曲面上的杜邦指标线曲率线

1、第二章 曲面论第十一节 曲面上的曲线七、曲面上的主方向、主曲率和曲率线法曲率的最大值和最小值所满足的方程为，（2）其判别式为，故当且仅当时，判别式为零，即， （3）满足（3）式的点称为脐点, 否则称为非脐点. 所以在一个非脐点, 判别式，方程(2)总有两个不相等的实根, 曲面在这一点总有两个不相等的法曲率，且分别是法曲率的最大值和最小值。法曲率取到的极值称为主曲率.。在脐点,若令，则任意方向的法曲率常数，都为主曲率，而方程(2)变为，但这个关系无非表示任意方向的法曲率相等. 对于的脐点，称为平点。我们把不同时为零的脐点称为圆点。容易证明球面上的每一点都是圆点。将代入方程(2)式，得到 ，经过计

2、算，此方程可化为，事实上，利用待定系数法，经计算可知，于是有 。故得使法曲率取到最值的方向为，此式还能写成如下形式：。将代入，则有， ，（4） 这给出曲面上的两族曲线，曲线上的方向使法曲率达到最值。再给出另一种推演方法如下在法曲率取到极值的方向处，有， ，化简后，得到， （3）此式还能写成如下形式：。 其判别式为所以当且仅当时，判别式为零，即 。所以在一个非脐点, 判别式，方程(3)总有两个不相等的实根, 曲面在这一点总有两个不相同的方向，法曲率在这两个方向分别达到最大值和最小值。曲面上使法曲率达到极值的切方向，称为主方向。曲面上一条曲线，如果曲线在每点处的切方向都是曲面的主方向, 则称此曲线

3、为曲面上的一条曲率线.在脐点处, 方程(5.9)变成恒等式, 即任意方向都为主方向. 将代入，则有， ，（4）这方程确定了曲面上两族曲率线，组成曲面上的曲率线网。定理5.2 曲面在非脐点处, 两个主方向互相垂直.要证明这个定理, 只要应用以下引理于方程(4).引理5.3 曲面上一点由方程所确定的两个切方向互相垂直的充要条件是，, 这里是曲面的第一类基本量.证明 两个方向（ ）和（ ）正交的充要条件是换一种写法即， （5）将已知的二次方程写成，则它的两个根，记为，均应满足上述方程, 由根与系数的关系知, ，将上式代入(5)式，即得引理. 对方程（4），有，所以 曲面在非脐点处, 两个主方向互相垂

4、直.【注1】定理5.2只说明在非脐点处, 两个主方向垂直, 但任意两个垂直的方向却不是主方向. 另一方面, 在脐点处, 任意方向都是主方向, 因此主方向未必垂直, 而任意两个垂直的方向都是主方向.共轭方向定义 设A为阶实对称矩阵，如果有两个维向量和，（写成列向量），满足 ， （1） 则称向量与对于矩阵A共轭。如果A为单位矩阵，则式(1)即成为，这样两个向量的点积（或称内积）为零，此二向量在几何上是正交的，它是共轭的一种特例。 设A为对称矩阵，若一组非零向量，满足 （ij） （2） 则称向量系为关于矩阵A共轭。 共扼向量的方向称为共轭方向。几何意义设为二阶对称矩阵，方程 为以原点为中心的平面二次

5、曲线。 连结曲线上任意两点的线段叫作弦；过中心的弦称为直径。 平行于一条直径的弦的中心的轨迹，亦构成直径，称与互为共轭直径，两直径分别所在的两直线的方向，称为曲线的共轭方向。 设是一条直径所在的直线的方程，是直线的方向；是平行于直径的弦所在的直线的方程，是曲线上的点，则此弦与曲线的交点，满足，共轭直径的方向，将代入，则得到，即 。 设两共轭直径的斜率分别为，则有，即得 。曲面上两个方向（ ）和（称为共轭方向， 如果。对，有。曲面上两个方向和称为曲面上的共轭方向，如果有，或者。换一种写法，即。前面已证，曲面上的两主方向正交，现证两主方向共轭。事实上，将方程（5）的两根写出，再由根与系数的关系知，

6、所以曲面上两个主方向（ ）和（是曲面上的共轭方向 。这样一来，曲面上使法曲率分别达到最大值和最小值的两个方向，必互相垂直，且互为共轭方向，即， 。 。主方向的判别定理（罗德里格斯（Rodrigues）定理),如果方向是主方向,则,其中，是曲面沿方向(d)的法曲率。反之,如果对于方向(d),有,则(d)是主方向,且，是曲面沿方向(d)的法曲率。证明 先证定理的前半部分： 设是垂直于(d)的另一个主方向。由，两边微分得。这关系式说明在切平面上，于是，将两边点乘，并注意（这是由于方向和的共轭性，以及（这是由于这两个方向的正交性），得到，因此，由此，在把这等式两边点乘，得， ，由此得。再证定理的前后半

