单片机中最小二乘方滤波器的向量测量和功率计算

1、欢迎访问Freekaoyan论文站单片机中最小二乘方滤波器的向量测量和功率计算欢迎访问Freekaoyan论文站    欢迎访问Freekaoyan论文站    摘要：提供了一种每周波四点采样的最小二乘方滤波器，通过整型变换和查表求根等优化算法，可在单片机中实现相量的快速测量。分析了滤波器中相量的相位关系，并提供了两线制功率的计算方法。  目前，以单片机为基础的数字式电气测量、保护装置已成为主流形式。交流信号直接采样也已成为一种普通的方法。快速傅立叶算法是其中的主要算法，而最小二乘方算法，计算量很大，特别

2、是在单片机的处理能力有限的情况下，既要保证实时性，又要保证计算速度，不经过精心设计和程序优化，很难保证二者的统一。通过减少采样次数、使用每周滤四个采样点拟合的滤波器和一套优化措施，使该算法计算速度大大提高，可以胜任工频向量的实时测量，因而可以用于过流、速断、方向保护等多个方面。本文分析了滤波器中的向量相位关系，同时给出了以此为基础的两线制功率计算举例。该方法已通过实际应用检验。1 最小二乘方滤波器的构造根据文献13的研究结果，对每一路信号，输入电压函数可表示为：    式中：P0直流分量值Pk第K次谐波分量的幅值 K=1,，Nk第K次谐波的相对起始相角 K=1，N

3、基波角频率，=2f,f=50Hz常数，等于直流分量衰减时间常数在一般测量、保护应用中，只关心基波成分。为减少计算量，应最大限度地减少采样次数。根据采样定理，一个正弦函数的离散采样次数量少每周波3次。为方便起见，将每周波采样次数定为4次，即采样周期为5ms。则公式（1）中只能包含直流和工频分量。将直流分量按泰勒级数展开并取其前两项，则（1）式成为：u(t)=P0-P0t+P1sin(t)cos(1)+P1cos(t)sin(1)     (2)其中，P0为直流分量值，P1为基波峰-峰值，1为基波分量在采样时刻相对于零点的相位角。若以最近连续4次采样值为样本

4、，可得到4个采样方程。如将P0、-P0、P1cos(1)P1sin(1)作为待测未知数，可将4个采样方程表示成如下矩阵：    若分别用符号A表示系数矩阵，X表示未知参数向量，U表示采样值，则：X=A -1U     (3)其中A-1表示A的逆矩阵，亦即向量X的最小二乘方滤波器。根据文献3，这个滤波器为：    因此，P1cos(1)=A-13iUi I=1,4     (4)P1sin(1)=A-14iUi I=1,4   

5、  (5)cos(1)=P1cos(1)/P1     (6)sin(1)=P1sin(1)/P1     (7)P0=A-11iUi I=1,4     (8)P0=A-12iUi I=1,4     (9)    实际应用中，为了减少单片机顺序采样带来的时间延迟所造成的计算误差，硬件电路应具有同步采样功能。其作用就是在采样时刻将所有电气信号分别保持下来。2 数字滤波器中瞬时相量的关系如果用ua

6、、ub、uc分别表示三相电压相量,Ua,Ub、Uc表示其有效值，初始相位角分别用ua、ub、uc表示；用ia、ib、ic分别表示三相电流相量，Ia、Ib,Ic表示其有效值，初始相位角分别为ia、ib、ic。则（4）式就是对应相量在X轴上的投影，即矢量的实部；（5）式就是对相量在Y轴上的投影，即矢量的虚部，（4）和（5）式中的1是上述相量相对于20ms时间窗之初时刻的相位角。图1表示了A相电压和A相电流的相位关系，其他依此类似。上述相量的相位关系是相量进一步运算的基础。3 两线制功率计算目前，高压线路的功率测量一般采用三相电压和两组电流，即两线制功率表方法。用式（4）、（5）、（6）、（7）和（

7、10）可以实现线路有功功率和无功功率测量，具体过程如下：两线制的前掉是假设三相电流平衡，即：ia+ib+ic=0     (11)如果无B相电流互感器，则B相电流：ib=-(ia+ic)     (12)线路有功功率为：P=Pa+Pb+Pc=ua×ia+ub×ib+uc×ic=ua×ia-ub×(ia+ic)+uc×ic=uab×ia+ucb×ic=Uab×Ia×cos(uab-ia)+Ucb×Ic

8、5;cos(ucb-ic)     (13)根据三角函数公式：cos(uab-ia)=con(uab)×cos(ia)+sin(uab)×sin(ia)     (14)cos(ucb-ic)=cos(ucb)×cos(ic)+sin(ucb)×sin(ic)     (15)其中，uab为A相和B相之间的线电压；ucb为C相和B相之间的线电压。将（6）和（7）式结果带和（14）、（15）和（13）式，即测得三相平衡线路的有功功率。如果

9、输入电压是相电压，则：P=Pa+Pb+Pc=ua×ia+ub×ib+uc×ic=ua×ia-ub×(ia+ic)+uc×ic=Ua×Ia×cos(ua-ia)-Ub×Ia×cos(ub-ia)-Ub×Ic×cos(ub-ic)+Uc×Ic×cos(uc-ic)     （16）将上式中的余弦函数展开后，再钭（6）和（7）式的对应结果分别代入即可。无功功率的计算只需将（14）、（15）和（16）式中的余弦运算改为相应的

10、正弦运算即可。4 基于单片机应用的优化措施从目前市场情况来看，虽然单片机性能在不断提高，如INTEL单片机从8位、16位到32位不断推陈出新，但真正得以广泛采用的并不是性能最好的产品。从实际应用来看，有时必须面对一个受限制的客观现实。就本应用来说，采用以下措施可大大提高程序的计算速度。4.1 变浮点运算为整数运算对于（4）（10）式来说，采用C或PL/M高级语言进行浮点运算既方便，精度又高。但与整数运算相比，浮点运算速度要慢得多。因此，为提高计算速度，应尽量采用整数运算。从工程实际来看，A/D转换后的结果一般是双字节整数，可与放大10位的最小二乘滤波器直接运算，则（4）式变为：X3=5

11、5;U2-10×U3+5×U4     (17)(5) 式变为：X4=5×U1-10×U2+5×U3     (18)(17)、（18）式只有6次4字节的长整数乘法和4次加法。即使对12位A/D而言，（17）、（18）式的计算结果也不会溢出。由于滤波器扩大10倍时是整数，没有四舍五入，因此计算过程无任何附加误差。4.2 快速求平方根法从（4）（10）式来看，耗时最多的是（10）式，即求平方根运算，获得基波的峰-峰值。如果直接采用标准浮点库提供的开平方函数，16MHz的80196KC需3ms左右。若采用文献4中的整数查表法，或文献5提供的精度为1%的二分法，相