动能定理的应用(知识梳理)

1、.动能定理的应用【学习目的】1进一步深化对动能定理的理解。2会用动能定理求解变力做功问题。3会用动能定理求解单物体或多物体单过程问题以及与其他运动形式的结合问题。4知道用动能定理解题的一般步骤。【要点梳理】要点一、动能定理的推导要点诠释：1推导过程：一个运动物体，在有外力对它做功时，动能会发生变化。设一个质量为m的物体，原来的速度是，动能是，在与运动方向一样的恒定外力F的作用下，发生一段位移，速度增加到，动能增加到。在这一过程中外力对物体所做的功。根据牛顿第二定律和运动学公式得到所以或2关于公式的几点说明1上面我们设外力方向与运动方向一样，导出了关系式，这时外力做正功，动能增加。外力方向与运动

2、方向相反时，上式同样适用，这时外力所做的功是负值，动能的变化也是负值；2外力对物体做负功，往往说成物体抑制这个力做了功。因此，对这种情形，也可以说物体抑制阻力所做的功等于动能的减少；3假如物体不只受到一个力，而是受到几个力，上述结论仍旧正确。只是外力所做的功是指各个力所做的功的代数和，即外力所做的总功。3动能定理的本质动能定理提醒了外力对物体所做的总功与物体动能变化之间的关系，即外力对物体做的总功，对应着物体动能的变化，变化的大小由做功的多少来量度。动能定理的本质是反映其它形式的能通过做功而和动能转化之间的关系，只不过在这里其它形式的能并不一定出现，而是以各种性质的力所做的机械功等式左边的形式

3、表现出来而已。要点二、对动能定理的进一步理解要点诠释：1动能定理的计算式为标量式，计算外力对物体做的总功时，应明确各个力所做功的正负，然后求其所有外力做功的代数和；求动能变化时，应明确动能没有负值，动能的变化为末动能减去初动能。2位移和速度必须是相对于同一个参考系的，一般以地面为参考系。3动能定理公式中等号的意义等号说明合力做的功与物体动能的变化间的三个关系：1数量相等：即通过计算物体动能的变化来求合力的功，进而求得某一力的功。2单位一样：都是焦耳。3因果关系：合外力的功是物体动能变化的原因。4动能定理既适用于一个持续的过程，也适用于分段过程的全过程。5动能定理应用广泛，直线运动、曲线运动、恒

4、力做功、变力做功、同时做功、分段做功各种情况均适用。要点三、应用动能定理的根本步骤要点诠释：1选取研究对象，明确它的运动过程；2分析研究对象的受力情况和各力的做功情况；受哪些力各力是否做功做正功还是负功做多少功然后求解各个外力做功的代数和3明确物体在过程的始末状态的动能Ek1和Ek2；4列出动能定理的方程及其他必要的解题方程，进展求解。要点四、应用动能定理时应注意的问题要点诠释：1有些力在物体运动的全过程中不是始终存在的，因此在求解物体运动过程中外力的总功时，要注意把物体的受力与运动结合分析。2动能定理是计算物体位移和速率的简洁公式，当题目中涉及到位移时可优先考虑动能定理。3假设物体运动过程中

5、包含几个不同的物理过程，用动能定理解题时可以分段处理，也可取全过程直接列式。【典型例题】类型一、用动能定理求变力做功例1、如下图，质量为的小球，从半径的半圆形轨道上的A点开场下滑，A点与圆心O点在同一程度面上，到达最低点B的速度。求在弧AB段阻力对物体所做的功Wf。取【思路点拨】物体在弧AB段运动过程中受重力、弹力和阻力作用，其中弹力和阻力是变力，但在此过程中弹力对小球不做功；重力是恒力，做正功，阻力做负功。在这一过程中，可用动能定理。【解析】重力的功。由动能定理有：所以【总结升华】动能定理既适用于直线运动，也适用于曲线运动，既适用于恒力做功，也适用于变力做功。力做功时可以是连续的，也可以是不

