对题型变化的几点思考

1、中考数学题型变化的思考 资中县双龙镇铧头小学宾志华从中考数学学科说明及样卷中可以知道：今年中考卷的题型、题量和部分试题的分值有所调整，其中题型改变将是根本性的变化.故不得不引起我们去关注，据此笔者进行了如下些探索与分析.一 满足条件的多解题满足条件的多解型试题不但知识覆盖面广，综合性较强，题意构思精巧，而且在解答时需要灵活运用一种重要的数学思想方法分类讨论，因此，这种题型今年不但在综合题中会有所涉及（往年常会出现），而且还规定把原来的多项选择型的第16题调整为一道“满足条件的多解”型题，对于这一调整笔者认为是进一步强调分类讨论这一思想方法考查，明确要求在复习中应加强对学生的多向思维的培养.同时

2、也是为优化思维品质，克服思维的片面性，提高学生解题能力而出台一项具体措施.再则这类题的思维空间较大，解题时常出现考虑不全或不严谨，导致漏解、错解，因此我们应该熟练掌握这一题型的特征与解法.1.在非负数问题中，是正是负没有明确时，分情况讨论而产生多解例1.（2012江西样卷） 已知a、b为实数，且ab0，那么 .评析：本例是一道典型的分类讨论题.解答时首先根据公式“”把原式化为：，由于ab0即a、b都不为0，但a、b中哪个是正，哪个是负呢？所以只能分：都是正；都是负；a为负，b为正；a为正，b为负这四种情况来分别求值.答案：0、2或-22.在一列数中，已知数与未知数没有明确大小时，分情况讨论而产

3、生多解例2. （2012江西样卷）小明等五名同学四月份参加某次数学测验（满分为120）的成绩如下：100、100、x、x、80已知这组数据的中位数和平均数相等，那么整数x的值为评析：由于一列数的中位数是先按大小顺序排列后，最中间的那个数或最中间那两个数的平均值；题中x的大小有三种可能：120x100，80x100，0x80，结合中位数、平均数的定义，可获得整数x值.本例抓住了x相对100和80大小可能性来分类，这种分类只要不漏掉某种情况，应该是不会出错的.答案： 110或60（有一个非整数值已舍去）3.在实际问题中，某方面的情境不明确时，分情况讨论而产生多解例3.“五一”期间，某超市推出如下购

4、物优惠方案：（1） 一次性购物在100元（不含100元）以内时，不享受优惠；（2）一次性购物在100元（含100元）以上，300元（不含300元）以内时一律享受九折的优惠；（3）一次购物在300元（含300元）以上时，一律享受八折的优惠. 在此期间某顾客一次性购物付款252元，那么该顾客比平时购买总价相同的商品（没有优惠的时候）优惠了 元.评析：题中情境有一个不明确的地方，即是：顾客优惠后的付款是252元，那么他所购买的商品的实际价格是在300元以下，还是多于300元呢？于是我们应分两种情况讨论.若是享受了优惠方案（2），则商品实价为=280元；若是享受了优惠方案（3），则商品实价为=315元

5、.像本例一样的问题，分类时，一定要按可能出现的情境来分类，否则会出现漏解现象，或者陷于无法入手的情形.答案： 28或63.4.在等腰三角形问题中，腰和底没有明确时，分情况讨论而产生多解例4.已知，如图1：在平面直角坐标系中，O为坐标原点，四边形OABC是矩形，点A、C的坐标分别为A（10，0）、C（0，4），点D是OA的中点，点P在BC边上运动，当ODP是腰长为5的等腰三角形时，点P的坐标为 .评析：题目给出了条件“ODP是等腰三角形”，但未指明在ODP中哪两条边相等，从而需要分情况考虑.但这里分类方法有几种：如：方法1：OD、DP、OP轮流为底边，同时要注意以OD为底边时OP、PD是腰，但不

