思维特训(十一)　相似三角形中的辅助线作法归类

1、.思维特训十一相似三角形中的辅助线作法归类在添加辅助线时，所添加的辅助线往往能构造出一组或多组相似三角形，或得到成比例的线段，或得出等角、等边，从而为证明三角形相似或进展有关的计算找到等量关系作辅助线的方法主要有以下几种：1作平行线构造“A型或“X型相似；2作平行线转换线段比；3作垂直证明相似图11S1类型一作平行线构造“A型或“X型相似1如图11S2，平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，E为AB延长线上一点，OE交BC于点F，假设ABa，BCb，BEc，求BF的长图11S22如图11S3，在ABC中，AD为BC边上的中线，CF为任一直线，CF交AD于点E，交AB于点F.求证：.

2、图11S33在一节数学课上，老师出示了这样一个问题让学生探究：如图11S4，在ABC中，D是BA延长线上一动点，点F在BC上，且，连接DF交AC于点E.1如图，当E恰为DF的中点时，恳求出的值；2如图，当aa0时，恳求出的值用含a的代数式表示考虑片刻后，同学们纷纷表达自己的想法：甲：过点F作FGAB交AC于点G，构造相似三角形解决问题；乙：过点F作FGAC交AB于点G，构造相似三角形解决问题；丙：过点D作DGBC交CA的延长线于点G，构造相似三角形解决问题老师说：“这三位同学的想法都可以请参考上面某一种想法，完成第1问的求解过程，并直接写出第2问中的值图11S4类型二作平行线转换线段的比4如图

3、11S5，B为AC的中点，E为BD的中点，求的值图11S55如图11S6，等边三角形ABC，D为AC边上的一动点，CDnDA，连接BD，M为线段BD上一点，AMD60°，连接AM并延长交BC于点E.1假设n1，那么_，_；2假设n2，如图，求证：BM6DM；3当n_时，M为BD的中点直接写出结果，不要求证明图11S662019·朝阳 ：如图11S7，在ABC中，点D在AB上，E是BC的延长线上一点，且ADCE，连接DE交AC于点F.1猜测证明：如图，在ABC中，假设ABBC，学生们发现：DFEF.下面是两位学生的证明思路：思路1：过点D作DGBC，交AC于点G，可通过证DF

4、GEFC得出结论；思路2：过点E作EHAB，交AC的延长线于点H，可通过证ADFHEF得出结论请你参考上面的思路，证明DFEF只用一种方法证明即可2类比探究：在1的条件下如图，过点D作DMAC于点M，试探究线段AM，MF，FC之间满足的数量关系，并证明你的结论3延伸拓展：如图，在ABC中，假设ABAC，ABC2BAC，m，请你用尺规作图在图中作出AD的垂直平分线交AC于点N不写作法，只保存作图痕迹，并用含m的代数式直接表示的值图11S7类型三作垂直证相似7如图11S8，在ABC中，C90°，D为边AB的中点，M，N分别为边AC，CB上的点，且DMDN.1求证：；2假设BC6，AC8,

5、 CM5，直接写出CN的长图11S88如图11S9，在ABC中，D是BC边上的点不与点B，C重合，连接AD.问题引入：1如图，当D是BC边的中点时，SABDSABC_；当D是BC边上任意一点时，SABDSABC_用图中已有线段表示探究研究：2如图，在ABC中，O是线段AD上一点不与点A，D重合，连接BO，CO，试猜测SBOC与SABC之比应该等于图中哪两条线段之比，并说明理由拓展应用：3如图，O是线段AD上一点不与点A，D重合，连接BO并延长交AC于点F，连接CO并延长交AB于点E.试猜测的值，并说明理由图11S99如图11S10，一个直角三角形纸片ACB，其中，ACB90°，AC4

6、，BC3，E，F分别是AC，AB边上的点，连接EF.1如图，假设将直角三角形纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，且S四边形ECBF3SEDF，那么AE_；2如图，假设将直角三角形纸片ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，且MFCA，求EF的长；3如图，假设FE的延长线与BC的延长线相交于点N，CN1，CE，求的值图11S10详解详析1解：如图，过点O作OMBC交AB于点M.O是AC的中点，OMBC，M是AB的中点，即MBa，OM是ABC的中位线，OMBCb.OMBC，BEFMEO，即，BF.2证明：如图，过点D作DGCF交AB于点G.DGCF，D为BC

