因式分解（二）（教师版）

1、.初中数学 备课组老师 班级学生 日期 月日上课时间 教学内容 因式分解二知识精要知识点1 十字相乘法 1.什么是二次三项式多项式,称为字母的二次三项式,其中称为二次项,为一次项,为常数项.例如：和都是关于的二次三项式.在多项式中，假如把看作常数，就是关于的二次三项式；假如把看作常数，就是关于的二次三项式.在多项式中，把看作一个整体，即，就是关于的二次三项式.同样，多项式，把看作一个整体，就是关于的二次三项式.十字相乘法是适用于二次三项式的因式分解的方法.2.十字相乘法的根据和意义利用十字相乘法分解因式，本质上是逆用多项式的乘法法那么.如在多项式乘法中有：反过来可得：假如二次三项式能把常数项分

2、解成两个因数，的积，并且为一次项系数，那么它就可以运用公式分解因式.例如中常数项是，可以分解为，而且2+1=3，恰好是一次项的系数，所以.在对多项式分解因式时，也可以借助于画十字穿插线来分解，分解为，常数项分解为，把它们用穿插线来表示：按十字穿插相乘，它们积的和是.所以.一般地，可以用十字穿插线表示为：利用十字穿插线来分解系数，把二次三项式分解因式的方法叫做十字相乘法.3.用十字相乘法分解的多项式的特征1必须是一个二次三项式；2二次项的系数为1时，常数项能分解成两个因数和的积 ，且这两个因数的和正好等于一次项系数，这种方法的特征是“拆常数项，凑一次项.公式中的可以表示单项式，也可以表示多项式；

3、3对于二次项系数不是1的二次三项式，都是整数且来说，假如存在四个整数，使，那么它的特征是“拆两头，凑中间，这里要确定四个常数，分析和尝试都要比首项系数是1的情况复杂，因此，一般要借助 “画十字穿插线的方法来确定.例如，用十字相乘法分解因式，因为按十字穿插相乘，它们的积的和是.所以.4.用十字相乘法因式分解时要注意的符号规律 为了减少尝试次数，掌握十字相乘法分解因式的符号规律，可以帮助大家更快的运用 十字相乘法分解因式，符号规律是：当常数项是“+号时，分解的两个一次二项式中间同号；假设一次项是“+的，那么两个一次二项式中间都是“+号；假设一次项是“-的，那么两个一次二项式中间都是“-号.当常数项

4、是“-号时，分解的两个一次二项式的因式中间异号；假设一次项是“+的，那么穿插相乘积正的绝对值大；假设一次项是“-的，那么穿插相乘积负的绝对值大.当二次项系数为负数时，先提出负号，使二次项系数为正数，然后再看常数项.用十字相乘法分解因式，还要防止以下两种错误出现：一是没有认真地验证穿插相乘的两个积的和是否等于一次项系数；二是由十字相乘写出的因式漏写字母.例1 把以下各式分解因式： 1 2 = =例2 把以下各式分解因式： 1 2 例3 把以下各式分解因式： 1 2 3 4 知识点2 分组分解法1.分组分解法的意义 有的多项式各项没有公因式，也不能直接运用公式分解因式，但是某些项通过适当的结合成为

5、一组，利用分组可以进展多项式的局部分解，然后，综合起来，再从总体上用提取公因式法和十字相乘法继续进展分解，直到分解出最后结果.这种分解因式的方法叫做分组分解法.2.分组的原那么 分组分解法适用于不能直接使用提取公因式法、公式法和十字相乘法的多项式. 分组分解法比较灵敏，其关键在于分组要适当，它的分组原那么是： 分组后能直接提取公因式； 分组后能直接运用公式.分组分解法并不是一种独立的因式分解的方法.通过对多项式进展适当的分组，把多项式转化为可以应用根本方法即提取公因式法或公式法分解的构造形式，使之具有公因式，或者符合公式的特点等，从而到达可以利用根本方法进展分解因式的目的.我们有目的地将多项式