6、会等于5，易产生错解，以OP为底边时又易漏掉一种情况.方法2：POD、ODP、OPD轮流为顶角，这样分类同时还要考虑顶角可以是锐角、直角、钝角.本题由于腰为5的限制，故直角是不可能，POD为钝角不可能，PDO既可以是锐角，又可以为钝角.方法3：由于腰为5，矩形的宽为4，易联想到勾3、股4、弦5，所以在OA上，在O点的右边取一点E，使OE=3，则OP=OD=5，在D点的左边取一点F，使DF=3，则OF=2，DP=OD=5，在D点的右边取一点G，使DG=3，则OG=8，DP=OD=5，这样P点坐标可直接写出. 这道题告诉我们，在抓住了分类讨论的特征后，还要学会掌握分类的标准（或说方法）.而有了分类

7、的标准，就要自始至终使用这一标准分类，同时在求满足条件的点的坐标时，画出相应的图形，使用图形分析求解也是十分必要的，还有一点值得强调的是，分类后还应注意题中约束条件，谨防出现不合要求的解或漏解现象.答案：（3，4），（2，4），（8，4）.5.在直角三角形问题中.直角边和斜边没有明确时，分情况讨论而产生多解例5.线段AB的两端点的坐标为A（-1，0），B（0，-2）现请你在坐标轴上找一点P，使得以P、A、B为顶点的三角形是直角三角形，则满足条件的P点的坐标是 评析：本例思考方法类似于例4，分类的标准也有几种，其中可以分别以AB、AP、BP为斜边来确定P点的坐标.答案：如图所示，P点的坐标可为：

8、（0，0）或（0，） 或（4，0）6. 在平行四边形问题中.边和对角线没有明确时，分情况讨论而产生多解例6. （2012江西样卷）如图2，在直角坐标系中，已知A（1，0）、B（1，2）、C（2，2）三点坐标，若以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，那么点D的坐标可以是 评析：题图中由于AB、BC、AC是平行四边形的边还是对角线是不确定的，因此理所当然要分情况讨论，方法显然是分别以AB、BC、AC为对角线，结合平行四边形的对角线互相平分及其它相关性质易获得点D的坐标 .本例是一道分类思路清晰，知识涉及较广，结构清爽的分类讨论题.答案：（2，0） （0，4） （4，0）7.在拼接问题中，拼接

9、的方式没明确时，分情况讨 论而产生多解例7.已知矩形的长为3，宽为1，现将四个这样的矩形用不同的方式拼成一个面积为12的大矩形，那么这个大矩形的周长是 评析：本题分类的标准不太好明确，从实践操作中可发现有4种方法拼接成满足条件的大矩形，如图3：答案：26或16或14对于“满足条件的多解”题，远不止上述那些方面存在，当然也不是只有小题才有多解，在综合题中也是常有出现，并且所涉及到分类讨论那部分其特点或本质也是相同的，就是处理方法或策略也完全一样.笔者希望同学们在复习备考中掌握其技能、技巧、做到举一反三、触类旁通，努力提高自己的思维能力，培养自己的思维的条理性、缜密性、科学性.这是我们师生共同追求

10、的目标之一.二创新画（作）图题 本题型是新增加在第三大题（原第三大题中有3小题，今年调整为共4小题）之中，也有可能放在第二大题中，这类题不但是考查对相关图形的性质掌握和合情合理的推理能力，同时也是检查相关的操作能力.1.不限工具，利用网格画出满足条件的图形例8. （2012江西样卷）如图4，在边长为1的正方形网格中画有一个圆心为O的半圆,请在网格中以O为圆心,画一个与已知半圆的半径不同,且面积相等的扇形评析：要画扇形，首先弄清所画扇形应满足哪些条件？圆心为O，面积为2，半径必须大于2，扇形要落在网格中.根据这些要求，结合扇形面积计算公式，定能确定扇形的半径长和它的圆心角的大小，在这个探索过程中

11、，方法为“转化”，思维是“逆向”，考查的是“知识与能力”.答案：2. 只用单项工具，作出满足要求的图形 例9. 题a：（2012江西样卷）如图5，AB=AC，ADBC于点D，请你在ABC内部，仅用圆规确定E、F两点，使BEC=BFC=90°.题b：（2012江西样卷）如图6，四边形ABCD是一个等腰梯形,请直接在图中仅用直尺,准确画出它的对称轴.评析：本例有两个小题，题a只能用圆规作图，题b只能用直尺，这个要求是侧重对作图方法的探究考查.题a所要作的两点在以BC为直径的圆且在ABC内部的一段弧上.要发现这一点，必须灵活运用等腰三角形和圆周角的性质定理.题b要作等腰梯形的对称轴，实际上