7、的中点，G为BF的中点，FGBGBF.EFDG，.3解：1甲同学的想法：如图，过点F作FGAB交AC于点G，AEDGEF，.E为DF的中点，EDEF，ADGF.FGAB，CGFCAB，.，.乙同学的想法：如图，过点F作FGAC交AB于点G，.E为DF的中点，EDEF，ADAG.FGAC，.，.丙同学的想法：如图，过点D作DGBC交CA的延长线于点G，CG，CFEGDE，GDECFE，.E为DF的中点，EDEF，GDCF.DGBC，CG，BADG，ADGABC，.，.2如图，过点D作DGBC交CA的延长线于点G，CG，CFEGDE，GDECFE，.a，EDaEF，DGaCF.DGBC，CG，BA

8、DG，ADGABC，.，即BC3CF.4解：取CF的中点G，连接BG.B为AC的中点，且BGAF.又E为BD的中点，F为DG的中点，.5解：1当n1时，CDDA.ABC是等边三角形，BDAC，BAC60°，ADM90°.又AMD60°，MAD30°，BAEBACMAD30°，即BAEEAD，AE为ABC的中线，1.在AMD中，DMAM30°角所对的直角边等于斜边的一半BAMABM30°，AMBM，2.2证明：AMDABDBAE60°，CAEBAE60°，ABDCAE.又BAAC，BADACE60°

9、;，BADACEASA，ADCE，CDBE.如图，过点C作CFBD交AE的延长线于点F，由×得，BM6DM.3M为BD的中点，BMMD.BADACE，ADCE，CDBE.AMDACE，BMEBCD，AD，CD，由×得CDDA，n.6解：1思路1：如图，过点D作DGBC，交AC于点G.ABBC，ABCA.DGBC，DGABCA，DGFECF，ADGA，DADG.ADCE，DGCE.又DFGEFC，DFGEFC，DFEF.思路2：如图，过点E作EHAB，交AC的延长线于点H.ABBC，ABCA.EHAB，AH.ECHBCA，HECH，CEEH.ADCE，ADEH.又AFDHFE

10、，DFAEFH，DFEF.2结论：MFAMFC.证明：如图，由思路1可知：DADG，DFGEFC，FGFC.DMAG，AMGM.MFFGGM，MFAMFC.3AD的垂直平分线交AC于点N，如图所示连接DN，过点D作DGCE交AC于点G.设DGa，BCb，那么ABACmb，ADAGma.ABC2BAC，设BACx，那么BACB2x，5x180°，x36°，A36°.NAND，AADN36°.ADGB72°，NDGA36°.又DGNAGD，GDNGAD，DG2GN·GA.易知DGDNANa，a2maa·ma，两边同除以

11、a，得m2amaa0.DGCE，DGCEFGFCDGDA1m.CGmbma，FG·mba，FNGNFGmaamba，.7解：1证明：如图，过点D作DPBC于点P，DQAC于点Q，DQMDPN90°.又C90°，四边形CPDQ为矩形，QDP90°，即MDQMDP90°.DMDN，MDN90°，即MDPNDP90°，MDQNDP，DMQDNP，.D为AB的中点，DQBC，DPAC，DQBC，DPAC，.2由题意得AQCQ4，MQCMCQ541，DQBC3，DPAC4.DMQDNP，NP.又CPPB3，CN3.8解：112BDBC

12、2猜测SBOC与SABC之比应该等于ODAD.理由：如图，分别过点O，A作BC的垂线OE，AF，垂足分别为E，F，OEAF，ODADOEAF.SBOCBC·OE，SABCBC·AF，SBOCSABCOEAFODAD.3猜测的值是1.理由如下：由2可知：1.9解：1将ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在AB边上的点D处，EFAB，AEFDEF，SAEFSDEF.S四边形ECBF3SEDF，SABC4SAEF.在RtABC中，ACB90°，AC4，BC3，AB5.EAFBAC，RtAEFRtABC，2，即2，AE2.5.2连接AM交EF于点O，如图，将ACB的一角沿EF折叠，折叠后点A落在BC边上的点M处，AEEM，AFMF，AFEMFE.MFCA，AEFMFE，AEFAFE，AEAF，AEEMMFAF，四边形AEMF为菱形设AEx，那么EMx，CE4x.四边形AEMF为菱形，EMAB，CMECBA，即，解得x，CM.在RtAC