7、部分：设方向(d)满足，现在要证明它是主方向。假设方垂直于，把等式的两边点乘，得，这表示方向和是共轭的。因此和不仅正交，而且共轭，所以它们都是主方向。由，可得 。 Euler公式现在我们考察在曲面的一个非脐点, 法曲率随方向而变化的规律, 并可以看到, 主曲率就是法曲率的最大值和最小值. 首先我们证明这样一个事实.定理5.4 不含脐点的曲面片上, 参数曲线的方向是主方向当且仅当 .证明 必要性 首先因参数曲线的切方向是主方向, 而主方向必正交, 因此F = 0, 同时及适合主方向的微分方程, 故得因，由上式得M = 0.充分性 若F = M = 0, 则主方向的微分方程可化为因为 (否则L :

8、 M : N = E : F : G, 与没有脐点的已知条件不符), 这时主方向的微分方程即为dudv = 0, 与参数曲线的微分方程相同, 这就证明了参数曲线方向是主方向. 例如 在旋转曲面：上子午线和平行圆构成了曲率线网。 。定理5.5 在曲面上选取曲率线网为曲纹坐标网。设是曲面上一点P 处的任意一个切方向, 它与-曲-线的夹角记为，表示曲面在P 点处的主曲率, 则有，这个公式称为Euler公式, 它表明了法曲率随方向而变化的变化规律.证明 首先若P 是脐点, 则因脐点处, 任意方向都是主方向, 因而任意方向的法曲率都是主曲率, 同时在脐点处, 故在脐点处任意方向的法曲率都相同, 即 在脐

9、点处为常数, 换句话说, 在脐点处, ，Euler 公式自然成立. 下面我们假设P 是非脐点来证明之.设P 为曲面上一个非脐点, 根据连续性, 曲面必包含P 在内的一整片, 在这片曲面上完全没有脐点. 在这片曲面上选取参数曲线的方向作为主方向, 则由定理5.4, ，曲面的第一、第二基本形式化为 ，于是在P 点, 各个切线方向的法曲率公式为，设分别为对应于主方向dv = 0 和du = 0 的主曲率, 则根据曲面上两条曲线夹角的公式, 容易计算得到 ，于是 。定理5.6 曲面在非脐点处的主曲率是曲面在这点沿所有方向的法曲率中的最大值和最小值.证明设 是两个主曲率, 不妨设否则可交换坐标u和v )

10、, 由Euler 公式，显然 ，于是有 ，这就是说, 主曲率是法曲率的最大值和最小值.【例4】证明: 在曲面上给定点处, 沿两个正交的方向的法曲率之和为常数.【证明】 设曲面上给定点处的两个主曲率分别为k1 和k2, 和为给定点处任意两个相互成为直角的方向, 对应的法曲率分别为 和，则由Euler 公式有，其中为方向和-曲线之间的夹角，显然有 ( 给定点处为常数)。迪潘（Dupin）指标线杜邦（Dupin）指标线、曲面上的渐近方向和共轭方向4 渐近方向与渐近曲线曲面上给定点 处使法曲率的方向称为曲面在点处的渐近方向. 由 的几何意义, 沿渐近方向曲面无弯曲, 与切平面最贴近. 显然, 平面上一

11、点处任意方向都是渐近方向, 而球面上任何点处均无渐近方向. 一般地, 曲面 上点处的一个方向是一个渐近方向当且仅当,其中是 在点处的第二类基本量. 所以, 我们总有当 时, 即椭圆点处, 无(实)渐近方向,当 时, 即双曲点处, 有两个(实)渐近方向,当 时, 即抛物点处, 有一个(实)渐近方向。若曲面上一条曲线在每点处的切方向都是曲面的渐近方向, 则称此曲线为曲面的渐近曲线. 例如, 平面上任何正则曲线都是渐近线, 而球面上无渐近线. 一般地, 曲面上渐近曲线的微分方程是。推论 曲面上法曲率为0 的曲线是渐近曲线, 特别地直线是渐近曲线. 定理1 曲面上曲率处处不为0 的曲线是渐近曲线的充分

12、必要条件是曲线在每点处的密切平面与曲面在该点处的切平面重合. 证明 必要性由公式， 当时, 注意到 ，因此，因此，即得曲线在每点处的密切平面与曲面在该点处的切平面重合.充分性 若曲面上曲线C 的密切平面与曲面的切平面重合, 则/, 而,故, 即，因此沿C 有 , 换句话说, C 为渐近曲线.定理2 在只含双曲点的曲面上, 参数曲线网成为渐近网的充分必要条件是。证明:若曲面上的点都是双曲点, 则每点处有两个渐近方向, 那么整个曲面上就有两族渐近曲线, 这两族渐近曲线构成的网称为曲面上的渐近曲线网, 简称渐近网.必要性由参数曲线网的微分方程 及渐近线的微分方程, 若u-线为渐近线, 则, 即; 同样若v -线为渐近线, 则 ， 即. 因此当参数曲线网成为渐近线网时, 必有。充分性 若， 则渐近网的微分方程为. 注意到 (否则曲面上含平点), 因此, 即渐近网是参数曲线网.【例3】证明: 正螺面上有两族渐近曲线, 一族为直母线, 另一族为螺旋线.【证明】直接计算可以得到正螺面的第二基本形式，这时, 正螺面上处处有, 所以其上有且仅有两族渐近曲线, 另一方面,由于, 故坐标网成为渐近网, 显然可见u-线是直母线, 而v -线是螺旋线.【例4】求曲面的渐近网.【解】所给曲面的参数方程可写成。简单计算可求出它的第二类基本量为