12、就是作上、下底边的公共中垂线，故必须是找出两点，这两点分别到线段AD、BC的两端距离相等，具体作法如下答案图.答案3. 不限工具，将一个图形按要求进行分割例10.把一个等边三角形分成四个等腰三角形，要求：1.除图a外再画出三种互不相同的分法，2.像图a一样，注明每个等腰顶角的度数.评析：本题初看确有一点不好入手，但只要静下心来，反复理清等边三角形的性质、判定，还是不难找到突破口，例如：应用等腰三角形的“三线合一”这个性质，把等边三角形分成两个全等的直角三角形，再由直角三角形斜边上的中线，可把直角三角形分成两个等腰三角形.这不就获得一种分割方法吗？当然这个题在构造上与传统的作图不同，考查的重点是

13、如何灵活运用相关的知识探求出怎样分割，更重要的是还要考查学生的创新能力.答案：4.不限工具，已知一部分图形按要求添画或补充图形例11. .如图8是由三个小正方形组成的图形，现再给你一个同样的小正方形拼接在原图上，使原图形变为一个轴对称图形，请你分别在图a、b、c中画出不同的拼接方案，并画出对称轴.评析：本题要从不同角度观察图形，结合对称图形相关概念，展开想象力，找到需补充的部分.才能顺利添画对称轴，这类题目难度虽然不大，但要有一定空间想象力.答案：5. 不限工具，在数轴上找出表示无理数的点例12.甲同学用如图9所示方法作出了C点，在OAB中，OAB90°，OA2，AB3，且点O、A、

14、C在同一数轴上，OBOC （1）C点所表示的数是 ； （2）仿照甲同学的做法，在如下所给数轴上描出表示的点C 评析：在甲同学的作图的启发下，先应构造一个斜边为的直角三角形，如：OA=2，AB=5，斜边OB为，于是在数轴上表示-点就不难确定.这类题虽比较常见，但既体现作图原理，又有运用数形结合的思想和构造法的探索经历.答案:（1）点C表示数（2）如答图：6. 不限工具，画出图形变换后（或前）的图形例13.如图10，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出A1B1C1和A2B2C2；（1）先作ABC关于直线成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到A1B1C1；（2）以图中的O为位似中

15、心，将A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到A2B2C2评析：本题是画出变换后的图形，画图时关键是根据相应的变换性质找出对应顶点的位置.答案: 如图：通过上述例举，“创新画（作）图题”中的“创新”两字.其意思是说这类题不完全是指传统的尺规作图题.“画”或“作”也不是本质，本质是放在如何“画”，怎样“作”的层面上，这类题是试题改革不断发展过程中涌现出来的又一新题型.此类题型形式多样，既灵活又简洁，可以充分考查学生的想象力和创造能力，在学生经历观察、分析、想象、推理、操作的过程中，不仅考查了学生掌握知识的情况，同时考查了学生的动手操作的能力. 在另一方面还需理解的是：它既保留了尺规作图的严

16、密的逻辑推理的要求，同时还需要结合几何推理，对所要作的图形进行作图原理的推究和作图方法的探索，这就是“创新画（作）图题”的特色之一.三以二次函数知识为主体的二次函数综合题课程标准对二次函数这一知识点的学习要求比较高，它最能体现初中代数的综合性和能力性.因此二次函数在近几年中考试卷中已形成必不可少的题型，但有时只是把二次函数作为问题的背景，而真正探究的是三角形、四边形或其它些知识.所要考查的二次函数知识涉及得少之又少，因此今年对二次函数的考查角度有所调整，目的要将二次函数的性质和特征作为试题主体来考查，促使我们在复习中把二次函数作为最核心的内容之一来教学.1.抛物线的顶点在另一抛物线上运动而引发

17、的相关问题的探究例14.甲、乙两同学对关于y、x的抛物线f: 进行探讨交流时，各得出一个结论.甲同学：当抛物线f经过原点时，顶点在第三象限平分线所在的直线上;乙同学：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限.(1)请你求出抛物线f经过原点时m的值及顶点坐标，并说明甲同学的结论是否正确？(2)乙同学的结论正确吗？若你认为正确，请求出当实数m变化时，抛物线f顶点的纵横坐标之间的函数关系式，并说明顶点不在第四象限的理由；若你认为不正确，求出抛物线f顶点在第四象限时，m的取值范围.评析：本例呈现形式新颖，它以学生交流为背景，围绕抛物线f的顶点位置特征来探讨.题中设问是由特殊到一般，探究的内容是