6、连续的，可以是在一条直线上的，也可以是不在一条直线上的。举一反三【变式1】在距地面高处，一人以的速度程度抛出一个质量为的物体，物体落地时速度大小为，试求：1人抛出物体的过程中对物体所做的功为多少？2飞行过程中物体抑制空气阻力所做的功为多少？【答案】1200J 288J【解析】1抛出物体的过程中，只有人做功，这个过程很短暂，人施加的力可以说是一个瞬间的力，该过程人的功无法用做功公式求解。所以只能用动能定理求解。由动能定理得：2飞行过程，物体除受重力作用外，还有空气阻力做功，由动能定理得：即：解得：【变式2】如下图，质量为m的物体用细绳经过光滑小孔牵引在光滑程度面上做匀速圆周运动，拉力为某个值时，

7、转动半径为R，当拉力为时，物体仍做匀速圆周运动，半径为2R，那么外力对物体做功的大小是 A B C D零【答案】A【解析】设当绳的拉力为时，小球做匀速圆周运动的线速度为，那么有当绳的拉力为时，小球做匀速圆周运动的线速度为，那么有由动能定理：故答案为A。类型二、动能定理解单体多过程问题例2、如下图，物体从高为的光滑斜面顶端由静止开场沿斜面下滑，最后停在程度面上与斜面顶端程度间隔 为的地方，物体与斜面和程度面间的动摩擦因数均为，试证明：.【解析】设斜面长为，物体在程度面上滑行的位移大小为，下面倾角为。两个物体的受力图如下，在斜面上有：在程度面上：对整个过程根据动能定理列方程那么：展开得：因为：所以

8、：【总结升华】对这种多过程问题，既可以分段利用动能定理列方程求解，也可以对全过程利用动能定理列方程求解，解题时可根据详细情况选择使用举一反三【变式1】如下图，光滑1/4圆弧的半径为0.8m，有一质量为1.0kg的物体自A点从静止开场下滑到B点，然后沿程度面前进4.0m，到达C点停顿。g取10m/s2，求：1物体到达B点时的速率。2在物体沿程度面运动的过程中摩擦力做的功。3物体与程度面间的动摩擦因数. 【答案】123【解析】1物体在AB过程中，只有重力做功，由动能定理：解得：2在程度面上，只有摩擦力做功，由动能定理：解得：3由做功公式：【变式2】如下图，一质量为2 kg的铅球从离地面2 m高处自

9、由下落，陷入沙坑2 cm深处，求沙子对铅球的平均阻力【思路点拨】多过程问题要注意各个过程中的受力情况的变化。【解析】解法一：铅球的运动分为自由下落和陷入沙坑减速运动两个过程，根据动能定理，分段列式设铅球自由下落到沙面时的速度为v，那么设铅球在沙中受到的平均阻力为F，那么代入数据解得F2020 N 解法二：全程列式：全过程中重力做功mgH+h，进入沙中阻力做功-Fh，全程来看动能变化为零，那么由 得 解得【变式3】质量为m=1.5kg的物块可视为质点在程度恒力F作用下，从程度面上A点由静止开场运动，运动一段间隔 后撤去该力，物块继续滑行t=2.0s停顿在B点。A、B两点间的间隔 为S=5.0m，

10、物块与程度面间的摩擦因数=0.2，求恒力F。【思路点拨】此题用运动学和动能定理求解。【答案】【解析】设撤去力F前物块位移为S1，撤去F时物块的速度为。物块所受的摩擦力，由运动学公式可得：即S1=1m对整个过程用动能定理：【总结升华】此题可以有多种解法，运用动能定理较为简单。例3、如下图，斜面倾角为，滑块质量为，滑块与斜面间的动摩擦因数，从距挡板为的位置以的速度沿斜面向上滑行。设重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，且每次与挡板碰撞前后的速度大小保持不变，斜面足够长。求滑块从开场运动到最后停顿滑行的总路程。【思路点拨】由于重力沿斜面的分力大于滑动摩擦力，物体虽经屡次往复运动，最终将停顿在挡板处。整个过

