景诚0809313离散型股票价格模型在欧式看涨期权定价中的应用1

1、编号： 0809313学 年 论 文（ 2008级本科）题 目：离散型股票价格模型在欧式看涨期权定价中的应用系(部)院： 数学与统计学院 专 业： 数学与应用数学 作者姓名： 景诚 指导教师： 李永武 职称：讲师 完成日期： 2010 年 12 月 28 日 离散型股票价格模型在欧式看涨期权定价中的应用景诚 指导老师：李永武（河西学院数学与应用数学专业2008级3班13号，甘肃张掖 73400）【摘要】 考虑到股票的离散形式，通过讨论离散型股票价格的变化，建立离散型股票的价格模型，然后利用建立的模型来探讨欧式看涨期权的定价问题【关键字】 二叉树模型；单期、多期离散型股票；期权定价；欧式期权Ap

2、plication of the discrete stock prices model for European call option pricingJing cheng(N.O.13,Class 3 of 2008.Specialty of Mathematics and Applied Mathematics,Department of Mathematics,Hexi University,Zhangye,Gansu,734000)Abstract: Considering the stock of the discrete form ,through discussion of d

3、iscrete stock price changes ,try to establish discrete stock prices model,then using the model to explore the pricing problem of the European call option.Keywords: binary tree model;single stage and polyphasic discrete stocks;option pricing;European option一 研究背景期权是最重要的金融衍生工具之一，它是一项选择权，是一种权利的买卖。它的基本含

4、义是：买卖特定商品或有价证劵，并在合约到期时由合约买方决定是否执行这一合约。从形式上看，期权是一种交易双方签订的，按约定价格，约定时间，买卖约定数量的特定商品或有价证劵的合约。自1973年在美国芝加哥期权交易所进行交易以来，期权市场的发展非常迅猛。现在期权在世界各地的不同交易所中都有交易。随着期权市场的发展，期权交易的种类也在不断增多。其中，欧式期权是市场上非常活跃的一种，它是这样的一种期权：期权持有者只能在到期日当天决定执行或不执行期权合约。欧式期权因其本少利大的特点在国际上的期权交易中扮演着重要角色。那么，有交易肯定就有定价的问题，本文就是要讨论欧式看涨期权的定价问题。欧式期权的定价方式有

5、很多种，其中最著名的Black-Scholes定价模型在欧式期权的定价中应用非常广泛。但是，本文并不打算用Black-Scholes模型来探讨期权的定价。考虑到在现实生活中，由于信息部对称等原因，人们对未来状况的估计总是带有不确定因素的，从而基于个人主观判断或个人风险偏好的决策制定、项目评估的结果就会存在差异。尤其在为股票期权定价时，股票价格运动的不确定性使得决策的制定显得非常困难。本文将通过建立离散型股票价格的模型来研究欧式股票看涨期权的定价。二 预备知识 欧式期权的资产组合复制定价方法 假设股票在时刻的价格为，在时间有两个可能的价格（如下图所示） 图1 假设市场上存在股票的衍生品，其价值在

6、时间取决于股票的价格.若上涨，价值为；若下跌，价值为（如图所示）.下面用资产组合复制的方法，得到的价值. 用表示无风险收益率，投资者可以以进行借贷.如果无风险资产的初始值是元，则时间的将是.构造投资组合，包含单位的股票和单位的无风险资产.该组合在时间的价值为，在时的价值为.有两个可能的价值. 若股票价格上涨，；股票价格下跌时，.选择和使得 ， 图2 这样，组合和衍生品在的价值相同，即复制了. 正是因为和在时间价值相同，那么，在也应该相同.由此得： ， 实际上，上式是一个显示表达式.用式和式可解出a和b， ， 通过变形，式可变为： . 实际上，式还可以应用于多期的价格模拟.如果把和看成是市场中事

7、件的概率，则式可以重新表述为： ， 其中，称为风险中性概率，具有特定的无风险套利定价意义.三 单期和多期离散型股票价格模型的建立 为使推导更加清晰和简便，本文的模型建立在以下假设之上：1、市场无套利机会；2、市场中是无摩擦的，即市场中没有交易成本，没有卖空限制，没有税收，以及资产是无限可分的；3、无风险利率和波动率在整个交易期间是不变的，和也是不变的；4、所有投资者做决策时都有相同的信念；5、市场上的每一个投资者都是价格的接受者。（一） 单期离散股票价格模型的建立 图3假设股票价格有两种可能：上升到,下降到,参数,.假设上升和下降的概率分别为和 . 因此，在时的股票价格要么是（上升时）,要么是

8、（下降时）.记为投资者对的预期，则. 其中反映股票价格的漂移程度，如果,则价格向上漂移；如果,则价格没有漂移；如果等于，则是股票价格漂移系数和的算术平均数.（二） 多期离散股票价格模型的建立把上述单期离散模型扩展到多期，并介绍股票及股票期权的倒向推导法模式，该模式是单期概率定价公式的一般应用.假设股票价格运动是三期的. 图4由上图右边的数据，第一列表示第三期时股票可能的价格，第二列表示对应股票价格的概率.两列对应的数值相乘并加总，就是需要计算的,即下面的式.而且上图还说明,另外，下面两个式子成立，其中表示第期 , , . 四 欧式看涨期权定价 欧式看涨期权是指购买人只能在到期日当天买入或不买入

9、的期权合约.用上述的股票定价方法可以对欧式股票看涨期权进行定价.假定时刻的股票价格美元，其看涨期权的执行价格美元，无风险利率，股票价格上涨的概率为,参数，假定期权到期时间为时刻，时刻间隔相等.首先，构造三期股票价格二叉树模型，得到基于该股票的欧式看涨期权的三期价格二叉树，再用倒向推导法，计算期权在每个节点上的价格，如图4中的V . 图5 图6由公式，所隐含的套利定价原理，得 ，或，把相关的数字代入，得假设一般形式的期权二叉树如图5所示，由Q=e可得V值的一般表达式为： V 图7代入具体数值得.以此类推，可以计算其他节点上的值，最终结果是，该期权在时刻的价格约为元.参 考 文 献1 Hull,J.C.,Options,Futures and Other Derivatives,3rd ed.,Upper Saddle River,NJ;Prentice Hall,1997,162-165.2 J.斯塔夫里、V