(x)的图象关于直线x1对称又当0x1时，f(x)x，且f(x)的图象关于原点成中心对称，则f(x)的图象如图所示设当4x4时，f(x)的图象与x轴围成的图形面积为S，则S4SOAB4×4.(3)函数f(x)的单调递增区间为4k1,4k1(kZ)，单调递减区间为4k1,4k3(kZ)第2讲 函数与方程、函数的应用（一）典例对接例1已知函数，.(1)若有零点，

13、求的取值范围；(2)确定的取值范围，使得有两个相异实根. 尝试解答 (1)g(x)x22e(x0)，当且仅当x取等号.当xe时，g(x)有最小值2e.因此g(x)m有零点，只需m2e.m2e，).(2)若g(x)f(x)0有两个相异实根.则函数g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点.如图所示，作出函数g(x)x(x0)的大致图象.f(x)x22exm1(xe)2m1e2，其对称轴xe，f(x)maxm1e2.若函数f(x)与g(x)的图象有两个交点，必须有m1e22e，即me22e1.即g(x)f(x)0有两个相异实根.m的取值范围是(e22e1，).规律方法 解决由函数零点的存在情况求参数

14、的值或取值范围问题，关键是利用函数方程思想或数形结合思想，构建关于参数的方程或不等式求解.例2.已知函数 .(1)当为何值时，轴为曲线的切线；(2)用 表示中的最小值，设函数 ，讨论零点的个数.解：（1）设曲线y=f(x)与x轴相切于点因此，当（2）当是的零点综上，当，例3如图，建立平面直角坐标系，轴在地平面上，轴垂直于地平面，单位长度为1千米，某炮位于坐标原点.已知炮弹发射后的轨迹在方程表示的曲线上，其中与发射方向有关.炮的射程是指炮弹落地点的横坐标.(1)求炮的最大射程.(2)设在第一象限有一飞行物(忽略其大小)，其飞行高度为3.2千米，试问它的横坐标不超过多少时，炮弹可以击中它？请说明理

15、由.解(1)在ykx(1k2)x2(k0)中，令y0，得kx(1k2)x20.由实际意义和题设条件，知x0，k0.x10，当且仅当k1时取等号.炮的最大射程是10千米.(2)a0，炮弹可以击中目标等价于存在k0，使ka(1k2)a23.2成立，即关于k的方程a2k220aka2640有正根.由(20a)24a2(a264)0得a6.此时，k0(不考虑另一根).当a不超过6千米时，炮弹可以击中目标.规律方法 解应用题首先要正确理解题意，将实际问题化为数学问题，再利用数学知识如函数、导数、不等式解决数学问题，最后回归到实际问题的解决上.（二）反馈练习1.在下列区间中，函数的零点所在区间为（ ）()

16、.A. B. C. D.解析显然f(x)ex4x3的图象连续不间断.又f10，f20.由零点存在定理，在内存在零点.答案C2函数在区间上的零点个数为().A.2 B.3 C.4 D.5解析令f(x)xcos 2x0.x0或cos 2x0.则x0或2xk，kZ.又0x2，x0或x，.答案D3设函数，若的图象与的图象有且仅有两个不同的公共点，则下列判断正确的是（ ）().A， B，C， D，解析设F(x)x3bx21，则F(x)0与f(x)g(x)同解.故F(x)0有且仅有两个不同的实根 x1，x2.F(x)3x22bx，由F(x)0，得x0，或xb.易知x0，xb为F(x)的极值点.又F(0)1

17、.由题意F(x)的图象与x轴有两个公共点.因此，F0，从而b .不妨设x1x2，则x2b.所以F(x)(xx1)(x)2，比较F(x)的系数.x11，x1.故x1x20，y1y20.答案B4设函数满足，且当时，.又函数，则函数在上的零点个数为（ ）().A.5 B.6 C.7 D.8解析根据题意，函数yf(x)是周期为2的偶函数且0x1时，f(x)x3，则当1x0时，f(x)x3，且g(x)|xcos(x)|，当x0时，f(x)g(x)；当x0时，若0x，则x3xcos(x)，即x2|cos x|.同理可以得到在区间，上的关系式都是上式，在同一个坐标系中作出所得关系式等号两边函数的图象，如图所

18、示，有5个根.所以总共有6个.答案B5已知函数f(x)log3x，若实数x0是方程f(x)0的解，且0x1x0，则f(x1)的值().A.恒为负 B.等于零 C.恒为正 D.不大于零解析当x0时，f(x)log3x是减函数，又x0是方程f(x)0的根，即f(x0)0.当0x1x0时，f(x1)f(x0)0.答案C6已知函数=，若存在唯一的零点，且0，则的取值范围为（ ）.（2，+） .（-，-2） .（1，+） .（-，-1）B7函数f(x)2xa的一个零点在区间(1,2)内，则实数a的取值范围是()A(1,3) B(1,2) C(0,3) D(0,2)解析：选C由条件可知f(1)f(2)&l