11、程中只有重力与摩擦力对物体做功。【解析】摩擦力一直做负功，其绝对值等于摩擦力与路程的乘积，由动能定理得解得【总结升华】动能定理只涉及初、末状态而不涉及过程中的每一个细节，因此对于做往复运动的物体运用动能定理解题往往比较简便，此题也可用牛顿运动定律结合运动学公式一步步求解，但非常繁琐。举一反三【变式1】如下图质量为的物体置于光滑程度面，一根绳子跨过定滑轮一端固定在物体上，另一端在力作用下，以恒定速率竖直向下运动，物体由静止开场运动到绳与程度方向夹角的过程中，绳中张力对物体做的功为_。v0F【解析】当绳与程度方向夹角时，物体的速度为v0vv0F选物体为研究对象，研究物体由静止开场到绳与程度方向夹角

12、为的过程，根据动能定理可知，绳中张力对物体做的功等于物体动能的增加。即【变式2】在程度恒力作用下，物体沿光滑曲面从高为的A处运动到高为的B处，假设在A处的速度为，B处速度为，那么AB的程度间隔 为多大？【思路点拨】用牛顿定律遇到困难，使用动能定理。【解析】A到B过程中，物体受程度恒力F，支持力N和重力mg的作用。三个力做功分别为、0和，所以动能定理写为：解得：【总结升华】从此例可以看出，以我们如今的知识程度，牛顿定律无能为力的问题，动能定理可以很方便地解决，其关键就在于动能定理不计运动过程中瞬时细节。类型三、动能定理解多体问题例4、如下图，用细绳连接的A、B两物体质量相等， A位于倾角为30&

13、#176;的斜面上，细绳跨过定滑轮后使A、B均保持静止，然后释放，设A与斜面间的滑动摩擦力为A受重力的0.3倍，不计滑轮质量和摩擦，求B下降1m时的速度多大。【解析】解法一：对A使用动能定理：对B使用动能定理：得：解法二：将A、B看成一整体。因二者速度、加速度大小均一样，此时拉力T为内力，求外力做功时不计，那么动能定理写为： 二式联立解得：【总结升华】上述两种解法结论是一致的，而方法二中研究对象的选择使解题过程简化，因此在使用动能定理时要适中选取研究对象。举一反三【变式】一辆汽车通过图中的细绳提起井中质量为m的物体。开场时，车在A点，绳子已经拉紧且是竖直的，左侧绳长为H。提升时，车加速向左运动

14、，沿程度方向从A经过B驶向C。设A到B的间隔 也为H，车过B点时的速度为v。求在车由A移到B的过程中，绳Q端的拉力对物体做的功。设绳和滑轮的质量及摩擦不计，滑轮尺寸不计mQABCHH【解析】此题中汽车和重物构成连接体，但解题通常取重物为研究对象，根据动能定理列方程： 1 2由于左边绳端和车有一样的程度速度v，v可分解成沿绳子方向的两个分速度，mQABCHHvxv 3将3式和2式代入1式可得：例5、总质量为的列车，沿程度直线轨道匀速前进，其末节车厢质量为，中途脱节，司机觉察时，机车已行驶的间隔 ，于是立即关闭发动机除去牵引力，设运动的阻力与质量成正比，机车的牵引力是恒定的，当列车的两部分都停顿时

15、，它们的间隔 是多少?【思路点拨】车头和脱节的车厢运动情景不同，应画好运动示意图。【解析】解法一：先画出草图如下图，在图中标明各部分的位移对车头，在脱节前后的整个过程中运用动能定理有： 对末节车厢，应用动能定理有 由位移关系知： 由于列车脱节前做匀速运动 故 由联立得：解法二：设列车匀速行驶时速度为，那么脱节后，尾部车厢做匀减速运动至停顿，运动过程中初速度为，末速度为零，设加速度大小为，运动位移为对车头部分的运动，作如下图分析图设在A处脱节，运动至B点时才觉察，后立即关闭发动机，那么AB段上为匀加速运动，达B点时速度有最大值，从B点开场，头部车厢做匀减速运动至D点刚好停顿考察BD过程，其中必有