6、的某些项组成一组，从部分考虑，使每组可以分解，从而到达整个多项式因式分解的目的，至于如何恰当地分组，需要详细问题详细分析，但分组时要有预见性，要统筹考虑，减少盲目性，分组的好坏直接影响到因式分解能否顺利进展.通过适当的练习，不断总结规律，便能掌握分组的技巧.3.常用的分组方法方法一：分组后能提取公因式1按字母分组.例如：分解因式：可以按某一字母为准分组，假设按含有字母的分为一组，含有字母的分为一组，即，这样就产生了公因式.2按系数分组.例如：分解因式：，我们观察到前两项的系数之比和后两项系数之比恰好相等，即，那么.3按次数分组.例如：分解因式：，此多项式有两个三次项，有两个二次项，有两个一次项

7、，按次数分组为：.方法二：分组后能运用公式例如：，可以把前三项作为一组，它是一个完全平方式，可以分解为.而又是平方差形式的多项式，还可以继续分解.方法三：重新分组例如：分解因式，此多项式必须先去括号，进展重新分组. .4.分组分解法分解因式的几点注意1分组分解法主要应用于四项以上包括四项的多项式的因式分解.2解题时仍应首先考虑公因式的提取，公式法的应用，其次才考虑分组.3分组方法的不同，仅仅是因为分解的手段不同，各种手段的目的都是把原多项式进展因式分解.4对于四项式的两两分组，尽管方法不唯一，但是并不是任何两项分组都可以到达目的，分组要注意合理性，四项式中的另一种三项、一项分组，这三项的一组中

8、应使其成为完全平方公式，而剩下的一项必须能写成某个式子的平方，且又与完全平方的式子的符号相反，那么得到的形式，再用平方差公式分解.5五项式一般采用三项、两项分组.6六项式采用三、三分组，或三、二、一分组，或二、二、二分组.7原多项式中带有括号时一般采用不便于分组时可先将括号去掉，整理后再分组分解.例1：分解因式1 2 3 4 例2：分解因式1 2 3 4 例3：分解因式1 2 3 4 稳固练习一填空题1.以下式子由左到右的变形中，属于因式分解的是 C A. B.C. D.2.以下各式的因式分解结果正确的选项是 B A. B.C. D.3.二次三项式分解因式的结果如下：；.其中正确的个数为 C

9、A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.用分组分解法将分解因式，以下分组方式中不恰当的是 D A. B.C. D.5.把多项式分解因式的结果是 A A. B. C. D.6.把多项式分解因式的结果是 C A. B. C. D.二填空题1. . 2. .3. 24 = . 4. 15 = .5. + 20 = +5 +4. 6. .7. 2 5 . 8. .9. . 10. .11.分解因式：1= .2 .三简答题1.用十字相乘法将以下各式分解因式：1 2 3 4 5 6 7； 8； 9； 10； 11； 12； 13； 14； 15； 16； 17. 2.用十字相乘法将以下各式分解因式：1

10、； 2； 3； 4； 5； 6； 7； 8； 9. 四解答题1.多项式可分解为两个整系数的一次因式的积，求的值. 解：或2.把分解因式. 解： 3.是整数，试证明能被6整除. 证明：.当为整数时，、是三个连续的自然数，其中必有一个为偶数，一个为3的倍数，故能被6整除.所以能被6整除. 4.，求. 解： 5.假如，求、的值. 解：， ， . 6.把进展因式分解. 解：家庭作业一.填空题1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 二解答题1.把以下各式因式分解：1 2 3 4 5 6 7 8 9 2.在整数范围内可以因式分解，求自然数的值，并把它们分解因式. 解：，由于为自然数，所以=2+-2=0或者=4+-1=3. 当时，； 当时，.3.求的值. 解： .4.求的值. 解： 解得 所以.5.假如一个三角形的边长为