19、t;0，即(22a)(41a)<0，即a(a3)<0，解得0<a<3.8.已知f(x)且关于x的方程f(x)xa0有且只有一个实根，则实数a的范围是 .解析令g(x)xa，在同一坐标系中分别画出函数f(x)与g(x)的图象，如图.从图象可知，当a1时，两图象有且只有一个交点，故实数a的取值范围是(1，).答案(1，)9已知f(x)则函数y2f2(x)3f(x)1的零点个数是_解析：方程2f2(x)3f(x)10的解为f(x)或1.作出yf(x)的图象，由图象知零点的个数为5.答案：510若函数变为f(x)若函数yf(x)有三个零点，则实数a的取值范围是_解析：令g(x)

20、h(x)a，则问题转化为g(x)与h(x)的图象有三个交点，g(x)图象如图由图象知a1.答案：11“函数f(x)ax3在1,2上存在零点”的充要条件是_解析：函数f(x)ax3在1,2上存在零点等价于直线f(x)ax3在1,2上与x轴有交点，则，或答案：a3或a 12.已知函数f(x)ln x2x6.(1)证明：函数f(x)有且只有一个零点；(2)求该零点所在的一个区间，使这个区间的长度不超过.(1)证明f(x)的定义域为(0，)，且f(x)是增函数.f(2)ln 220，f(3)ln 30，f(2)·f(3)0.f(x)在(2，3)上至少有一个零点.因f(x)在(0，)上是增函数

21、，从而f(x)在(0，)上有且只有一个零点.(2)解由(1)知f(2)0，f(3)0.f(x)的零点x0(2，3).取x1，fln 1ln ln e0，f·f(3)0，x0.取x2，fln ln ln e0，f·f0.x0且，即为符合条件的区间.13.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品，估计能获得10万元到1 000万元的投资收益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案：奖金y(单位：万元)随投资收益x(单位：万元)的增加而增加，且奖金不超过9万元，同时奖金不超过收益的20%.(1)请分析函数y2是否符合公司要求的奖励函数模型，并说明原因；(2)若该公司采用函数模型y作为

22、奖励函数模型，试确定最小的正整数a的值.解(1)对于模型yf(x)2，当x10，1 000时，f(x)是增函数.f(x)maxf(1 000)229.f(x)9恒成立.但当x10时，f(10)2，不满足f(x).故函数模型y2不符合公司要求.(2)对于模型yg(x)10.当3a200，即a时递增，为使g(x)9对于x10，1 000恒成立，即要g(1 000)9，3a181 000，即a.为使g(x)对于x10，1 000恒成立，即要，即x248x15a0恒成立.即(x24)215a5760(x10，1 000)恒成立.又2410，1 000，故只需15a5760即可， 所以a.综上，a，故最

23、小的正整数a的值为39.第3讲导数及其应用（一）典例对接例1设函数（1）若，求的单调区间；（2）若当时，求的取值范围解：（1）时，.当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加（II）由（I）知，当且仅当时等号成立.故，从而当，即时，而，于是当时，.由可得.从而当时，故当时，而，于是当时，.综合得的取值范围为.命题意图：本题主要考查利用导数研究函数性质、不等式恒成立问题以及参数取值范围问题，考查分类讨论、转化与划归解题思想及其相应的运算能力.例2.已知函数满足满足.（1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值。解：（1） 令得： 得： 在上单调递增 得：的解析式为 且单调递增区间为，单调递减区

24、间为 （2）得 当时，在上单调递增 时，与矛盾当时，当时， 得：当时， 令；则 当时， 当时，的最大值为例3设函数，曲线在点（1，处的切线为. (1)求的值； （2）证明：.解： 5分 例4设函数(1)证明：在单调递减，在单调递增；（2）若对于任意，都有，求的取值范围（二）反馈练习1. 已知函数，下列结论中错误的是（ ）AR， B函数的图像是中心对称图形C若是的极小值点，则在区间上单调递减D若是的极值点，则C2.设曲线y=ax-ln(x+1)在点(0,0)处的切线方程为y=2x，则a=（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 D3设函数.若存在的极值点满足，则m的取值范围是（ ） A.

25、B. C. D.C4.设函数f(x)ex(2x1)axa，其中a1，若存在唯一的整数x0，使得f(x0)0，则a的取值范围是( )A.，1) B. ) C. ) D. ，1)D5.设函数是奇函数的导函数，当时，则使得成立的的取值范围是（ ）A BC D记函数，则，因为当时，故当时，所以在单调递减；又因为函数是奇函数，故函数是偶函数，所以在单调递减，且当时，则；当时，则，综上所述，使得成立的的取值范围是，故选A6已知f(x)x36x29xabc，a<b<c，且f(a)f(b)f(c)0.现给出如下结论：f(0)f(1)>0；f(0)f(1)<0；f(0)f(3)>0

26、；f(0)f(3)<0.其中正确结论的序号是_解析：f(x)3x212x93(x1)(x3)，由f(x)<0，得1<x<3，由f(x)>0，得x<1或x>3，f(x)在区间(1,3)上是减函数，在区间(，1)，(3，)上是增函数又a<b<c，f(a)f(b)f(c)0，y极大值f(1)4abc>0，y极小值f(3)abc<0.0<abc<4.a，b，c均大于零，或者a<0，b<0，c>0.又x1，x3为函数f(x)的极值点，后一种情况不可能成立，如图f(0)<0.f(0)f(1)<0，f(0)f(3)>0.正