16、一点车速为，设为C点，那么CD过程做初速度为、加速度大小为、末速度为零的运动，此段位移与尾部车厢的位移一样由此可知，当两部分都停顿运动后，两车的间距大小等于AC的大小 根据以上分析，取车头部分为研究对象，取AC过程来分析，依动能定理有：联立解得，故两车都停顿后相隔的间距为：解法三：补偿法 假设脱节后立即关闭发动机，那么车头、车尾车厢应前进一样的间隔 而停在一起如今之所以停下后拉开一段间隔 ，是因为牵引力在的间隔 上多做了功，因此车头车厢动能多了一些，使其抑制阻力多走一段间隔 可见，在间隔 上做的功应等于阻力在间隔 上做的功，即，又，故【总结升华】用牛顿第二定律解此题后再与应用动能定理的解法相比

17、较，动能定理解法的简便之处是显而易见的动能定理不需要涉及列车脱节前后运动情况的细节，只要根据始末两个状态给出方程即可从该题还可以看出，动能定理不仅适用于运动状态不变的过程，也适用于其中包含几个不同的运动状态的全过程，不过应当注意分析各个不同过程的受力情况和做功情况，将全过程所有力做的功的代数和代入方程可见，运用动能定理时要灵敏选取过程，过程的选取对解题难易程度有很大影响类型四、动能定理与圆周、平抛运动的结合例6、质量为的物体由圆弧轨道顶端从静止开场释放，如下图， A为轨道最低点，A与圆心O在同一竖直线上，圆弧轨道半径为R，运动到A点时，物体对轨道的压力大小为，求此过程中物体抑制摩擦力做的功。

18、【答案】【解析】A点是圆周的最低点，仍然在圆周上，需要向心力，所以小球在A点的合力提供向心加速度，由牛顿第二定律：解得：在圆弧轨道下滑过程中，由动能定理得：所以：举一反三【变式1】如图，一半径为R的半圆形轨道竖直固定放置，轨道两端等高；质量为m的质点自轨道端点P静止开场滑下，滑到最低点Q时，对轨道的正压力为2mg，重力加速度大小为g。质点自P滑到Q的过程中，抑制摩擦力所做的功为 A B C D【答案】C【解析】当质点由P点滑到Q点时，对轨道的正压力为FN=2mg，由牛顿第二定律得。对质点自P滑到Q点应用动能定理得：，得：，因此，A、B、D错，C正确。【总结升华】典型的曲线运动，是非匀速圆周最低

19、点问题与动能定理的综合。【变式2】如下图，一个光滑的程度轨道与半圆轨道相连接，其中半圆轨道在竖直平面内，半径为R，质量为m的小球以某速度从A点无摩擦地滚上半圆轨道，小球通过轨道的最高点B后恰好做平抛运动，且正好落在程度地面上的C点，AC=AB=2R,求:1小球在A点时的速度大小2小球在B点时半圆轨道对它的弹力【答案】；0 【解析】1先研究小球从B点平抛到C点过程：竖直方向：程度方向：联立解得：从A到B过程，由动能定理：解得：2小球在轨道最高点时，假设除重力外，还受到轨道的弹力N，由牛顿第二定律得：解得：【变式3】如图，让质量m5kg的摆球由图中所示位置A从静止开场下摆。摆至最低点B点时恰好绳被

20、拉断。设摆线长1.6m，悬点O与地面的间隔 OC4m，假设空气阻力不计，绳被拉断瞬间小球的机械能无损失。g10m/s2求：1绳子所能承受的最大拉力T2摆球落地的速率v【答案】；【解析】1根据几何关系，AB两点高度差，摆球从A到B过程由动能定理得：解得：在最低点B，小球受力如图，由牛顿第二定律：解得，所以，绳子能承受的最大拉力为2绳子断裂后，小球做平抛运动，由动能定理：解得【总结升华】分清楚物体运动的各个过程，表示出全过程中各力所做的功和初、末态动能的变化是解题的关键 例7、如下图，用一块长L1=1.0 m的木板在墙和桌面间架设斜面，桌子高H=0.8 m，长L2=1.5 m。斜面与程度桌面的倾角可在060°间调节后固定。将质量m=0.2 kg的小物块从斜面顶端静止释放，物块与