18、如何求出抛物线横坐标之间函数（二次函数）关系式，根据这个二次函数关系式分析抛物线f的顶点位置特征，因此这是一道典型的以二次函数知识为主体的综合性试题.答案: （1）抛物线f经过原点时，=0 则：=0或 当m=-1时抛物线f表达式为 顶点（-1，-1），当m=0时抛物线f表达式为， 顶点（0，0）.由于顶点（-1，-1）和顶点（0，0）都在第三象限的平分线所在的直线上，甲同学结论正确,（2）乙同学的结论正确.抛物线f的解析式可变为抛物线f的顶点为（m, ），若设抛物线f的顶点为（x,y）则：，抛物线f顶点的纵横坐标的函数关系式为：,又由于抛物线的顶点为（-1，-1），与x轴的交点为（0，0），（

19、-2，0），抛物线开口向上.抛物线不可能在第四象限.即：不论m取什么实数值，抛物线f顶点一定不在第四象限.2.抛物线通过变换得到新抛物线，由此引起对新旧抛物线相互关系的问题探究例15.已知抛物线的图象向上平移m个单位（）得到的新抛物线过点（1，8）.（1）求m的值，并将平移后的抛物线解析式写成的形式；（2）将平移后的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方，与平移后的抛物线没有变化的部分构成一个新的图象.请写出这个图象对应的函数y的解析式，在所给的平面直角坐标系中直接画出简图，并直接写出y与之间关系式.评析：这是一道典型的以二次函数知识为主体的二次函数综合题.题中将抛物线进行了先平移，再将其

20、中部分翻折的两次变换，并要求写出变换后的图象的解析式，其中稍难理解的是第二次变换，因为有一部分图象不动，还是第一次变换后的图象，而在x轴下方部分沿x轴翻折，即翻折后的图象与原图象关于x轴对称，因此第二次变换后的函数是一个分段函数.答案：（1）由题意可得又点（1，8）在图象上 （2）当x-3或x-1时，y=+2, 当-3x-1时，y=2-3.由二次函数中的a、b、c值变化产生的不同图象的认识与探究例16. 已知抛物线m、n的解析式分别是关于y与的关系式：.（1）对上述两个抛物线说法正确的序号是 ；两条抛物线与y轴的交点一定不在x轴的上方在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向上或向下平移得到

21、另一条抛物线在抛物线m、n中，可以将其中一条抛物线经过向左或向右平移得到另一条抛物线两条抛物线的顶点之间的距离为1（2）若这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，问是哪条抛物线经过A、B两点？为什么？并求出A、B两点的坐标.评析：本题根据两个抛物线系数的特征，探讨两条抛物线的位置关系.解答时：要注意到两解析式中的“a、b”都相同，则两抛物线的开口大小、方向相同，对称轴也相同.怎样平移才能重合，一看就知道.再因，0，可以判断两条抛物线与y轴的交点位置，同时推断两条抛物线与x轴的交点情况.因此这是一道以抛物线知识为主体的说理题.答案：（1）（2）抛物线n与x轴交于A、B两

22、个不同的点.方法1：不论m为何值时，0，那么两条抛物线与y轴的交点一定不在x轴的上方，只有当m=0时，抛物线m的顶点在原点，而抛物线n与x轴有两个交点，除此之外两条抛物线与x轴都有两个不同的交点.当这两条抛物线中，只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点时，这条是抛物线n.且解析式为；，令=0，得=0时，解得，A（-1，0），B（1，0）.方法2：， =60所以此抛物线与轴有一个或两个交点；又， = =>0，所以此函数与轴一定有两个不同的交点，又只有一条与x轴交于A、B（A点在左）两个不同的点，这条只有抛物线n经过A、B两点，此时m=0.当时，令=0，得=0时，解得，A（-1，0），B（1，0）.4.利用二次函数的性质解决实际问题例17. 某校七年级学生准备去购买英汉词典一书，此书的标价为20元